Theorem sumss 14455

Description: Change the index set to a subset in an upper integer sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumss.1	|- ( ph -> A C_ B )
sumss.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
sumss.3	|- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
sumss.4	|- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )

Assertion

Ref	Expression
sumss	|- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Distinct variable groups:   A, k   B, k   ph, k   k, M

Allowed substitution hint:   C( k)

Proof of Theorem sumss

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
2		simpr 477	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> M e. ZZ )
3		sumss.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A C_ B )
4		sumss.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
5	3, 4	sstrd 3613	. . . . . 6 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
6	5	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ k m
8		nffvmpt1 6199	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m )
9		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k m e. A
10		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` m )
11		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k 0
12	9, 10, 11	nfif 4115	. . . . . . . 8 |- F/_ k if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 )
13	8, 12	nfeq 2776	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 )
14		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) )
15		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( k e. A <-> m e. A ) )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` m ) )
17	15, 16	ifbieq1d 4109	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
18	14, 17	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( k = m -> ( ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) <-> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) )
20	19	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) )
21		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = C )
22	21	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( _I ` C ) )
23	20, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` C ) )
24		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( ( k e. A |-> C ) ` k ) )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
26	25	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( _I ` C ) )
27	24, 26	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) )
28	27	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) )
29	23, 28	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) )
30		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , C , 0 ) = 0 )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) )
32		0z 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ZZ
33		fvi 6255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 e. ZZ -> ( _I ` 0 ) = 0 )
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( _I ` 0 ) = 0
35	31, 34	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> ( _I ` if ( k e. A , C , 0 ) ) = 0 )
36	20, 35	sylan9eq 2676	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = 0 )
37		iffalse 4095	. . . . . . . . . 10 |- ( -. k e. A -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
38	37	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
39	36, 38	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) )
40	29, 39	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` k ) , 0 ) )
41	7, 13, 18, 40	vtoclgaf 3271	. . . . . 6 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
42	41	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. A , ( ( k e. A |-> C ) ` m ) , 0 ) )
43		sumss.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
44	43, 25	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
45	44	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
46	45	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
47	1, 2, 6, 42, 46	zsum 14449	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
48	4	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> B C_ ( ZZ>= ` M ) )
49		nfv 1843	. . . . . . . . 9 |- F/ k ph
50		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k m e. B
51		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k ( ( k e. B |-> C ) ` m )
52	50, 51, 11	nfif 4115	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 )
53	8, 52	nfeq 2776	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 )
54	49, 53	nfim 1825	. . . . . . . 8 |- F/ k ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( k e. B <-> m e. B ) )
56		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
57	55, 56	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
58	14, 57	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( k = m -> ( ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) <-> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) )
59	58	imbi2d 330	. . . . . . . 8 |- ( k = m -> ( ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) <-> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) ) )
60	23	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` C ) )
61	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A C_ B )
62	61	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> k e. B )
63		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( ( k e. B |-> C ) ` k ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. B |-> C ) = ( k e. B |-> C )
65	64	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. B -> ( ( k e. B |-> C ) ` k ) = ( _I ` C ) )
66	63, 65	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) )
67	62, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) )
68	60, 67	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) )
69	36	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = 0 )
70	66	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = ( _I ` C ) )
71		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( B \ A ) <-> ( k e. B /\ -. k e. A ) )
72		sumss.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C = 0 )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> ( _I ` C ) = ( _I ` 0 ) )
74		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. CC
75		fvi 6255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( _I ` 0 ) = 0
77	73, 76	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> ( _I ` C ) = 0 )
78	71, 77	sylan2br 493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> ( _I ` C ) = 0 )
79	70, 78	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
80	79	expr 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) )
81		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. k e. B -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
82	81	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
83	82	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ -. k e. B ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) )
84	80, 83	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) )
85	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( -. k e. A -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 ) )
86	85	imp 445	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) = 0 )
87	69, 86	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. k e. A ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) )
88	68, 87	pm2.61dan 832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) )
89	88	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` k ) = if ( k e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` k ) , 0 ) ) )
90	7, 54, 59, 89	vtoclgaf 3271	. . . . . . 7 |- ( m e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) ) )
91	90	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
92	91	adantlr 751	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ` m ) = if ( m e. B , ( ( k e. B |-> C ) ` m ) , 0 ) )
93	43	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A -> C e. CC ) )
94	93	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( k e. A -> C e. CC ) )
95	72, 74	syl6eqel 2709	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( B \ A ) ) -> C e. CC )
96	71, 95	sylan2br 493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. B /\ -. k e. A ) ) -> C e. CC )
97	96	expr 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> ( -. k e. A -> C e. CC ) )
98	94, 97	pm2.61d 170	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. B ) -> C e. CC )
99	98, 64	fmptd 6385	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
100	99	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> ( k e. B |-> C ) : B --> CC )
101	100	ffvelrnda 6359	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ M e. ZZ ) /\ m e. B ) -> ( ( k e. B |-> C ) ` m ) e. CC )
102	1, 2, 48, 92, 101	zsum 14449	. . . 4 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = ( ~~> ` seq M ( + , ( k e. ( ZZ>= ` M ) |-> if ( k e. A , C , 0 ) ) ) ) )
103	47, 102	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) )
104		sumfc 14440	. . 3 |- sum_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = sum_ k e. A C
105		sumfc 14440	. . 3 |- sum_ m e. B ( ( k e. B |-> C ) ` m ) = sum_ k e. B C
106	103, 104, 105	3eqtr3g 2679	. 2 |- ( ( ph /\ M e. ZZ ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
107	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ B )
108		uzf 11690	. . . . . . . . . . . 12 |- ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
109	108	fdmi 6052	. . . . . . . . . . 11 |- dom ZZ>= = ZZ
110	109	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. dom ZZ>= <-> M e. ZZ )
111		ndmfv 6218	. . . . . . . . . 10 |- ( -. M e. dom ZZ>= -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
112	110, 111	sylnbir 321	. . . . . . . . 9 |- ( -. M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) = (/) )
113	112	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( -. M e. ZZ -> ( B C_ ( ZZ>= ` M ) <-> B C_ (/) ) )
114	4, 113	syl5ib 234	. . . . . . 7 |- ( -. M e. ZZ -> ( ph -> B C_ (/) ) )
115	114	impcom 446	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B C_ (/) )
116	107, 115	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A C_ (/) )
117		ss0 3974	. . . . 5 |- ( A C_ (/) -> A = (/) )
118	116, 117	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = (/) )
119		ss0 3974	. . . . 5 |- ( B C_ (/) -> B = (/) )
120	115, 119	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> B = (/) )
121	118, 120	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> A = B )
122	121	sumeq1d 14431	. 2 |- ( ( ph /\ -. M e. ZZ ) -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )
123	106, 122	pm2.61dan 832	1 |- ( ph -> sum_ k e. A C = sum_ k e. B C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888   CCcc 9934   0cc0 9936   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   seqcseq 12801   ~~> cli 14215   sum_csu 14416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417

This theorem is referenced by:  fsumss  14456  sumss2  14457  binomlem  14561  eulerpartlemsv2  30420  eulerpartlemsv3  30423  eulerpartlemv  30426  eulerpartlemb  30430