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Theorem ax5seglem3 25811
Description: Lemma for ax5seg 25818. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
Distinct variable groups:   A, i, j   B, i, j   C, i, j   D, i, j   i, E, j   i, F, j   i, N, j   S, i, j   T, i, j
Proof of Theorem ax5seglem3
StepHypRef Expression
1 1re 10039 . . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
2 0re 10040 . . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
32, 1elicc2i 12239 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( T e. RR /\ 0 <_ T /\ T <_ 1 ) )
43simp1bi 1076 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. RR )
5 resubcl 10345 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 1 - T ) e. RR )
61, 4, 5sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - T ) e. RR )
76ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 - T ) e. RR )
873ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - T ) e. RR )
9 fzfid 12772 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 1 ... N ) e. Fin )
10 ax5seglem3a 25810 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR /\ ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR ) )
1110simpld 475 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) e. RR )
1211resqcld 13035 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
139, 12fsumrecl 14465 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
1411sqge0d 13036 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
159, 12, 14fsumge0 14527 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
1613, 15resqrtcld 14156 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
17163ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
188, 17remulcld 10070 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
192, 1elicc2i 12239 . . . . . . . . . . 11 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) <-> ( S e. RR /\ 0 <_ S /\ S <_ 1 ) )
2019simp1bi 1076 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S e. RR )
21 resubcl 10345 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. RR /\ S e. RR ) -> ( 1 - S ) e. RR )
221, 20, 21sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 1 - S ) e. RR )
2322ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( 1 - S ) e. RR )
24233ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - S ) e. RR )
2510simprd 479 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) e. RR )
2625resqcld 13035 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
279, 26fsumrecl 14465 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR )
2825sqge0d 13036 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ j e. ( 1 ... N ) ) -> 0 <_ ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
299, 26, 28fsumge0 14527 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
3027, 29resqrtcld 14156 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
31303ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. RR )
3224, 31remulcld 10070 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
333simp3bi 1078 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T <_ 1 )
34 subge0 10541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ T e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - T ) <-> T <_ 1 ) )
351, 4, 34sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 <_ ( 1 - T ) <-> T <_ 1 ) )
3633, 35mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
3736ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
38373ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( 1 - T ) )
3913, 15sqrtge0d 14159 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
40393ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
418, 17, 38, 40mulge0d 10604 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
4219simp3bi 1078 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S <_ 1 )
43 subge0 10541 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ S e. RR ) -> ( 0 <_ ( 1 - S ) <-> S <_ 1 ) )
441, 20, 43sylancr 695 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( 0 <_ ( 1 - S ) <-> S <_ 1 ) )
4542, 44mpbird 247 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
4645ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
47463ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( 1 - S ) )
4827, 29sqrtge0d 14159 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
49483ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
5024, 31, 47, 49mulge0d 10604 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
51 resqrtth 13996 . . . . . . . . . 10 |- ( ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
5213, 15, 51syl2anc 693 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
53523ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) )
5453oveq2d 6666 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
55 ax-1cn 9994 . . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
564recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> T e. CC )
5756ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> T e. CC )
58573ad2ant2 1083 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. CC )
59 subcl 10280 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( 1 - T ) e. CC )
6055, 58, 59sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - T ) e. CC )
6116recnd 10068 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
62613ad2ant1 1082 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
6360, 62sqmuld 13020 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
64 resqrtth 13996 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
6527, 29, 64syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
66653ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
6766oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
6820recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> S e. CC )
6968ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> S e. CC )
70693ad2ant2 1083 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. CC )
71 subcl 10280 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 e. CC /\ S e. CC ) -> ( 1 - S ) e. CC )
7255, 70, 71sylancr 695 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 - S ) e. CC )
7330recnd 10068 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
74733ad2ant1 1082 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) e. CC )
7572, 74sqmuld 13020 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
76 simp3r 1090 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> <. B , C >.Cgr <. E , F >. )
77 simp122 1194 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> B e. ( EE ` N ) )
78 simp123 1195 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> C e. ( EE ` N ) )
79 simp132 1197 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> E e. ( EE ` N ) )
80 simp133 1198 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> F e. ( EE ` N ) )
81 brcgr 25780 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. E , F >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8277, 78, 79, 80, 81syl22anc 1327 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( <. B , C >.Cgr <. E , F >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8376, 82mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
84 simp11 1091 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> N e. NN )
85 simp121 1193 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A e. ( EE ` N ) )
86 simp2ll 1128 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. ( 0 [,] 1 ) )
87 simp2rl 1130 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) )
88 ax5seglem2 25809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
8984, 85, 78, 86, 87, 88syl122anc 1335 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( B ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
90 simp131 1196 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> D e. ( EE ` N ) )
91 simp2lr 1129 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. ( 0 [,] 1 ) )
92 simp2rr 1131 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) )
93 ax5seglem2 25809 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( S e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9484, 90, 80, 91, 92, 93syl122anc 1335 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( E ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9583, 89, 943eqtr3d 2664 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( 1 - S ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9667, 75, 953eqtr4d 2666 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - T ) ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
9754, 63, 963eqtr4d 2666 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
9818, 32, 41, 50, 97sq11d 13045 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
994ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> T e. RR )
100993ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> T e. RR )
101100, 17remulcld 10070 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
10220ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> S e. RR )
1031023ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> S e. RR )
104103, 31remulcld 10070 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) e. RR )
1053simp2bi 1077 . . . . . . . . 9 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ T )
106105ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ T )
1071063ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ T )
108100, 17, 107, 40mulge0d 10604 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
10919simp2bi 1077 . . . . . . . . 9 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> 0 <_ S )
110109ad2antlr 763 . . . . . . . 8 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> 0 <_ S )
1111103ad2ant2 1083 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ S )
112103, 31, 111, 49mulge0d 10604 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> 0 <_ ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
11352oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
1141133ad2ant1 1082 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
11558, 62sqmuld 13020 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
11666oveq2d 6666 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( S ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
11770, 74sqmuld 13020 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) x. ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ^ 2 ) ) )
118 simp3l 1089 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> <. A , B >.Cgr <. D , E >. )
119 brcgr 25780 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) ) )
12085, 77, 90, 79, 119syl22anc 1327 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) ) )
121118, 120mpbid 222 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) )
122 ax5seglem1 25808 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
12384, 85, 78, 86, 87, 122syl122anc 1335 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( B ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
124 ax5seglem1 25808 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) /\ ( S e. ( 0 [,] 1 ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
12584, 90, 80, 91, 92, 124syl122anc 1335 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( E ` j ) ) ^ 2 ) = ( ( S ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
126121, 123, 1253eqtr3d 2664 . . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( ( S ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
127116, 117, 1263eqtr4d 2666 . . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( T ^ 2 ) x. sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
128114, 115, 1273eqtr4d 2666 . . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) = ( ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ^ 2 ) )
129101, 104, 108, 112, 128sq11d 13045 . . . . 5 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
13098, 129oveq12d 6668 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) + ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) + ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13160, 58, 62adddird 10065 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) + ( T x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
13272, 70, 74adddird 10065 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) + ( S x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) ) )
133130, 131, 1323eqtr4d 2666 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
134 npcan 10290 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. CC /\ T e. CC ) -> ( ( 1 - T ) + T ) = 1 )
13555, 56, 134sylancr 695 . . . . . . . 8 |- ( T e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - T ) + T ) = 1 )
136135adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( 1 - T ) + T ) = 1 )
137136oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
138137adantr 481 . . . . 5 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
1391383ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
14061mulid2d 10058 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
1411403ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
142139, 141eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - T ) + T ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) )
143 npcan 10290 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. CC /\ S e. CC ) -> ( ( 1 - S ) + S ) = 1 )
14455, 68, 143sylancr 695 . . . . . . 7 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( 1 - S ) + S ) = 1 )
145144oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( S e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
146145ad2antlr 763 . . . . 5 |- ( ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) -> ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
1471463ad2ant2 1083 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) )
14873mulid2d 10058 . . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
1491483ad2ant1 1082 . . . 4 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( 1 x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
150147, 149eqtrd 2656 . . 3 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( ( 1 - S ) + S ) x. ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
151133, 142, 1503eqtr3d 2664 . 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
152 sqrt11 14003 . . . 4 |- ( ( ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) /\ ( sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) e. RR /\ 0 <_ sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
15313, 15, 27, 29, 152syl22anc 1327 . . 3 |- ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
1541533ad2ant1 1082 . 2 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> ( ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) ) = ( sqr ` sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) <-> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) ) )
155151, 154mpbid 222 1 |- ( ( ( N e. NN /\ ( A e. ( EE ` N ) /\ B e. ( EE ` N ) /\ C e. ( EE ` N ) ) /\ ( D e. ( EE ` N ) /\ E e. ( EE ` N ) /\ F e. ( EE ` N ) ) ) /\ ( ( T e. ( 0 [,] 1 ) /\ S e. ( 0 [,] 1 ) ) /\ ( A. i e. ( 1 ... N ) ( B ` i ) = ( ( ( 1 - T ) x. ( A ` i ) ) + ( T x. ( C ` i ) ) ) /\ A. i e. ( 1 ... N ) ( E ` i ) = ( ( ( 1 - S ) x. ( D ` i ) ) + ( S x. ( F ` i ) ) ) ) ) /\ ( <. A , B >.Cgr <. D , E >. /\ <. B , C >.Cgr <. E , F >. ) ) -> sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( A ` j ) - ( C ` j ) ) ^ 2 ) = sum_ j e. ( 1 ... N ) ( ( ( D ` j ) - ( F ` j ) ) ^ 2 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sqrcsqrt 13973   sum_csu 14416   EEcee 25768  Cgrccgr 25770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-ee 25771  df-cgr 25773
This theorem is referenced by:  ax5seglem6  25814  ax5seg  25818
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