Theorem cayhamlem3 20692

Description: Lemma for cayhamlem4 20693. (Contributed by AV, 24-Nov-2019.) (Revised by AV, 15-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chcoeffeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chcoeffeq.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
chcoeffeq.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chcoeffeq.y	⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chcoeffeq.r	⊢ × = (.r‘𝑌)
chcoeffeq.s	⊢ − = (-g‘𝑌)
chcoeffeq.0	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
chcoeffeq.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chcoeffeq.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chcoeffeq.k	⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
chcoeffeq.g	⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
chcoeffeq.w	⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
chcoeffeq.1	⊢ 1 = (1r‘𝐴)
chcoeffeq.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
chcoeffeq.u	⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
cayhamlem.e1	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
cayhamlem.r	⊢ · = (.r‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
cayhamlem3	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐾   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑈,𝑛   𝑛,𝑌   1 ,𝑛   ∗ ,𝑛   𝑛,𝑏,𝑠,𝐴   𝐵,𝑏,𝑠   𝑀,𝑏,𝑠   𝑁,𝑏,𝑠   𝑃,𝑏,𝑛,𝑠   𝑅,𝑏,𝑠   𝑇,𝑏,𝑛,𝑠   𝑛,𝑊   𝑌,𝑏,𝑠   0 ,𝑛   × ,𝑛   − ,𝑏,𝑛,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠,𝑏)   × (𝑠,𝑏)   𝑈(𝑠,𝑏)   1 (𝑠,𝑏)   ↑ (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑠,𝑏)   ∗ (𝑠,𝑏)   𝐾(𝑠,𝑏)   𝑊(𝑠,𝑏)   0 (𝑠,𝑏)

Proof of Theorem cayhamlem3

Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chcoeffeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		chcoeffeq.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		chcoeffeq.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		chcoeffeq.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
5		chcoeffeq.r	. . 3 ⊢ × = (.r‘𝑌)
6		chcoeffeq.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑌)
7		chcoeffeq.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
8		chcoeffeq.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
9		chcoeffeq.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
10		chcoeffeq.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝐶‘𝑀)
11		chcoeffeq.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏‘𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) − ((𝑇‘𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘𝑛))))))))
12		chcoeffeq.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = (Base‘𝑌)
13		chcoeffeq.1	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝐴)
14		chcoeffeq.m	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝐴)
15		chcoeffeq.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑁 cPolyMatToMat 𝑅)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15	chcoeffeq 20691	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
17		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑙))
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑙)))
19		fveq2 6191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((coe1‘𝐾)‘𝑛) = ((coe1‘𝐾)‘𝑙))
20	19	oveq1d 6665	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
21	18, 20	eqeq12d 2637	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑙 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )))
22	21	cbvralv 3171	. . . . 5 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ))
23		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝐺‘𝑙) = (𝐺‘𝑛))
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((coe1‘𝐾)‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑛))
26	25	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
27	24, 26	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑙 = 𝑛 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ↔ (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
28	27	rspccva 3308	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ))
29		simprll 802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
31	9, 1, 2, 3, 30	chpmatply1 20637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
32	29, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (𝐶‘𝑀) ∈ (Base‘𝑃))
33	10, 32	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → 𝐾 ∈ (Base‘𝑃))
34		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (coe1‘𝐾) = (coe1‘𝐾)
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	34, 30, 3, 35	coe1f 19581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐾 ∈ (Base‘𝑃) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
37	33, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
38		fvex 6201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
39		nn0ex 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℕ0 ∈ V
40	38, 39	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V)
41		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
42	40, 41	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ℕ0) ↔ (coe1‘𝐾):ℕ0⟶(Base‘𝑅)))
43	37, 42	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ℕ0))
44		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
45		cayhamlem.e1	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝐴))
46		cayhamlem.r	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ · = (.r‘𝐴)
47	35, 1, 2, 13, 14, 45, 46	cayhamlem2 20689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ((coe1‘𝐾) ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ℕ0) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
48	29, 43, 44, 47	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠)))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
50		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
51	50	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))))) → ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 )))
52	49, 51	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
53	52	exp32 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝑛 ∈ ℕ0 → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
54	53	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
55	54	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
56	28, 55	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
57	56	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → ((∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
58	57	impl 650	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)) = ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))
59	58	mpteq2dva 4744	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))
60	59	oveq2d 6666	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) ∧ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 )) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))
61	60	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑙)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑙) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
62	22, 61	syl5bi 232	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
63	62	reximdva 3017	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ ℕ) → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
64	63	reximdva 3017	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))∀𝑛 ∈ ℕ0 (𝑈‘(𝐺‘𝑛)) = (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ 1 ) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛)))))))
65	16, 64	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ∃𝑠 ∈ ℕ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑𝑚 (0...𝑠))(𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑛) ∗ (𝑛 ↑ 𝑀)))) = (𝐴 Σg (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑛 ↑ 𝑀) · (𝑈‘(𝐺‘𝑛))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  ifcif 4086   class class class wbr 4653   ↦ cmpt 4729  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Fincfn 7955  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   − cmin 10266  ℕcn 11020  ℕ₀cn0 11292  ...cfz 12326  Basecbs 15857  ._rcmulr 15942   ·_𝑠 cvsca 15945  0_gc0g 16100   Σ_g cgsu 16101  -_gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489  1_rcur 18501  CRingccrg 18548  Poly₁cpl1 19547  coe₁cco1 19548   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509   cPolyMatToMat ccpmat2mat 20510   CharPlyMat cchpmat 20631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-xor 1465  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-cur 7393  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-word 13299  df-lsw 13300  df-concat 13301  df-s1 13302  df-substr 13303  df-splice 13304  df-reverse 13305  df-s2 13593  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-cntz 17750  df-oppg 17776  df-symg 17798  df-pmtr 17862  df-psgn 17911  df-evpm 17912  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-srg 18506  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-assa 19312  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mvr 19357  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-vr1 19551  df-ply1 19552  df-coe1 19553  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mdet 20391  df-madu 20440  df-cpmat 20511  df-mat2pmat 20512  df-cpmat2mat 20513  df-decpmat 20568  df-pm2mp 20598  df-chpmat 20632

This theorem is referenced by:  cayhamlem4  20693