Theorem chfacfpmmulcl 20666

Description: Closure of the value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	|- A = ( N Mat R )
cayhamlem1.b	|- B = ( Base ` A )
cayhamlem1.p	|- P = (Poly1 ` R )
cayhamlem1.y	|- Y = ( N Mat P )
cayhamlem1.r	|- .X. = ( .r ` Y )
cayhamlem1.s	|- .- = ( -g ` Y )
cayhamlem1.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
cayhamlem1.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
cayhamlem1.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmulcl	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s

Allowed substitution hints:   A( n, s, b)   B( s, b)   P( n, s, b)   R( s, b)   T( n, s, b)   .X. ( n, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   K( n, s, b)   M( s, b)   .- ( n, s, b)   N( s, b)   Y( s, b)   .0. ( n, s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crngring 18558	. . . . 5 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
2		cayhamlem1.p	. . . . . 6 |- P = (Poly1 ` R )
3		cayhamlem1.y	. . . . . 6 |- Y = ( N Mat P )
4	2, 3	pmatring 20498	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
5	1, 4	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
6	5	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
7	6	3ad2ant1 1082	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> Y e. Ring )
8		eqid 2622	. . . . . 6 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
9	8	ringmgp 18553	. . . . 5 |- ( Y e. Ring -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
10	6, 9	syl 17	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
11	10	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
12		simp3 1063	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
13		cayhamlem1.t	. . . . . 6 |- T = ( N matToPolyMat R )
14		cayhamlem1.a	. . . . . 6 |- A = ( N Mat R )
15		cayhamlem1.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` A )
16	13, 14, 15, 2, 3	mat2pmatbas 20531	. . . . 5 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
17	1, 16	syl3an2 1360	. . . 4 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
18	17	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
19		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
20	8, 19	mgpbas 18495	. . . 4 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` (mulGrp ` Y ) )
21		cayhamlem1.e	. . . 4 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
22	20, 21	mulgnn0cl 17558	. . 3 |- ( ( (mulGrp ` Y ) e. Mnd /\ K e. NN0 /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
23	11, 12, 18, 22	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
24		cayhamlem1.r	. . . . . 6 |- .X. = ( .r ` Y )
25		cayhamlem1.s	. . . . . 6 |- .- = ( -g ` Y )
26		cayhamlem1.0	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` Y )
27		cayhamlem1.g	. . . . . 6 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
28	14, 15, 2, 3, 24, 25, 26, 13, 27	chfacfisf 20659	. . . . 5 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
29	1, 28	syl3anl2 1375	. . . 4 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
30	29	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> G : NN0 --> ( Base ` Y ) )
31	30, 12	ffvelrnd 6360	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( G ` K ) e. ( Base ` Y ) )
32	19, 24	ringcl 18561	. 2 |- ( ( Y e. Ring /\ ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) /\ ( G ` K ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )
33	7, 23, 31, 32	syl3anc 1326	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) e. ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulgsum  20669