Theorem logbpw2m1 42361

Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of a positive integer minus 1 is equal to the integer minus 1. (Contributed by AV, 31-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
logbpw2m1	⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Proof of Theorem logbpw2m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11837	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ+)
3		2nn0 11309	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
5		nnnn0 11299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℕ0)
6	4, 5	nn0expcld 13031	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
7		nnge1 11046	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐼)
8		2re 11090	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
11		nnz 11399	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℤ)
12		1lt2 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 2
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 1 < 2)
14	9, 10, 11, 13	leexp2d 13039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (2↑1) ≤ (2↑𝐼)))
15		2cn 11091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		exp1 12866	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2↑1) = 2
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑1) = 2)
19	18	breq1d 4663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑1) ≤ (2↑𝐼) ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
20	14, 19	bitrd 268	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐼 ↔ 2 ≤ (2↑𝐼)))
21	7, 20	mpbid 222	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≤ (2↑𝐼))
22		nn0ge2m1nn 11360	. . . . . 6 ⊢ (((2↑𝐼) ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ (2↑𝐼)) → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
23	6, 21, 22	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
24	23	nnrpd 11870	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
25		1ne2 11240	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
26	25	necomi 2848	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 1
27	26	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ≠ 1)
28		relogbcl 24511	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
29	2, 24, 27, 28	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
30	29	flcld 12599	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
31		peano2zm 11420	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
32	11, 31	syl 17	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℤ)
33		2z 11409	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
34		uzid 11702	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
36		nnlogbexp 24519	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
37	35, 32, 36	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) = (𝐼 − 1))
38	37	fveq2d 6195	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (⌊‘(𝐼 − 1)))
39		flid 12609	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℤ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
40	32, 39	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(𝐼 − 1)) = (𝐼 − 1))
41	38, 40	eqtrd 2656	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) = (𝐼 − 1))
42		2nn 11185	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
44		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℕ0)
45	43, 44	nnexpcld 13030	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℕ)
46	45	nnrpd 11870	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+)
47		relogbcl 24511	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
48	2, 46, 27, 47	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ)
49		pw2m1lepw2m1 42310	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1))
50	35	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
51		logbleb 24521	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(𝐼 − 1)) ∈ ℝ+ ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+) → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
52	50, 46, 24, 51	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑(𝐼 − 1)) ≤ ((2↑𝐼) − 1) ↔ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
53	49, 52	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
54		flwordi 12613	. . . 4 ⊢ (((2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb (2↑(𝐼 − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1))) → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
55	48, 29, 53, 54	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb (2↑(𝐼 − 1)))) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
56	41, 55	eqbrtrrd 4677	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))))
57	43, 5	nnexpcld 13030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ)
58	57	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℕ0)
59	58, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℕ)
60	59	nnrpd 11870	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+)
61	2, 60, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ)
62	61	flcld 12599	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ)
63	62	zred 11482	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℝ)
64		nnre 11027	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℝ)
65		peano2rem 10348	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
66	64, 65	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (𝐼 − 1) ∈ ℝ)
67		peano2re 10209	. . . 4 ⊢ ((𝐼 − 1) ∈ ℝ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
68	66, 67	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) ∈ ℝ)
69		flle 12600	. . . 4 ⊢ ((2 logb ((2↑𝐼) − 1)) ∈ ℝ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
70	29, 69	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ≤ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)))
71	57	nnrpd 11870	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
72		relogbcl 24511	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
73	2, 71, 27, 72	syl3anc 1326	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
74	57	nnred 11035	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
75	74	ltm1d 10956	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼))
76		logblt 24522	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((2↑𝐼) − 1) ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+) → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
77	50, 24, 71, 76	syl3anc 1326	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (((2↑𝐼) − 1) < (2↑𝐼) ↔ (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼))))
78	75, 77	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < (2 logb (2↑𝐼)))
79	64	leidd 10594	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ≤ 𝐼)
80		nnlogbexp 24519	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
81	35, 11, 80	sylancr 695	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
82		nncn 11028	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → 𝐼 ∈ ℂ)
83		npcan1 10455	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
84	82, 83	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → ((𝐼 − 1) + 1) = 𝐼)
85	79, 81, 84	3brtr4d 4685	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ ((𝐼 − 1) + 1))
86	29, 73, 68, 78, 85	ltletrd 10197	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (2 logb ((2↑𝐼) − 1)) < ((𝐼 − 1) + 1))
87	63, 29, 68, 70, 86	lelttrd 10195	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))
88		zgeltp1eq 41318	. . 3 ⊢ (((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) → (((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1)) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1)))
89	88	imp 445	. 2 ⊢ ((((⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∈ ℤ ∧ (𝐼 − 1) ∈ ℤ) ∧ ((𝐼 − 1) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) ∧ (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) < ((𝐼 − 1) + 1))) → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))
90	30, 32, 56, 87, 89	syl22anc 1327	1 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑𝐼) − 1))) = (𝐼 − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  ℂcc 9934  ℝcr 9935  1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   ≤ cle 10075   − cmin 10266  ℕcn 11020  2c2 11070  ℕ₀cn0 11292  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687  ℝ⁺crp 11832  ⌊cfl 12591  ↑cexp 12860   log_b clogb 24502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-logb 24503

This theorem is referenced by:  fllog2  42362  blenpw2m1  42373