Theorem cvmlift2lem6 31290

Description: Lemma for cvmlift2 31298. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift2.b	⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
cvmlift2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
cvmlift2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
cvmlift2.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
cvmlift2.i	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
cvmlift2.h	⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
cvmlift2.k	⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))

Assertion

Ref	Expression
cvmlift2lem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑓,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐽,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝐻,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝐶,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑓,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑓)

Proof of Theorem cvmlift2lem6

Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift2.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = ∪ 𝐶
2		cvmlift2.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 CovMap 𝐽))
3		cvmlift2.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((II ×t II) Cn 𝐽))
4		cvmlift2.p	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐵)
5		cvmlift2.i	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑃) = (0𝐺0))
6		cvmlift2.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑧𝐺0)) ∧ (𝑓‘0) = 𝑃))
7		cvmlift2.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑥 ∈ (0[,]1), 𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑥𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑥)))‘𝑦))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem5 31289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
9	8	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵)
10		ffn 6045	. . . . . 6 ⊢ (𝐾:((0[,]1) × (0[,]1))⟶𝐵 → 𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)))
12		fnov 6768	. . . . 5 ⊢ (𝐾 Fn ((0[,]1) × (0[,]1)) ↔ 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
13	11, 12	sylib 208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝐾 = (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
14	13	reseq1d 5395	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))))
15		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
16	15	snssd 4340	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → {𝑋} ⊆ (0[,]1))
17		ssid 3624	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ⊆ (0[,]1)
18		resmpt2 6758	. . . . 5 ⊢ (({𝑋} ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
19	16, 17, 18	sylancl 694	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)))
20		elsni 4194	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑢 ∈ {𝑋} → 𝑢 = 𝑋)
21	20	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑢 = 𝑋)
22	21	oveq1d 6665	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = (𝑋𝐾𝑣))
23		simp1r 1086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑋 ∈ (0[,]1))
24		simp3 1063	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → 𝑣 ∈ (0[,]1))
25	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	cvmlift2lem4 31288	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
26	23, 24, 25	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑋𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
27	22, 26	eqtrd 2656	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) ∧ 𝑢 ∈ {𝑋} ∧ 𝑣 ∈ (0[,]1)) → (𝑢𝐾𝑣) = ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣))
28	27	mpt2eq3dva 6719	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
29	19, 28	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑢𝐾𝑣)) ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
30	14, 29	eqtrd 2656	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) = (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)))
31		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (II ↾t {𝑋}) = (II ↾t {𝑋})
32		iitopon 22682	. . . . 5 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → II ∈ (TopOn‘(0[,]1)))
34		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (II ↾t (0[,]1)) = (II ↾t (0[,]1))
35	17	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (0[,]1) ⊆ (0[,]1))
36	33, 33	cnmpt2nd 21472	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ 𝑣) ∈ ((II ×t II) Cn II))
37		eqid 2622	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) = (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))
38	1, 2, 3, 4, 5, 6, 37	cvmlift2lem3 31287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶) ∧ (𝐹 ∘ (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘0) = (𝐻‘𝑋)))
39	38	simp1d 1073	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋))) ∈ (II Cn 𝐶))
40	33, 33, 36, 39	cnmpt21f 21475	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ (0[,]1), 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ ((II ×t II) Cn 𝐶))
41	31, 33, 16, 34, 33, 35, 40	cnmpt2res 21480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶))
42		iitop 22683	. . . . 5 ⊢ II ∈ Top
43		snex 4908	. . . . 5 ⊢ {𝑋} ∈ V
44		ovex 6678	. . . . 5 ⊢ (0[,]1) ∈ V
45		txrest 21434	. . . . 5 ⊢ (((II ∈ Top ∧ II ∈ Top) ∧ ({𝑋} ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V)) → ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))))
46	42, 42, 43, 44, 45	mp4an 709	. . . 4 ⊢ ((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) = ((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1)))
47	46	oveq1i 6660	. . 3 ⊢ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶) = (((II ↾t {𝑋}) ×t (II ↾t (0[,]1))) Cn 𝐶)
48	41, 47	syl6eleqr 2712	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝑢 ∈ {𝑋}, 𝑣 ∈ (0[,]1) ↦ ((℩𝑓 ∈ (II Cn 𝐶)((𝐹 ∘ 𝑓) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ (𝑋𝐺𝑧)) ∧ (𝑓‘0) = (𝐻‘𝑋)))‘𝑣)) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))
49	30, 48	eqeltrd 2701	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (0[,]1)) → (𝐾 ↾ ({𝑋} × (0[,]1))) ∈ (((II ×t II) ↾t ({𝑋} × (0[,]1))) Cn 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ∪ cuni 4436   ↦ cmpt 4729   × cxp 5112   ↾ cres 5116   ∘ ccom 5118   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  0cc0 9936  1c1 9937  [,]cicc 12178   ↾_t crest 16081  Topctop 20698  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028   ×_t ctx 21363  IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift2lem9  31293