Theorem rprege0d 11879

Description: A positive real is real and greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
rpred.1	|- ( ph -> A e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
rprege0d	|- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )

Proof of Theorem rprege0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpred.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpred 11872	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
3	1	rpge0d 11876	. 2 |- ( ph -> 0 <_ A )
4	2, 3	jca 554	1 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   RRcr 9935   0cc0 9936   <_ cle 10075   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  eirrlem  14932  prmreclem3  15622  prmreclem6  15625  cxprec  24432  cxpsqrt  24449  cxpcn3lem  24488  cxplim  24698  cxploglim2  24705  divsqrtsumlem  24706  divsqrtsumo1  24710  fsumharmonic  24738  zetacvg  24741  logfacubnd  24946  logfacbnd3  24948  bposlem1  25009  bposlem4  25012  bposlem7  25015  bposlem9  25017  dchrmusum2  25183  dchrvmasumlem3  25188  dchrisum0flblem2  25198  dchrisum0fno1  25200  dchrisum0lema  25203  dchrisum0lem1b  25204  dchrisum0lem1  25205  dchrisum0lem2a  25206  dchrisum0lem2  25207  dchrisum0lem3  25208  chpdifbndlem2  25243  selberg3lem1  25246  pntrsumo1  25254  pntrlog2bndlem2  25267  pntrlog2bndlem4  25269  pntrlog2bndlem6a  25271  pntpbnd2  25276  pntibndlem2  25280  pntlemb  25286  pntlemg  25287  pntlemh  25288  pntlemn  25289  pntlemr  25291  pntlemj  25292  pntlemf  25294  pntlemk  25295  pntlemo  25296  blocnilem  27659  ubthlem2  27727  minvecolem4  27736  2sqmod  29648  eulerpartlemgc  30424  irrapxlem4  37389  irrapxlem5  37390  stirlinglem3  40293  stirlinglem15  40305  amgmlemALT  42549