Theorem hoiqssbllem3 40838

Description: A n-dimensional ball contains a non-empty half-open interval with vertices with rational components. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoiqssbllem3.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoiqssbllem3.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
hoiqssbllem3.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
hoiqssbllem3.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)

Assertion

Ref	Expression
hoiqssbllem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑐,𝑑,𝑖   𝑋,𝑐,𝑑,𝑖   𝑌,𝑐,𝑑,𝑖   𝜑,𝑐,𝑑,𝑖

Proof of Theorem hoiqssbllem3

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoiqssbllem3.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
2		qex 11800	. . . . . . . . 9 ⊢ ℚ ∈ V
3	2	inex1 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∈ V)
5		hoiqssbllem3.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
6		elmapi 7879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋) → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌:𝑋⟶ℝ)
8	7	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ)
9		hoiqssbllem3.e	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
10		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
12		hoiqssbllem3.n	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
13		hashnncl 13157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
14	1, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
15	12, 14	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℕ)
16		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑋) ∈ ℕ → (#‘𝑋) ∈ ℝ+)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (#‘𝑋) ∈ ℝ+)
18	17	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (√‘(#‘𝑋)) ∈ ℝ+)
19	11, 18	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · (√‘(#‘𝑋))) ∈ ℝ+)
20	9, 19	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ+)
22	8, 21	ltsubrpd 11904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝑌‘𝑖))
23	21	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))) ∈ ℝ)
24	8, 23	resubcld 10458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
25	24, 8	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) < (𝑌‘𝑖) ↔ ¬ (𝑌‘𝑖) ≤ ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
26	22, 25	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑌‘𝑖) ≤ ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
27	24	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
28	8	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) ∈ ℝ*)
29	27, 28	qinioo 39762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) = ∅ ↔ (𝑌‘𝑖) ≤ ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
30	26, 29	mtbird 315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) = ∅)
31	30	neqned 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ≠ ∅)
32	1, 4, 31	choicefi 39392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))))
33		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))) → 𝑐 Fn 𝑋)
34		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
35		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))
36		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ)
38	37	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → (𝑖 ∈ 𝑋 → (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ))
39	34, 38	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ)
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ)
41	33, 40	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ))
42	41	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ))
43		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ ℚ))
44	42, 43	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
45	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℚ ∈ V)
46		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
47	45, 1, 46	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑐:𝑋⟶ℚ))
49	44, 48	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋))
50		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))
51	49, 50	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))))
52	51	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))) → (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))))
53	52	eximdv 1846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐(𝑐 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))) → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))))
54	32, 53	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))))
55		df-rex 2918	. . . . 5 ⊢ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))))
56	54, 55	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))))
57	2	inex1 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∈ V
58	57	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∈ V)
59	8, 21	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑌‘𝑖) < ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
60	8, 23	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ)
61	8, 60	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) < ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ↔ ¬ ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ≤ (𝑌‘𝑖)))
62	59, 61	mpbid 222	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ≤ (𝑌‘𝑖))
63	60	rexrd 10089	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ∈ ℝ*)
64	28, 63	qinioo 39762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ((ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) = ∅ ↔ ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) ≤ (𝑌‘𝑖)))
65	62, 64	mtbird 315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → ¬ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) = ∅)
66	65	neqned 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ≠ ∅)
67	1, 58, 66	choicefi 39392	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
68		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → 𝑑 Fn 𝑋)
69		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑖∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
70		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
71		elinel1 3799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ)
73	72	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → (𝑖 ∈ 𝑋 → (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ))
74	69, 73	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ)
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ)
76	68, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ))
77	76	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ))
78		ffnfv 6388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑:𝑋⟶ℚ ↔ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ ℚ))
79	77, 78	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
80		elmapg 7870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℚ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
81	45, 1, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ↔ 𝑑:𝑋⟶ℚ))
83	79, 82	mpbird 247	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋))
84		simprr 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
85	83, 84	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
86	85	ex 450	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))))
87	86	eximdv 1846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑(𝑑 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))))
88	67, 87	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
89		df-rex 2918	. . . . 5 ⊢ (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
90	88, 89	sylibr 224	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
91	56, 90	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
92		reeanv 3107	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) ↔ (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
93	91, 92	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
94		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋))
95	34, 69	nfan 1828	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
96	94, 95	nfan 1828	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
97	1	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
98	12	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
99	5	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
100		elmapi 7879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℚ)
101		qssre 11798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
103	100, 102	fssd 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
104	103	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
105	104	ad2antrr 762	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
106		elmapi 7879	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℚ)
107	101	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → ℚ ⊆ ℝ)
108	106, 107	fssd 6057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
109	108	ad2antlr 763	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
110	9	ad3antrrr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
111	35	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
112	111	adantlr 751	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
113	112	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
114	70	elin2d 3803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
115	114	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
116	115	adantll 750	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
117	96, 97, 98, 99, 105, 109, 110, 113, 116	hoiqssbllem1 40836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)))
118		simpl 473	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)))
119		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑐‘𝑖) = (𝑐‘𝑘))
120		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑌‘𝑖) = (𝑌‘𝑘))
121	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) = ((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
122	121, 120	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)) = (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘)))
123	122	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) = (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))))
124	119, 123	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ↔ (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘)))))
125	124	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))))
126	125	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))))
127	126	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))))
128		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (𝑑‘𝑖) = (𝑑‘𝑘))
129	120	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))) = ((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))
130	120, 129	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))) = ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
131	130	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) = (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
132	128, 131	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = 𝑘 → ((𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ↔ (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
133	132	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
134	133	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
135	134	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))
136	127, 135	jca 554	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
137	136	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
138		nfv 1843	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑖(((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))))
139	1	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑋 ∈ Fin)
140	12	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑋 ≠ ∅)
141	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑𝑚 𝑋))
142	104	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑐:𝑋⟶ℝ)
143	108	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝑑:𝑋⟶ℝ)
144	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
145	125, 111	sylanbr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
146	145	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
147	146	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑐‘𝑖) ∈ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖)))
148	133, 114	sylanbr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
149	148	adantll 750	. . . . . . . . 9 ⊢ (((∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
150	149	adantll 750	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝑋) → (𝑑‘𝑖) ∈ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))
151	138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 147, 150	hoiqssbllem2 40837	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑘) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑘))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑘)(,)((𝑌‘𝑘) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
152	118, 137, 151	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))
153	117, 152	jca 554	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ (∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋))))))))) → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))
154	153	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) ∧ 𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) → ((∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → (𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
155	154	reximdva 3017	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)) → (∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
156	155	reximdva 3017	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑐‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ (((𝑌‘𝑖) − (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))(,)(𝑌‘𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑋 (𝑑‘𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑌‘𝑖)(,)((𝑌‘𝑖) + (𝐸 / (2 · (√‘(#‘𝑋)))))))) → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸))))
157	93, 156	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)∃𝑑 ∈ (ℚ ↑𝑚 𝑋)(𝑌 ∈ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ∧ X𝑖 ∈ 𝑋 ((𝑐‘𝑖)[,)(𝑑‘𝑖)) ⊆ (𝑌(ball‘(dist‘(ℝ^‘𝑋)))𝐸)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   Fn wfn 5883  ⟶wf 5884  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650   ↑_𝑚 cmap 7857  Xcixp 7908  Fincfn 7955  ℝcr 9935   + caddc 9939   · cmul 9941   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266   / cdiv 10684  ℕcn 11020  2c2 11070  ℚcq 11788  ℝ⁺crp 11832  (,)cioo 12175  [,)cico 12177  #chash 13117  √csqrt 13973  distcds 15950  ballcbl 19733  ℝ^crrx 23171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xadd 11947  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-field 18750  df-subrg 18778  df-staf 18845  df-srng 18846  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-cnfld 19747  df-refld 19951  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-nm 22387  df-tng 22389  df-tch 22969  df-rrx 23173

This theorem is referenced by:  hoiqssbl  40839