MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem1 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem ax5seglem1 25808
Description: Lemma for ax5seg 25818. Rexpress a one congruence sum given betweenness. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   i, N, j   T, i, j
Proof of Theorem ax5seglem1
StepHypRef Expression
1 simpl2l 1114 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
2 fveecn 25782 . . . . 5 |- ( ( A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
31, 2sylancom 701 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
4 simpl2r 1115 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
5 fveecn 25782 . . . . 5 |- ( ( C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
64, 5sylancom 701 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7 0re 10040 . . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
8 1re 10039 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
97, 8elicc2i 12239 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( T e. RR /\ 0 <_ T /\ T <_ 1 ) )
109simp1bi 1076 . . . . . . . 8 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. RR )
1110adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> T e. RR )
12113ad2ant3 1084 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> T e. RR )
1312recnd 10068 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> T e. CC )
1413adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> T e. CC )
15 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( B ` i ) = ( B ` j ) )
16 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( A ` i ) = ( A ` j ) )
1716oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) = ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) )
18 fveq2 6191 . . . . . . . . . 10 |- ( i = j -> ( C ` i ) = ( C ` j ) )
1918oveq2d 6666 . . . . . . . . 9 |- ( i = j -> ( T x. ( C ` i ) ) = ( T x. ( C ` j ) ) )
2017, 19oveq12d 6668 . . . . . . . 8 |- ( i = j -> ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2115, 20eqeq12d 2637 . . . . . . 7 |- ( i = j -> ( ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) <-> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
2221rspccva 3308 . . . . . 6 |- ( ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
2322adantll 750 . . . . 5 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
24233ad2antl3 1225 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) )
25 oveq2 6658 . . . . . 6 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) = ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
2625oveq1d 6665 . . . . 5 |- ( ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) ^ 2 ) )
27 subdi 10463 . . . . . . . . 9 |- ( ( T e. CC /\ ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( T x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( T x. ( A ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
28273coml 1272 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( T x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) = ( ( T x. ( A ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
29 ax-1cn 9994 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
30 subcl 10280 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
3129, 30mpan 706 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. CC -> ( 1 - T ) e. CC )
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
33 simpl 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( A ` j ) e. CC )
34 subdir 10464 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 1 e. CC /\ ( 1 - T ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. ( A ` j ) ) = ( ( 1 x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) )
3529, 34mp3an1 1411 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 - T ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. ( A ` j ) ) = ( ( 1 x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) )
3632, 33, 35syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. ( A ` j ) ) = ( ( 1 x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) )
37 nncan 10310 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - ( 1 - T ) ) = T )
3829, 37mpan 706 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( T e. CC -> ( 1 - ( 1 - T ) ) = T )
3938oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( T e. CC -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. ( A ` j ) ) = ( T x. ( A ` j ) ) )
4039adantl 482 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - ( 1 - T ) ) x. ( A ` j ) ) = ( T x. ( A ` j ) ) )
41 mulid2 10038 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ` j ) e. CC -> ( 1 x. ( A ` j ) ) = ( A ` j ) )
4241oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ` j ) e. CC -> ( ( 1 x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) = ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) )
4342adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 x. ( A ` j ) ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) = ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) )
4436, 40, 433eqtr3rd 2665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) = ( T x. ( A ` j ) ) )
4544oveq1d 6665 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( T x. ( A ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
46453adant2 1080 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( T x. ( A ` j ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) )
47 simp1 1061 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( A ` j ) e. CC )
48 mulcl 10020 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 - T ) e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
4931, 48sylan 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. CC /\ ( A ` j ) e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
5049ancoms 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
51503adant2 1080 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) e. CC )
52 mulcl 10020 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( T e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( T x. ( C ` j ) ) e. CC )
5352ancoms 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( T x. ( C ` j ) ) e. CC )
54533adant1 1079 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( T x. ( C ` j ) ) e. CC )
5547, 51, 54subsub4d 10423 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( A ` j ) - ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) ) - ( T x. ( C ` j ) ) ) = ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) )
5628, 46, 553eqtr2rd 2663 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) = ( T x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) )
5756oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) )
58 simp3 1063 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> T e. CC )
59 subcl 10280 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
60593adant3 1081 . . . . . . 7 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
6158, 60sqmuld 13020 . . . . . 6 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( T x. ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
6257, 61eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( ( A ` j ) - ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
6326, 62sylan9eqr 2678 . . . 4 |- ( ( ( ( A ` j ) e. CC /\ ( C ` j ) e. CC /\ T e. CC ) /\ ( B ` j ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` j ) ) + ( T x. ( C ` j ) ) ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
643, 6, 14, 24, 63syl31anc 1329 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
6564sumeq2dv 14433 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
66 fzfid 12772 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
6710resqcld 13035 . . . . . 6 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( T ^ 2 ) e. RR )
6867recnd 10068 . . . . 5 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( T ^ 2 ) e. CC )
6968adantr 481 . . . 4 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) -> ( T ^ 2 ) e. CC )
70693ad2ant3 1084 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( T ^ 2 ) e. CC )
7123adant1 1079 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ A e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
72713adant2r 1321 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
7353adant1 1079 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ C e. ( EE ` N ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
74733adant2l 1320 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( C ` j ) e. CC )
7572, 74, 59syl2anc 693 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. CC )
7675sqcld 13006 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
77763expa 1265 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
78773adantl3 1219 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. CC )
7966, 70, 78fsummulc2 14516 . 2 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( T ^ 2 ) x. ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8065, 79eqtr4d 2659 1 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416   EEcee 25768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771
This theorem is referenced by:  ax5seglem3  25811  ax5seglem6  25814
  Copyright terms: Public domain W3C validator