Theorem bposlem5 25013

Description: Lemma for bpos 25018. Bound the product of all small primes in the binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Mar-2014.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bpos.1	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
bpos.2	|- ( ph -> -. E. p e. Prime ( N < p /\ p <_ ( 2 x. N ) ) )
bpos.3	|- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
bpos.4	|- K = ( |_ ` ( ( 2 x. N ) / 3 ) )
bpos.5	|- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )

Assertion

Ref	Expression
bposlem5	|- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Distinct variable groups:   F, p   n, p, K   M, p   n, N, p   ph, n, p

Allowed substitution hints:   F( n)   M( n)

Proof of Theorem bposlem5

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bpos.3	. . . . . 6 |- F = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
2		id 22	. . . . . . . 8 |- ( n e. Prime -> n e. Prime )
3		5nn 11188	. . . . . . . . . . 11 |- 5 e. NN
4		bpos.1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 5 ) )
5		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 5 e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` 5 ) ) -> N e. NN )
6	3, 4, 5	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. NN )
7	6	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> N e. NN0 )
8		fzctr 12451	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) )
9		bccl2 13110	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ( 0 ... ( 2 x. N ) ) -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
10	7, 8, 9	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN )
11		pccl 15554	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. Prime /\ ( ( 2 x. N ) _C N ) e. NN ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
12	2, 10, 11	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. Prime ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
13	12	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. Prime ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) e. NN0 )
14	1, 13	pcmptcl 15595	. . . . 5 |- ( ph -> ( F : NN --> NN /\ seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN ) )
15	14	simprd 479	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN )
16		3nn 11186	. . . . 5 |- 3 e. NN
17		bpos.5	. . . . . 6 |- M = ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
18		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
19	6	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. ZZ )
20		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
21	18, 19, 20	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
22	21	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR )
23		2nn 11185	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. NN
24		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. NN /\ N e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
25	23, 6, 24	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. NN )
26	25	nnrpd 11870	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. RR+ )
27	26	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 <_ ( 2 x. N ) )
28	22, 27	resqrtcld 14156	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR )
29	28	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ )
30		sqrt9 14014	. . . . . . . . 9 |- ( sqr ` 9 ) = 3
31		9re 11107	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 e. RR )
33		10re 11517	. . . . . . . . . . . 12 |- ; 1 0 e. RR
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ; 1 0 e. RR )
35		lep1 10862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 9 e. RR -> 9 <_ ( 9 + 1 ) )
36	31, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- 9 <_ ( 9 + 1 )
37		9p1e10 11496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 9 + 1 ) = ; 1 0
38	36, 37	breqtri 4678	. . . . . . . . . . . 12 |- 9 <_ ; 1 0
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 9 <_ ; 1 0 )
40		5cn 11100	. . . . . . . . . . . . 13 |- 5 e. CC
41		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
42		5t2e10 11634	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 5 x. 2 ) = ; 1 0
43	40, 41, 42	mulcomli 10047	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 x. 5 ) = ; 1 0
44		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. ( ZZ>= ` 5 ) -> 5 <_ N )
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 5 <_ N )
46	6	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. RR )
47		5re 11099	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 5 e. RR
48		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 2 e. RR
49		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < 2
50	48, 49	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
51		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 5 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
52	47, 50, 51	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. RR -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
53	46, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 5 <_ N <-> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
54	45, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 2 x. 5 ) <_ ( 2 x. N ) )
55	43, 54	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ; 1 0 <_ ( 2 x. N ) )
56	32, 34, 22, 39, 55	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 9 <_ ( 2 x. N ) )
57		0re 10040	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
58		9pos 11122	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 9
59	57, 31, 58	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 <_ 9
60	31, 59	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 )
61	22, 27	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) )
62		sqrtle 14001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 9 e. RR /\ 0 <_ 9 ) /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 x. N ) ) ) -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
63	60, 61, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 9 <_ ( 2 x. N ) <-> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
64	56, 63	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( sqr ` 9 ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
65	30, 64	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
66		3z 11410	. . . . . . . . 9 |- 3 e. ZZ
67		flge 12606	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
68	28, 66, 67	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
69	65, 68	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) )
70	66	eluz1i 11695	. . . . . . 7 |- ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ZZ /\ 3 <_ ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) ) )
71	29, 69, 70	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
72	17, 71	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` 3 ) )
73		eluznn 11758	. . . . 5 |- ( ( 3 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> M e. NN )
74	16, 72, 73	sylancr 695	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN )
75	15, 74	ffvelrnd 6360	. . 3 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. NN )
76	75	nnred 11035	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) e. RR )
77	74	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> M e. RR )
78		ppicl 24857	. . . . 5 |- ( M e. RR -> (π ` M ) e. NN0 )
79	77, 78	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) e. NN0 )
80	25, 79	nnexpcld 13030	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. NN )
81	80	nnred 11035	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) e. RR )
82		nndivre 11056	. . . . 5 |- ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
83	28, 16, 82	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR )
84		readdcl 10019	. . . 4 |- ( ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
85	83, 48, 84	sylancl 694	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) e. RR )
86	22, 27, 85	recxpcld 24469	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) e. RR )
87		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = (π ` 1 ) )
89		ppi1 24890	. . . . . . . 8 |- (π ` 1 ) = 0
90	88, 89	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( x = 1 -> (π ` x ) = 0 )
91	90	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = 1 -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
92	87, 91	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) )
93	92	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = 1 -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) ) ) )
94		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
95		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = k -> (π ` x ) = (π ` k ) )
96	95	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = k -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
97	94, 96	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = k -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
98	97	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = k -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) ) )
99		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) )
100		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = ( k + 1 ) -> (π ` x ) = (π ` ( k + 1 ) ) )
101	100	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) )
102	99, 101	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
103	102	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
104		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) )
105		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( x = M -> (π ` x ) = (π ` M ) )
106	105	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
107	104, 106	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( x = M -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
108	107	imbi2d 330	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` x ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` x ) ) ) <-> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) ) )
109		1z 11407	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
110		seq1 12814	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. ZZ -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 ) )
111	109, 110	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = ( F ` 1 )
112		1nn 11031	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
113		1nprm 15392	. . . . . . . . . . 11 |- -. 1 e. Prime
114		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( n e. Prime <-> 1 e. Prime ) )
115	113, 114	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 1 -> -. n e. Prime )
116	115	iffalsed 4097	. . . . . . . . 9 |- ( n = 1 -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
117		1ex 10035	. . . . . . . . 9 |- 1 e. _V
118	116, 1, 117	fvmpt 6282	. . . . . . . 8 |- ( 1 e. NN -> ( F ` 1 ) = 1 )
119	112, 118	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( F ` 1 ) = 1
120	111, 119	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) = 1
121		1le1 10655	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
122	120, 121	eqbrtri 4674	. . . . 5 |- ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ 1
123	21	zcnd 11483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. CC )
124	123	exp0d 13002	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) = 1 )
125	122, 124	syl5breqr 4691	. . . 4 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` 1 ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ 0 ) )
126	15	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
127	126	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
128	127	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
129	25	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
130		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. RR )
131	130	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> k e. RR )
132		ppicl 24857	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. RR -> (π ` k ) e. NN0 )
133	131, 132	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` k ) e. NN0 )
134	129, 133	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. NN )
135	134	nnred 11035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR )
136		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( 2 x. N ) e. RR )
137		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> 0 < ( 2 x. N ) )
138	136, 137	jca 554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. N ) e. NN -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
139	25, 138	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
140	139	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) )
141		lemul1 10875	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 0 < ( 2 x. N ) ) ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
142	128, 135, 140, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
143		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
144	143	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
145		ppiprm 24877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
146	144, 145	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = ( (π ` k ) + 1 ) )
147	146	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) )
148	123	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. CC )
149	148, 133	expp1d 13009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ ( (π ` k ) + 1 ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
150	147, 149	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) )
151	150	breq2d 4665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
152	142, 151	bitr4d 271	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
153		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. NN )
154		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . 13 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
155	153, 154	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
156		seqp1 12816	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
157	155, 156	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
159		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
160	159	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
161		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n e. Prime <-> ( k + 1 ) e. Prime ) )
162		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> n = ( k + 1 ) )
163		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) = ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) )
164	162, 163	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
165	161, 164	ifbieq1d 4109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> if ( n e. Prime , ( n ^ ( n pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
166		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) e. _V
167	166, 117	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) e. _V
168	165, 1, 167	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
169	160, 168	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) )
170		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
171	169, 170	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) )
172	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> N e. NN )
173		bposlem1 25009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
174	172, 173	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) <_ ( 2 x. N ) )
175	171, 174	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) )
176	14	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : NN --> NN )
177		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
178	176, 159, 177	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. NN )
179	178	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR )
181	22	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
182		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR )
183		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
184	182, 183	jca 554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
185	126, 184	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
186	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) )
187		lemul2 10876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( 2 x. N ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. RR /\ 0 < ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
188	180, 181, 186, 187	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( F ` ( k + 1 ) ) <_ ( 2 x. N ) <-> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) ) )
189	175, 188	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
190	158, 189	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) )
191		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( seq 1 ( x. , F ) : NN --> NN /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
192	15, 159, 191	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. NN )
193	192	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
194	25	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 2 x. N ) e. NN )
195	126, 194	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. NN )
196	195	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR )
197	160	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
198		ppicl 24857	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k + 1 ) e. RR -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
199	197, 198	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> (π ` ( k + 1 ) ) e. NN0 )
200	194, 199	nnexpcld 13030	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. NN )
201	200	nnred 11035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
202		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
203	193, 196, 201, 202	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
204	203	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) /\ ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
205	190, 204	mpand 711	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( 2 x. N ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
206	152, 205	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
207	157	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
208		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( k + 1 ) e. Prime -> if ( ( k + 1 ) e. Prime , ( ( k + 1 ) ^ ( ( k + 1 ) pCnt ( ( 2 x. N ) _C N ) ) ) , 1 ) = 1 )
209	169, 208	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = 1 )
210	209	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. ( F ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) )
211	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. NN )
212	211	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) e. CC )
213	212	mulid1d 10057	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) x. 1 ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
214	207, 210, 213	3eqtrd 2660	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) = ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) )
215		ppinprm 24878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
216	144, 215	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> (π ` ( k + 1 ) ) = (π ` k ) )
217	216	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) )
218	214, 217	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) <-> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) )
219	218	biimprd 238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. ( k + 1 ) e. Prime ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
220	206, 219	pm2.61dan 832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) )
221	220	expcom 451	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
222	221	a2d 29	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` k ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` k ) ) ) -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` ( k + 1 ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
223	93, 98, 103, 108, 125, 222	nnind 11038	. . 3 |- ( M e. NN -> ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) ) )
224	74, 223	mpcom 38	. 2 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
225		cxpexp 24414	. . . 4 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ (π ` M ) e. NN0 ) -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
226	123, 79, 225	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) = ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) )
227	79	nn0red 11352	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) e. RR )
228		nndivre 11056	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ 3 e. NN ) -> ( M / 3 ) e. RR )
229	77, 16, 228	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) e. RR )
230		readdcl 10019	. . . . . 6 |- ( ( ( M / 3 ) e. RR /\ 2 e. RR ) -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
231	229, 48, 230	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) e. RR )
232	74	nnnn0d 11351	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. NN0 )
233	232	nn0ge0d 11354	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ M )
234		ppiub 24929	. . . . . 6 |- ( ( M e. RR /\ 0 <_ M ) -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
235	77, 233, 234	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( M / 3 ) + 2 ) )
236	48	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> 2 e. RR )
237		flle 12600	. . . . . . . . 9 |- ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
238	28, 237	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` ( sqr ` ( 2 x. N ) ) ) <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
239	17, 238	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ph -> M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) )
240		3re 11094	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
241		3pos 11114	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 3
242	240, 241	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
243	242	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) )
244		lediv1 10888	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
245	77, 28, 243, 244	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( M <_ ( sqr ` ( 2 x. N ) ) <-> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) ) )
246	239, 245	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ph -> ( M / 3 ) <_ ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) )
247	229, 83, 236, 246	leadd1dd 10641	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( M / 3 ) + 2 ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
248	227, 231, 85, 235, 247	letrd 10194	. . . 4 |- ( ph -> (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) )
249		2t1e2 11176	. . . . . . . 8 |- ( 2 x. 1 ) = 2
250	6	nnge1d 11063	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 <_ N )
251		1re 10039	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR
252		lemul2 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
253	251, 50, 252	mp3an13 1415	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. RR -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
254	46, 253	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 <_ N <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) ) )
255	250, 254	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. N ) )
256	249, 255	syl5eqbrr 4689	. . . . . . 7 |- ( ph -> 2 <_ ( 2 x. N ) )
257	18	eluz1i 11695	. . . . . . 7 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( 2 x. N ) ) )
258	21, 256, 257	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
259		eluz2gt1 11760	. . . . . 6 |- ( ( 2 x. N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < ( 2 x. N ) )
260	258, 259	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> 1 < ( 2 x. N ) )
261	22, 260, 227, 85	cxpled 24466	. . . 4 |- ( ph -> ( (π ` M ) <_ ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) <-> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) ) )
262	248, 261	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^c (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
263	226, 262	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ph -> ( ( 2 x. N ) ^ (π ` M ) ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )
264	76, 81, 86, 224, 263	letrd 10194	1 |- ( ph -> ( seq 1 ( x. , F ) ` M ) <_ ( ( 2 x. N ) ^c ( ( ( sqr ` ( 2 x. N ) ) / 3 ) + 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   5c5 11073   9c9 11077   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   ^cexp 12860   _C cbc 13089   sqrcsqrt 13973   Primecprime 15385   pCnt cpc 15541   ^c ccxp 24302  πcppi 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  bposlem6  25014