Theorem frlmsslsp 20135

Description: A subset of a free module obtained by restricting the support set is spanned by the relevant unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Feb-2015.) (Revised by AV, 24-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmsslsp.y	|- Y = ( R freeLMod I )
frlmsslsp.u	|- U = ( R unitVec I )
frlmsslsp.k	|- K = ( LSpan ` Y )
frlmsslsp.b	|- B = ( Base ` Y )
frlmsslsp.z	|- .0. = ( 0g ` R )
frlmsslsp.c	|- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }

Assertion

Ref	Expression
frlmsslsp	|- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Distinct variable groups:   x, Y   x, U   x, B   x, .0.   x, R   x, I   x, V   x, J   x, K

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem frlmsslsp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmsslsp.y	. . . . 5 |- Y = ( R freeLMod I )
2	1	frlmlmod 20093	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> Y e. LMod )
3	2	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. LMod )
4		eqid 2622	. . . 4 |- ( LSubSp ` Y ) = ( LSubSp ` Y )
5		frlmsslsp.b	. . . 4 |- B = ( Base ` Y )
6		frlmsslsp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` R )
7		frlmsslsp.c	. . . 4 |- C = { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J }
8	1, 4, 5, 6, 7	frlmsslss2 20114	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C e. ( LSubSp ` Y ) )
9		frlmsslsp.u	. . . . . . . . . 10 |- U = ( R unitVec I )
10	9, 1, 5	uvcff 20130	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> U : I --> B )
11	10	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U : I --> B )
12	11	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> U : I --> B )
13		simp3 1063	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ I )
14	13	sselda 3603	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> y e. I )
15	12, 14	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. B )
16		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> I e. V )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
18	1, 17, 5	frlmbasf 20104	. . . . . . . 8 |- ( ( I e. V /\ ( U ` y ) e. B ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
19	16, 15, 18	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) : I --> ( Base ` R ) )
20		simpll1 1100	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> R e. Ring )
21		simpll2 1101	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> I e. V )
22	14	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y e. I )
23		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( I \ J ) -> x e. I )
24	23	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> x e. I )
25		disjdif 4040	. . . . . . . . . 10 |- ( J i^i ( I \ J ) ) = (/)
26		disjne 4022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J i^i ( I \ J ) ) = (/) /\ y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
27	25, 26	mp3an1 1411	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. J /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
28	27	adantll 750	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> y =/= x )
29	9, 20, 21, 22, 24, 28, 6	uvcvv0 20129	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) /\ x e. ( I \ J ) ) -> ( ( U ` y ) ` x ) = .0. )
30	19, 29	suppss 7325	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J )
31		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( x = ( U ` y ) -> ( x supp .0. ) = ( ( U ` y ) supp .0. ) )
32	31	sseq1d 3632	. . . . . . 7 |- ( x = ( U ` y ) -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
33	32, 7	elrab2 3366	. . . . . 6 |- ( ( U ` y ) e. C <-> ( ( U ` y ) e. B /\ ( ( U ` y ) supp .0. ) C_ J ) )
34	15, 30, 33	sylanbrc 698	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. J ) -> ( U ` y ) e. C )
35	34	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> A. y e. J ( U ` y ) e. C )
36		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( U : I --> B -> U Fn I )
37	11, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> U Fn I )
38		fnfun 5988	. . . . . 6 |- ( U Fn I -> Fun U )
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Fun U )
40		fndm 5990	. . . . . . 7 |- ( U Fn I -> dom U = I )
41	37, 40	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> dom U = I )
42	13, 41	sseqtr4d 3642	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> J C_ dom U )
43		funimass4 6247	. . . . 5 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
44	39, 42, 43	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( ( U " J ) C_ C <-> A. y e. J ( U ` y ) e. C ) )
45	35, 44	mpbird 247	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ C )
46		frlmsslsp.k	. . . 4 |- K = ( LSpan ` Y )
47	4, 46	lspssp 18988	. . 3 |- ( ( Y e. LMod /\ C e. ( LSubSp ` Y ) /\ ( U " J ) C_ C ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
48	3, 8, 45, 47	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) C_ C )
49		simpl1 1064	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> R e. Ring )
50		simpl2 1065	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> I e. V )
51		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. B | ( x supp .0. ) C_ J } C_ B
52	7, 51	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- C C_ B
53	52	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ B )
54	53	sselda 3603	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. B )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .s ` Y ) = ( .s ` Y )
56	9, 1, 5, 55	uvcresum 20132	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ y e. B ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
57	49, 50, 54, 56	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y = ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) )
58		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
59		lmodabl 18910	. . . . . . . 8 |- ( Y e. LMod -> Y e. Abel )
60	3, 59	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> Y e. Abel )
61	60	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Y e. Abel )
62		imassrn 5477	. . . . . . . . . 10 |- ( U " J ) C_ ran U
63		frn 6053	. . . . . . . . . . 11 |- ( U : I --> B -> ran U C_ B )
64	11, 63	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ran U C_ B )
65	62, 64	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ B )
66	5, 4, 46	lspcl 18976	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
67	3, 65, 66	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
68	4	lsssubg 18957	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
69	3, 67, 68	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
70	69	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. (SubGrp ` Y ) )
71	1, 17, 5	frlmbasf 20104	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
72	71	3ad2antl2 1224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
73		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( y : I --> ( Base ` R ) -> y Fn I )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> y Fn I )
75	37	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U Fn I )
76		simpl2 1065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> I e. V )
77		inidm 3822	. . . . . . . . 9 |- ( I i^i I ) = I
78	74, 75, 76, 76, 77	offn 6908	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
79	54, 78	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
80	54, 74	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
81	80	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> y Fn I )
82	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> U Fn I )
83		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> I e. V )
84		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> z e. I )
85		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
86	81, 82, 83, 84, 85	syl22anc 1327	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) = ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
87	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> Y e. LMod )
88	67	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
89	52	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> y e. B )
90	89, 72	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
91	90	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> y : I --> ( Base ` R ) )
92	13	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> z e. I )
93	92	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> z e. I )
94	91, 93	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` R ) )
95	1	frlmsca 20097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V ) -> R = (Scalar ` Y ) )
96	95	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> R = (Scalar ` Y ) )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
99	94, 98	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
100	5, 46	lspssid 18985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U " J ) C_ B ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
101	3, 65, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
102	101	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U " J ) C_ ( K ` ( U " J ) ) )
103		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Fun U /\ J C_ dom U ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
104	39, 42, 103	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( z e. J -> ( U ` z ) e. ( U " J ) ) )
105	104	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. J ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
106	105	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( U " J ) )
107	102, 106	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
109		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
110	108, 55, 109, 4	lssvscl 18955	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) /\ ( ( y ` z ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
111	87, 88, 99, 107, 110	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. J ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
112	111	anassrs 680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
113	112	adantlrr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
114		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
115	114	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
116	115	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) )
117		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. I )
118		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> -. z e. J )
119	117, 118	eldifd 3585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> z e. ( I \ J ) )
120		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( x = y -> ( x supp .0. ) = ( y supp .0. ) )
121	120	sseq1d 3632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x = y -> ( ( x supp .0. ) C_ J <-> ( y supp .0. ) C_ J ) )
122	121, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( y e. C <-> ( y e. B /\ ( y supp .0. ) C_ J ) )
123	122	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y e. C -> ( y supp .0. ) C_ J )
124	123	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) C_ J )
125		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0g ` R ) e. _V
126	6, 125	eqeltri 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- .0. e. _V
127	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> .0. e. _V )
128	90, 124, 50, 127	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) /\ z e. ( I \ J ) ) -> ( y ` z ) = .0. )
129	116, 119, 128	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = .0. )
130	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
131	6, 130	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
132	131	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
133	129, 132	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( y ` z ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
134	133	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) )
135	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> Y e. LMod )
136	11	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ z e. I ) -> ( U ` z ) e. B )
137	136	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( U ` z ) e. B )
138	137	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( U ` z ) e. B )
139		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
140	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` z ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
141	135, 138, 140	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
142	134, 141	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) = ( 0g ` Y ) )
143	67	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) )
144	58, 4	lss0cl 18947	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Y e. LMod /\ ( K ` ( U " J ) ) e. ( LSubSp ` Y ) ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
145	135, 143, 144	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( 0g ` Y ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
146	142, 145	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) /\ -. z e. J ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
147	113, 146	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y ` z ) ( .s ` Y ) ( U ` z ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
148	86, 147	eqeltrd 2701	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ ( y e. C /\ z e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
149	148	expr 643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( z e. I -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
150	149	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
151		ffnfv 6388	. . . . . . 7 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I /\ A. z e. I ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` z ) e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
152	79, 150, 151	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> ( K ` ( U " J ) ) )
153	1, 6, 5	frlmbasfsupp 20102	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y finSupp .0. )
154	153	fsuppimpd 8282	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
155	50, 54, 154	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y supp .0. ) e. Fin )
156		dffn2 6047	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I <-> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
157	78, 156	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) : I --> _V )
158	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> y Fn I )
159	37	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> U Fn I )
160		simpll2 1101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> I e. V )
161		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) -> x e. I )
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> x e. I )
163		fnfvof 6911	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y Fn I /\ U Fn I ) /\ ( I e. V /\ x e. I ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
164	158, 159, 160, 162, 163	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
165		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. )
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( y supp .0. ) C_ ( y supp .0. ) )
167	126	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> .0. e. _V )
168	72, 166, 76, 167	suppssr 7326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = .0. )
169	131	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> .0. = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
170	168, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( y ` x ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y ` x ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) )
172	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> Y e. LMod )
173	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> U : I --> B )
174		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U : I --> B /\ x e. I ) -> ( U ` x ) e. B )
175	173, 161, 174	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( U ` x ) e. B )
176	5, 108, 55, 139, 58	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` x ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
177	172, 175, 176	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ( .s ` Y ) ( U ` x ) ) = ( 0g ` Y ) )
178	164, 171, 177	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) /\ x e. ( I \ ( y supp .0. ) ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) ` x ) = ( 0g ` Y ) )
179	157, 178	suppss 7325	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. B ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
180	54, 179	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) )
181		ssfi 8180	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y supp .0. ) e. Fin /\ ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( y supp .0. ) ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
182	155, 180, 181	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin )
183		simp2 1062	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> I e. V )
184	1, 17, 5	frlmbasmap 20103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ y e. B ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
185	183, 89, 184	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) )
186		elmapfn 7880	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( Base ` R ) ^m I ) -> y Fn I )
187	185, 186	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y Fn I )
188	11	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U : I --> B )
189	188, 36	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> U Fn I )
190	187, 189, 50, 50, 77	offn 6908	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I )
191		fnfun 5988	. . . . . . . . 9 |- ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) Fn I -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) )
193		ovexd 6680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V )
194		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
195	194	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
196		funisfsupp 8280	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun ( y oF ( .s ` Y ) U ) /\ ( y oF ( .s ` Y ) U ) e. _V /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
197	192, 193, 195, 196	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) <-> ( ( y oF ( .s ` Y ) U ) supp ( 0g ` Y ) ) e. Fin ) )
198	182, 197	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( y oF ( .s ` Y ) U ) finSupp ( 0g ` Y ) )
199	58, 61, 50, 70, 152, 198	gsumsubgcl 18320	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> ( Y gsumg ( y oF ( .s ` Y ) U ) ) e. ( K ` ( U " J ) ) )
200	57, 199	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) /\ y e. C ) -> y e. ( K ` ( U " J ) ) )
201	200	ex 450	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( y e. C -> y e. ( K ` ( U " J ) ) ) )
202	201	ssrdv 3609	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> C C_ ( K ` ( U " J ) ) )
203	48, 202	eqssd 3620	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. V /\ J C_ I ) -> ( K ` ( U " J ) ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101  SubGrpcsubg 17588   Abelcabl 18194   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   freeLMod cfrlm 20090   unitVec cuvc 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-uvc 20122

This theorem is referenced by:  frlmlbs  20136