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Theorem binomlem 14561

Description: Lemma for binom 14562 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
binomlem.1
binomlem.2
binomlem.3
binomlem.4

**Assertion**
Ref	Expression
binomlem	$/\$

Distinct variable groups:

Allowed substitution hint:

(

)

Proof of Theorem binomlem Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomlem.4	. . . . . 6
2	1	adantl 482	. . . . 5 $/\$
3	2	oveq1d 6665	. . . 4 $/\$
4		fzfid 12772	. . . . . . 7
5		binomlem.1	. . . . . . 7
6		fzelp1 12393	. . . . . . . . 9
7		binomlem.3	. . . . . . . . . . 11
8		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11
9		bccl 13109	. . . . . . . . . . 11 $/\$
10	7, 8, 9	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	10	nn0cnd 11353	. . . . . . . . 9 $/\$
12	6, 11	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$
13		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . 10
14		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
15	5, 13, 14	syl2an 494	. . . . . . . . 9 $/\$
16		binomlem.2	. . . . . . . . . . 11
17		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . 11
18		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
19	16, 17, 18	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
20	6, 19	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$
21	15, 20	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
22	12, 21	mulcld 10060	. . . . . . 7 $/\$
23	4, 5, 22	fsummulc1 14517	. . . . . 6
24	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
25	12, 21, 24	mulassd 10063	. . . . . . . 8 $/\$
26	7	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . 15
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
28		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
29		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
31	30	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
32	27, 28, 31	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
33	32	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
34		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
35	5, 13, 34	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
36	33, 35	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$
37	36	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
38	15, 24, 20	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	37, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 $/\$
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
41	25, 40	eqtr4d 2659	. . . . . . 7 $/\$
42	41	sumeq2dv 14433	. . . . . 6
43		fzssp1 12384	. . . . . . . 8
44	43	a1i 11	. . . . . . 7
45		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . 11
46		expcl 12878	. . . . . . . . . . 11 $/\$
47	5, 45, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 $/\$
48	47, 19	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
49	11, 48	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
50	6, 49	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
51	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
52		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . 12 $\$
53	52, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $\$
54	53	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
55		eldifn 3733	. . . . . . . . . . 11 $\$
56	55	adantl 482	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
57		bcval3 13093	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
58	51, 54, 56, 57	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
59	58	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
60	48	mul02d 10234	. . . . . . . . 9 $/\$
61	52, 60	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
62	59, 61	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $\$
63		fzssuz 12382	. . . . . . . 8
64	63	a1i 11	. . . . . . 7
65	44, 50, 62, 64	sumss 14455	. . . . . 6
66	23, 42, 65	3eqtrd 2660	. . . . 5
67	66	adantr 481	. . . 4 $/\$
68	3, 67	eqtrd 2656	. . 3 $/\$
69	1	oveq1d 6665	. . . 4
70	4, 16, 22	fsummulc1 14517	. . . . 5
71		1zzd 11408	. . . . . . . 8
72		0z 11388	. . . . . . . . 9
73	72	a1i 11	. . . . . . . 8
74	7	nn0zd 11480	. . . . . . . 8
75	16	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
76	22, 75	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
77		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10
78		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
80		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11
81	79, 80	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
82	77, 81	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
83	82	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
84	71, 73, 74, 76, 83	fsumshft 14512	. . . . . . 7
85		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
87	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
88	87	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
89	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
90	88, 89	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10
91	86, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
92	91	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
93	92	cbvsumv 14426	. . . . . . 7
94	84, 93	syl6eq 2672	. . . . . 6
95	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
96		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	97	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
100	95, 98, 99	subsub3d 10422	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
101	100	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 $/\$
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$
103	102	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 $/\$
104	103	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$
105		fzp1ss 12392	. . . . . . . . . . . 12
106	72, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
107	106	sseli 3599	. . . . . . . . . 10
108	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
109	8	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
110		peano2zm 11420	. . . . . . . . . . . . 13
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
112		bccl 13109	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
113	108, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 $/\$
114	113	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . 10 $/\$
115	107, 114	sylan2 491	. . . . . . . . 9 $/\$
116	107, 47	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 $/\$
117	16	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
118		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . 14
119		0p1e1 11132	. . . . . . . . . . . . . . 15
120	119	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . 14
121	118, 120	eleq2s 2719	. . . . . . . . . . . . 13
122	121	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
123		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . . . 12
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$
125	117, 124	expcld 13008	. . . . . . . . . 10 $/\$
126	116, 125	mulcld 10060	. . . . . . . . 9 $/\$
127	115, 126, 117	mulassd 10063	. . . . . . . 8 $/\$
128	116, 125, 117	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 $/\$
129		expm1t 12888	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
130	16, 121, 129	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 $/\$
131	130	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
132	128, 131	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 $/\$
133	132	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 $/\$
134	104, 127, 133	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 $/\$
135	134	sumeq2dv 14433	. . . . . 6
136	106	a1i 11	. . . . . . 7
137	114, 48	mulcld 10060	. . . . . . . 8 $/\$
138	107, 137	sylan2 491	. . . . . . 7 $/\$
139	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
140		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . 13 $\$
141	140	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
142	141, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
143	142, 110	syl 17	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
144		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . 12 $\$
145	144	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
146	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
147	139	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
148		1zzd 11408	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
149		fzaddel 12375	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
150	146, 147, 143, 148, 149	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
151	142	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $\$
152		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . 14
153		npcan 10290	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
154	151, 152, 153	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $\$
155	154	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $\$
156	150, 155	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $\$
157	145, 156	mtbird 315	. . . . . . . . . 10 $/\$ $\$
158		bcval3 13093	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
159	139, 143, 157, 158	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 $/\$ $\$
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
161	140, 60	sylan2 491	. . . . . . . 8 $/\$ $\$
162	160, 161	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$ $\$
163	136, 138, 162, 64	sumss 14455	. . . . . 6
164	94, 135, 163	3eqtrd 2660	. . . . 5
165	70, 164	eqtrd 2656	. . . 4
166	69, 165	sylan9eqr 2678	. . 3 $/\$
167	68, 166	oveq12d 6668	. 2 $/\$
168	5, 16	addcld 10059	. . . . 5
169	168, 7	expp1d 13009	. . . 4
170	168, 7	expcld 13008	. . . . 5
171	170, 5, 16	adddid 10064	. . . 4
172	169, 171	eqtrd 2656	. . 3
173	172	adantr 481	. 2 $/\$
174		bcpasc 13108	. . . . . . . 8 $/\$
175	7, 8, 174	syl2an 494	. . . . . . 7 $/\$
176	175	oveq1d 6665	. . . . . 6 $/\$
177	11, 114, 48	adddird 10065	. . . . . 6 $/\$
178	176, 177	eqtr3d 2658	. . . . 5 $/\$
179	178	sumeq2dv 14433	. . . 4
180		fzfid 12772	. . . . 5
181	180, 49, 137	fsumadd 14470	. . . 4
182	179, 181	eqtrd 2656	. . 3
183	182	adantr 481	. 2 $/\$
184	167, 173, 183	3eqtr4d 2666	1 $/\$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990 $\$ cdif 3571

wss 3574

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cn 11020

cn0 11292

cz 11377

cuz 11687

cfz 12326

cexp 12860

cbc 13089

csu 14416

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-oadd 7564 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-oi 8415 df-card 8765 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-clim 14219 df-sum 14417

This theorem is referenced by: binom 14562

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