Theorem bposlem4 25012

Description: Lemma for bpos 25018. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem4	|- ( ph -> M e. ( 3 ... K ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11185	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
2		5nn 11188	. . . . . . . . 9 |- 5 e. NN
3		bpos.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
4		eluznn 11758	. . . . . . . . 9 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
5	2, 3, 4	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ph -> N e. NN )
6		nnmulcl 11043	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
7	1, 5, 6	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
8	7	nnred 11035	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
9	7	nnrpd 11870	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
10	9	rpge0d 11876	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
11	8, 10	resqrtcld 14156	. . . . 5 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
12	11	flcld 12599	. . . 4 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
13		sqrt9 14014	. . . . . 6 |- ( sqr ` 9 ) = 3
14		9re 11107	. . . . . . . . 9 |- 9 e. RR
15	14	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 9 e. RR )
16		10re 11517	. . . . . . . . 9 |- ; 1 0 e. RR
17	16	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ; 1 0 e. RR )
18		lep1 10862	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
19	14, 18	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
20		9p1e10 11496	. . . . . . . . . 10 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
21	19, 20	breqtri 4678	. . . . . . . . 9 |- 9 <_ ; 1 0
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 9 <_ ; 1 0 )
23		5cn 11100	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. CC
24		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
25		5t2e10 11634	. . . . . . . . . 10 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
26	23, 24, 25	mulcomli 10047	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
27		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
28	3, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 5 <_ N )
29	5	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. RR )
30		5re 11099	. . . . . . . . . . . 12 |- 5 e. RR
31		2re 11090	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR
32		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 2
33	31, 32	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
34		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
35	30, 33, 34	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
36	29, 35	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
37	28, 36	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
38	26, 37	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ; 1 0 <_ ( 2 x. N ) )
39	15, 17, 8, 22, 38	letrd 10194	. . . . . . 7 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
40		0re 10040	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
41		9pos 11122	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 9
42	40, 14, 41	ltleii 10160	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 9
43	14, 42	pm3.2i 471	. . . . . . . 8 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
44	9	rprege0d 11879	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
45		sqrtle 14001	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
46	43, 44, 45	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
47	39, 46	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
48	13, 47	syl5eqbrr 4689	. . . . 5 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
49		3z 11410	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
50		flge 12606	. . . . . 6 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
51	11, 49, 50	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
52	48, 51	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
53	49	eluz1i 11695	. . . 4 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
54	12, 52, 53	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
55		3nn 11186	. . . . 5 |- 3 e. NN
56		nndivre 11056	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
57	8, 55, 56	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR )
58		3re 11094	. . . . . . . . 9 |- 3 e. RR
59	58	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 e. RR )
60	9	sqrtgt0d 14151	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
61		lemul2 10876	. . . . . . . 8 |- ( ( 3 e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 0 < ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
62	59, 11, 11, 60, 61	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
63	48, 62	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64		remsqsqrt 13997	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) = ( 2 x. N ) )
65	8, 10, 64	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) = ( 2 x. N ) )
66	63, 65	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) )
67		3pos 11114	. . . . . . . 8 |- 0 < 3
68	58, 67	pm3.2i 471	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
69	68	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
70		lemuldiv 10903	. . . . . 6 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
71	11, 8, 69, 70	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) x. 3 ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
72	66, 71	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
73		flword2 12614	. . . 4 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) / 3 ) e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
74	11, 57, 72, 73	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
75		elfzuzb 12336	. . 3 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) ) )
76	54, 74, 75	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) ) )
77		bpos.5	. 2 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
78		bpos.4	. . 3 |- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
79	78	oveq2i 6661	. 2 |- ( 3 ... K ) = ( 3 ... ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) ) )
80	76, 77, 79	3eltr4g 2718	1 |- ( ph -> M e. ( 3 ... K ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   5c5 11073   9c9 11077   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sqrcsqrt 13973   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975

This theorem is referenced by:  bposlem6  25014