Theorem uvcresum 20132

Description: Any element of a free module can be expressed as a finite linear combination of unit vectors. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Feb-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
uvcresum.u	|- U = ( R unitVec I )
uvcresum.y	|- Y = ( R freeLMod I )
uvcresum.b	|- B = ( Base ` Y )
uvcresum.v	|- .x. = ( .s ` Y )

Assertion

Ref	Expression
uvcresum	|- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( Y gsumg ( X oF .x. U ) ) )

Proof of Theorem uvcresum

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uvcresum.y	. . . . . . 7 |- Y = ( R freeLMod I )
2		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
3		uvcresum.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` Y )
4	1, 2, 3	frlmbasf 20104	. . . . . 6 |- ( ( I e. W /\ X e. B ) -> X : I --> ( Base ` R ) )
5	4	3adant1 1079	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X : I --> ( Base ` R ) )
6	5	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( a e. I |-> ( X ` a ) ) )
7		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
8		simpl1 1064	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> R e. Ring )
9		ringmnd 18556	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Mnd )
10	8, 9	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> R e. Mnd )
11		simpl2 1065	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> I e. W )
12		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> a e. I )
13		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> I e. W )
14	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
15		uvcresum.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- U = ( R unitVec I )
16	15, 1, 3	uvcff 20130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> U : I --> B )
17	16	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> U : I --> B )
18	17	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( U ` b ) e. B )
19		uvcresum.v	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- .x. = ( .s ` Y )
20		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
21	1, 3, 2, 13, 14, 18, 19, 20	frlmvscafval 20109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) = ( ( I X. { ( X ` b ) } ) oF ( .r ` R ) ( U ` b ) ) )
22	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) /\ a e. I ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
23	1, 2, 3	frlmbasf 20104	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( I e. W /\ ( U ` b ) e. B ) -> ( U ` b ) : I --> ( Base ` R ) )
24	13, 18, 23	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( U ` b ) : I --> ( Base ` R ) )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) /\ a e. I ) -> ( ( U ` b ) ` a ) e. ( Base ` R ) )
26		fconstmpt 5163	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( I X. { ( X ` b ) } ) = ( a e. I |-> ( X ` b ) )
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( I X. { ( X ` b ) } ) = ( a e. I |-> ( X ` b ) ) )
28	24	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( U ` b ) = ( a e. I |-> ( ( U ` b ) ` a ) ) )
29	13, 22, 25, 27, 28	offval2 6914	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( ( I X. { ( X ` b ) } ) oF ( .r ` R ) ( U ` b ) ) = ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) )
30	21, 29	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) = ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) )
31	1	frlmlmod 20093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> Y e. LMod )
32	31	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> Y e. LMod )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> Y e. LMod )
34	1	frlmsca 20097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W ) -> R = (Scalar ` Y ) )
35	34	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> R = (Scalar ` Y ) )
36	35	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( Base ` R ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
38	14, 37	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) )
39		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` Y ) = (Scalar ` Y )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` Y ) ) = ( Base ` (Scalar ` Y ) )
41	3, 39, 19, 40	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. LMod /\ ( X ` b ) e. ( Base ` (Scalar ` Y ) ) /\ ( U ` b ) e. B ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) e. B )
42	33, 38, 18, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) e. B )
43	30, 42	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) e. B )
44	1, 2, 3	frlmbasf 20104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. W /\ ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) e. B ) -> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
45	13, 43, 44	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
46		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) = ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) )
47	46	fmpt 6381	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. a e. I ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) e. ( Base ` R ) <-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
48	45, 47	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) -> A. a e. I ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) e. ( Base ` R ) )
49	48	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. I ) /\ a e. I ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) e. ( Base ` R ) )
50	49	an32s 846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) e. ( Base ` R ) )
51		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) = ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) )
52	50, 51	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) : I --> ( Base ` R ) )
53	8	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> R e. Ring )
54	11	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> I e. W )
55		simp2 1062	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> b e. I )
56	12	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> a e. I )
57		simp3 1063	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> b =/= a )
58	15, 53, 54, 55, 56, 57, 7	uvcvv0 20129	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> ( ( U ` b ) ` a ) = ( 0g ` R ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) = ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) )
60	14	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
61	60	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> ( X ` b ) e. ( Base ` R ) )
62	2, 20, 7	ringrz 18588	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` b ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
63	53, 61, 62	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) )
64	59, 63	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) /\ b e. I /\ b =/= a ) -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) = ( 0g ` R ) )
65	64, 11	suppsssn 7330	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) supp ( 0g ` R ) ) C_ { a } )
66	2, 7, 10, 11, 12, 52, 65	gsumpt 18361	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( R gsumg ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) = ( ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ` a ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( b = a -> ( X ` b ) = ( X ` a ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = a -> ( U ` b ) = ( U ` a ) )
69	68	fveq1d 6193	. . . . . . . . . 10 |- ( b = a -> ( ( U ` b ) ` a ) = ( ( U ` a ) ` a ) )
70	67, 69	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( b = a -> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) = ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) )
71		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) e. _V
72	70, 51, 71	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( a e. I -> ( ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ` a ) = ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) )
73	72	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ` a ) = ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) )
74		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
75	15, 8, 11, 12, 74	uvcvv1 20128	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( U ` a ) ` a ) = ( 1r ` R ) )
76	75	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) = ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) )
77	5	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( X ` a ) e. ( Base ` R ) )
78	2, 20, 74	ringridm 18572	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ ( X ` a ) e. ( Base ` R ) ) -> ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( X ` a ) )
79	8, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( 1r ` R ) ) = ( X ` a ) )
80	76, 79	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( X ` a ) ( .r ` R ) ( ( U ` a ) ` a ) ) = ( X ` a ) )
81	73, 80	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ` a ) = ( X ` a ) )
82	66, 81	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ a e. I ) -> ( R gsumg ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) = ( X ` a ) )
83	82	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( a e. I |-> ( R gsumg ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) = ( a e. I |-> ( X ` a ) ) )
84	6, 83	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( a e. I |-> ( R gsumg ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) )
85		eqid 2622	. . . 4 |- ( 0g ` Y ) = ( 0g ` Y )
86		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> I e. W )
87		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> R e. Ring )
88		mptexg 6484	. . . . . 6 |- ( I e. W -> ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) e. _V )
89	88	3ad2ant2 1083	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) e. _V )
90		funmpt 5926	. . . . . 6 |- Fun ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) )
91	90	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> Fun ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) )
92		fvexd 6203	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( 0g ` Y ) e. _V )
93	1, 7, 3	frlmbasfsupp 20102	. . . . . . 7 |- ( ( I e. W /\ X e. B ) -> X finSupp ( 0g ` R ) )
94	93	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X finSupp ( 0g ` R ) )
95	94	fsuppimpd 8282	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( X supp ( 0g ` R ) ) e. Fin )
96	35	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> (Scalar ` Y ) = R )
97	96	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` R ) )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( X supp ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ) = ( X supp ( 0g ` R ) ) )
99		ssid 3624	. . . . . . . . . 10 |- ( X supp ( 0g ` R ) ) C_ ( X supp ( 0g ` R ) )
100	98, 99	syl6eqss 3655	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( X supp ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) ) C_ ( X supp ( 0g ` R ) ) )
101		fvexd 6203	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) e. _V )
102	5, 100, 86, 101	suppssr 7326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( X ` b ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) )
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) = ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( U ` b ) ) )
104		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) -> b e. I )
105	104, 30	sylan2 491	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) = ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) )
106	32	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> Y e. LMod )
107	104, 18	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( U ` b ) e. B )
108		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) = ( 0g ` (Scalar ` Y ) )
109	3, 39, 19, 108, 85	lmod0vs 18896	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. LMod /\ ( U ` b ) e. B ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( U ` b ) ) = ( 0g ` Y ) )
110	106, 107, 109	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` Y ) ) .x. ( U ` b ) ) = ( 0g ` Y ) )
111	103, 105, 110	3eqtr3d 2664	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) /\ b e. ( I \ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) = ( 0g ` Y ) )
112	111, 86	suppss2 7329	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( X supp ( 0g ` R ) ) )
113		suppssfifsupp 8290	. . . . 5 |- ( ( ( ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) e. _V /\ Fun ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) /\ ( 0g ` Y ) e. _V ) /\ ( ( X supp ( 0g ` R ) ) e. Fin /\ ( ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) supp ( 0g ` Y ) ) C_ ( X supp ( 0g ` R ) ) ) ) -> ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) finSupp ( 0g ` Y ) )
114	89, 91, 92, 95, 112, 113	syl32anc 1334	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) finSupp ( 0g ` Y ) )
115	1, 3, 85, 86, 86, 87, 43, 114	frlmgsum 20111	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( Y gsumg ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) = ( a e. I |-> ( R gsumg ( b e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) )
116	84, 115	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( Y gsumg ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) )
117	5	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( b e. I |-> ( X ` b ) ) )
118	17	feqmptd 6249	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> U = ( b e. I |-> ( U ` b ) ) )
119	86, 14, 18, 117, 118	offval2 6914	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( X oF .x. U ) = ( b e. I |-> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) ) )
120	30	mpteq2dva 4744	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( b e. I |-> ( ( X ` b ) .x. ( U ` b ) ) ) = ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) )
121	119, 120	eqtrd 2656	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( X oF .x. U ) = ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) )
122	121	oveq2d 6666	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> ( Y gsumg ( X oF .x. U ) ) = ( Y gsumg ( b e. I |-> ( a e. I |-> ( ( X ` b ) ( .r ` R ) ( ( U ` b ) ` a ) ) ) ) ) )
123	116, 122	eqtr4d 2659	1 |- ( ( R e. Ring /\ I e. W /\ X e. B ) -> X = ( Y gsumg ( X oF .x. U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   gsum_g cgsu 16101   Mndcmnd 17294   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   freeLMod cfrlm 20090   unitVec cuvc 20121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-uvc 20122

This theorem is referenced by:  frlmsslsp  20135