Theorem dfacbasgrp 37678

Description: A choice equivalent in abstract algebra: All nonempty sets admit a group structure. From http://mathoverflow.net/a/12988. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfacbasgrp	|- (CHOICE <-> ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) )

Proof of Theorem dfacbasgrp

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfac10 8959	. 2 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
2		basfn 15877	. . . . . . . . . 10 |- Base Fn _V
3		ssv 3625	. . . . . . . . . 10 |- Grp C_ _V
4		fvelimab 6253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Base Fn _V /\ Grp C_ _V ) -> ( x e. ( Base " Grp ) <-> E. y e. Grp ( Base ` y ) = x ) )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( Base " Grp ) <-> E. y e. Grp ( Base ` y ) = x )
6		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Base ` y ) = ( Base ` y )
7	6	grpbn0 17451	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. Grp -> ( Base ` y ) =/= (/) )
8		neeq1 2856	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Base ` y ) = x -> ( ( Base ` y ) =/= (/) <-> x =/= (/) ) )
9	7, 8	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. Grp -> ( ( Base ` y ) = x -> x =/= (/) ) )
10	9	rexlimiv 3027	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. Grp ( Base ` y ) = x -> x =/= (/) )
11	5, 10	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( Base " Grp ) -> x =/= (/) )
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( dom card = _V /\ x e. ( Base " Grp ) ) -> x =/= (/) )
13		vex 3203	. . . . . . 7 |- x e. _V
14	12, 13	jctil 560	. . . . . 6 |- ( ( dom card = _V /\ x e. ( Base " Grp ) ) -> ( x e. _V /\ x =/= (/) ) )
15		ablgrp 18198	. . . . . . . . 9 |- ( x e. Abel -> x e. Grp )
16	15	ssriv 3607	. . . . . . . 8 |- Abel C_ Grp
17		imass2 5501	. . . . . . . 8 |- ( Abel C_ Grp -> ( Base " Abel ) C_ ( Base " Grp ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( Base " Abel ) C_ ( Base " Grp )
19		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> x e. _V )
20		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> dom card = _V )
21	19, 20	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> x e. dom card )
22		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> x =/= (/) )
23		isnumbasgrplem3 37675	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. dom card /\ x =/= (/) ) -> x e. ( Base " Abel ) )
24	21, 22, 23	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> x e. ( Base " Abel ) )
25	18, 24	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( dom card = _V /\ ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) -> x e. ( Base " Grp ) )
26	14, 25	impbida 877	. . . . 5 |- ( dom card = _V -> ( x e. ( Base " Grp ) <-> ( x e. _V /\ x =/= (/) ) ) )
27		eldifsn 4317	. . . . 5 |- ( x e. ( _V \ { (/) } ) <-> ( x e. _V /\ x =/= (/) ) )
28	26, 27	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( dom card = _V -> ( x e. ( Base " Grp ) <-> x e. ( _V \ { (/) } ) ) )
29	28	eqrdv 2620	. . 3 |- ( dom card = _V -> ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) )
30		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- (har ` x ) e. _V
31	13, 30	unex 6956	. . . . . . . . 9 |- ( x u. (har ` x ) ) e. _V
32		ssun2 3777	. . . . . . . . . 10 |- (har ` x ) C_ ( x u. (har ` x ) )
33		harn0 37672	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. _V -> (har ` x ) =/= (/) )
34	13, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (har ` x ) =/= (/)
35		ssn0 3976	. . . . . . . . . 10 |- ( ( (har ` x ) C_ ( x u. (har ` x ) ) /\ (har ` x ) =/= (/) ) -> ( x u. (har ` x ) ) =/= (/) )
36	32, 34, 35	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( x u. (har ` x ) ) =/= (/)
37		eldifsn 4317	. . . . . . . . 9 |- ( ( x u. (har ` x ) ) e. ( _V \ { (/) } ) <-> ( ( x u. (har ` x ) ) e. _V /\ ( x u. (har ` x ) ) =/= (/) ) )
38	31, 36, 37	mpbir2an 955	. . . . . . . 8 |- ( x u. (har ` x ) ) e. ( _V \ { (/) } )
39	38	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> ( x u. (har ` x ) ) e. ( _V \ { (/) } ) )
40		id 22	. . . . . . 7 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) )
41	39, 40	eleqtrrd 2704	. . . . . 6 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> ( x u. (har ` x ) ) e. ( Base " Grp ) )
42		isnumbasgrp 37677	. . . . . 6 |- ( x e. dom card <-> ( x u. (har ` x ) ) e. ( Base " Grp ) )
43	41, 42	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> x e. dom card )
44	13	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> x e. _V )
45	43, 44	2thd 255	. . . 4 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> ( x e. dom card <-> x e. _V ) )
46	45	eqrdv 2620	. . 3 |- ( ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) -> dom card = _V )
47	29, 46	impbii 199	. 2 |- ( dom card = _V <-> ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) )
48	1, 47	bitri 264	1 |- (CHOICE <-> ( Base " Grp ) = ( _V \ { (/) } ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   dom cdm 5114   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  harchar 8461   cardccrd 8761  CHOICEwac 8938   Basecbs 15857   Grpcgrp 17422   Abelcabl 18194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-har 8463  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-hash 13118  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-gim 17701  df-gic 17702  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dsmm 20076  df-frlm 20091

This theorem is referenced by: (None)