Theorem imaeq2 5462

Description: Equality theorem for image. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
imaeq2	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) = (𝐶 “ 𝐵))

Proof of Theorem imaeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reseq2 5391	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 ↾ 𝐴) = (𝐶 ↾ 𝐵))
2	1	rneqd 5353	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ran (𝐶 ↾ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐵))
3		df-ima 5127	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐴) = ran (𝐶 ↾ 𝐴)
4		df-ima 5127	. 2 ⊢ (𝐶 “ 𝐵) = ran (𝐶 ↾ 𝐵)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2681	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 “ 𝐴) = (𝐶 “ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483  ran crn 5115   ↾ cres 5116   “ cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  imaeq2i  5464  imaeq2d  5466  relimasn  5488  funimaexg  5975  ssimaex  6263  ssimaexg  6264  isoselem  6591  isowe2  6600  f1opw2  6888  fnse  7294  supp0cosupp0  7334  tz7.49  7540  ecexr  7747  fopwdom  8068  sbthlem2  8071  sbth  8080  ssenen  8134  domunfican  8233  fodomfi  8239  f1opwfi  8270  fipreima  8272  marypha1lem  8339  ordtypelem2  8424  ordtypelem3  8425  ordtypelem9  8431  dfac12lem2  8966  dfac12r  8968  ackbij2lem2  9062  ackbij2lem3  9063  r1om  9066  enfin2i  9143  zorn2lem6  9323  zorn2lem7  9324  isacs5lem  17169  acsdrscl  17170  gicsubgen  17721  efgrelexlema  18162  tgcn  21056  subbascn  21058  iscnp4  21067  cnpnei  21068  cnima  21069  iscncl  21073  cncls  21078  cnconst2  21087  cnrest2  21090  cnprest  21093  cnindis  21096  cncmp  21195  cmpfi  21211  2ndcomap  21261  ptbasfi  21384  xkoopn  21392  xkoccn  21422  txcnp  21423  ptcnplem  21424  txcnmpt  21427  ptrescn  21442  xkoco1cn  21460  xkoco2cn  21461  xkococn  21463  xkoinjcn  21490  elqtop  21500  qtopomap  21521  qtopcmap  21522  ordthmeolem  21604  fbasrn  21688  elfm  21751  elfm2  21752  elfm3  21754  imaelfm  21755  rnelfmlem  21756  rnelfm  21757  fmfnfmlem2  21759  fmfnfmlem3  21760  fmfnfmlem4  21761  fmco  21765  flffbas  21799  lmflf  21809  fcfneii  21841  ptcmplem3  21858  ptcmplem5  21860  ptcmpg  21861  cnextcn  21871  symgtgp  21905  ghmcnp  21918  eltsms  21936  tsmsf1o  21948  fmucnd  22096  ucnextcn  22108  metcnp3  22345  mbfdm  23395  ismbf  23397  mbfima  23399  ismbfd  23407  mbfimaopnlem  23422  mbfimaopn2  23424  i1fd  23448  ellimc2  23641  limcflf  23645  xrlimcnp  24695  ubthlem1  27726  disjpreima  29397  imadifxp  29414  qtophaus  29903  rrhre  30065  mbfmcnvima  30319  imambfm  30324  eulerpartgbij  30434  erdszelem1  31173  erdsze  31184  erdsze2lem2  31186  cvmscbv  31240  cvmsi  31247  cvmsval  31248  cvmliftlem15  31280  opelco3  31678  brimageg  32034  fnimage  32036  imageval  32037  fvimage  32038  filnetlem4  32376  ptrest  33408  ismtyhmeolem  33603  ismtybndlem  33605  heibor1lem  33608  lmhmfgima  37654  brtrclfv2  38019  csbfv12gALTVD  39135  icccncfext  40100  sge0f1o  40599  smfresal  40995  smfpimbor1lem1  41005  smfpimbor1lem2  41006  smfco  41009