Theorem chfacfpmmul0 20667

Description: The value of the "characteristic factor function" multiplied with a constant polynomial matrix is zero almost always. (Contributed by AV, 23-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cayhamlem1.a	|- A = ( N Mat R )
cayhamlem1.b	|- B = ( Base ` A )
cayhamlem1.p	|- P = (Poly1 ` R )
cayhamlem1.y	|- Y = ( N Mat P )
cayhamlem1.r	|- .X. = ( .r ` Y )
cayhamlem1.s	|- .- = ( -g ` Y )
cayhamlem1.0	|- .0. = ( 0g ` Y )
cayhamlem1.t	|- T = ( N matToPolyMat R )
cayhamlem1.g	|- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
cayhamlem1.e	|- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )

Assertion

Ref	Expression
chfacfpmmul0	|- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = .0. )

Distinct variable groups:   B, n   n, M   n, N   R, n   n, Y   n, b   n, s   n, K   .0. , n

Allowed substitution hints:   A( n, s, b)   B( s, b)   P( n, s, b)   R( s, b)   T( n, s, b)   .X. ( n, s, b)   .^ ( n, s, b)   G( n, s, b)   K( s, b)   M( s, b)   .- ( n, s, b)   N( s, b)   Y( s, b)   .0. ( s, b)

Proof of Theorem chfacfpmmul0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11693	. . . . . 6 |- ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) <-> ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) )
2		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> K e. ZZ )
3		nngt0 11049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> 0 < s )
4		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( s e. NN -> s e. RR )
5	4	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> s e. RR )
6		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. RR+
7	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 2 e. RR+ )
8	5, 7	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> s < ( s + 2 ) )
9		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 0 e. RR )
10		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. RR
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 2 e. RR )
12	5, 11	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( s + 2 ) e. RR )
13		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 e. RR /\ s e. RR /\ ( s + 2 ) e. RR ) -> ( ( 0 < s /\ s < ( s + 2 ) ) -> 0 < ( s + 2 ) ) )
14	9, 5, 12, 13	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( 0 < s /\ s < ( s + 2 ) ) -> 0 < ( s + 2 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( 0 < s -> 0 < ( s + 2 ) ) )
16	15	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( K e. ZZ -> ( s e. NN -> ( 0 < s -> 0 < ( s + 2 ) ) ) )
17	16	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 < s -> ( s e. NN -> ( K e. ZZ -> 0 < ( s + 2 ) ) ) )
18	3, 17	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s e. NN -> ( K e. ZZ -> 0 < ( s + 2 ) ) )
19	18	impcom 446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> 0 < ( s + 2 ) )
20		zre 11381	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( K e. ZZ -> K e. RR )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> K e. RR )
22		ltleletr 10130	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0 e. RR /\ ( s + 2 ) e. RR /\ K e. RR ) -> ( ( 0 < ( s + 2 ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K ) )
23	9, 12, 21, 22	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( 0 < ( s + 2 ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K ) )
24	19, 23	mpand 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K -> 0 <_ K ) )
25	24	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> 0 <_ K )
26		elnn0z 11390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( K e. NN0 <-> ( K e. ZZ /\ 0 <_ K ) )
27	2, 25, 26	sylanbrc 698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> K e. NN0 )
28		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> s e. CC )
29		add1p1 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. CC -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
31	30	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 1 ) + 1 ) = ( s + 2 ) )
32	31	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( s + 2 ) = ( ( s + 1 ) + 1 ) )
33	32	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K ) )
34		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> s e. ZZ )
35	34	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. ZZ )
36	35	anim2i 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( K e. ZZ /\ ( s + 1 ) e. ZZ ) )
37	36	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
38		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( s + 1 ) < K <-> ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K ) )
39	38	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( s + 1 ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( ( s + 1 ) + 1 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
41	33, 40	bitrd 268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K <-> ( s + 1 ) < K ) )
42	41	biimpa 501	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s + 1 ) < K )
43	27, 42	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) )
44	43	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ s e. NN ) -> ( ( s + 2 ) <_ K -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
45	44	impancom 456	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s e. NN -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
46	45	3adant1 1079	. . . . . . 7 |- ( ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( s e. NN -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
47	46	com12 32	. . . . . 6 |- ( s e. NN -> ( ( ( s + 2 ) e. ZZ /\ K e. ZZ /\ ( s + 2 ) <_ K ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
48	1, 47	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( s e. NN -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
49	48	adantr 481	. . . 4 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
50	49	adantl 482	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) ) )
51		cayhamlem1.g	. . . . . . . 8 |- G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) )
52	51	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> G = ( n e. NN0 |-> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) ) )
53		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 e. RR )
54		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. RR -> ( s + 1 ) e. RR )
55	4, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( s e. NN -> ( s + 1 ) e. RR )
56	55	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> ( s + 1 ) e. RR )
57	56	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( s + 1 ) e. RR )
58	57	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( s + 1 ) e. RR )
59		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
60	59	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K e. RR )
61		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( s e. NN -> s e. NN0 )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) -> s e. NN0 )
63	62	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> s e. NN0 )
64		nn0p1gt0 11322	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( s e. NN0 -> 0 < ( s + 1 ) )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> 0 < ( s + 1 ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 < ( s + 1 ) )
67		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( s + 1 ) < K )
68	53, 58, 60, 66, 67	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> 0 < K )
69	68	gt0ne0d 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= 0 )
70	69	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> -. K = 0 )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. K = 0 )
72		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = K -> ( n = 0 <-> K = 0 ) )
73	72	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( -. n = 0 <-> -. K = 0 ) )
74	73	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( -. n = 0 <-> -. K = 0 ) )
75	71, 74	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. n = 0 )
76	75	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) )
77	56	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( s + 1 ) e. RR )
78		ltne 10134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( s + 1 ) e. RR /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= ( s + 1 ) )
79	77, 78	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K =/= ( s + 1 ) )
80	79	neneqd 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> -. K = ( s + 1 ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. K = ( s + 1 ) )
82		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = K -> ( n = ( s + 1 ) <-> K = ( s + 1 ) ) )
83	82	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( -. n = ( s + 1 ) <-> -. K = ( s + 1 ) ) )
84	83	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( -. n = ( s + 1 ) <-> -. K = ( s + 1 ) ) )
85	81, 84	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> -. n = ( s + 1 ) )
86	85	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) = if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) )
87		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( s + 1 ) < K )
88		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = K -> ( ( s + 1 ) < n <-> ( s + 1 ) < K ) )
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( ( s + 1 ) < n <-> ( s + 1 ) < K ) )
90	87, 89	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> ( s + 1 ) < n )
91	90	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) = .0. )
92	76, 86, 91	3eqtrd 2660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) /\ n = K ) -> if ( n = 0 , ( .0. .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` 0 ) ) ) ) , if ( n = ( s + 1 ) , ( T ` ( b ` s ) ) , if ( ( s + 1 ) < n , .0. , ( ( T ` ( b ` ( n - 1 ) ) ) .- ( ( T ` M ) .X. ( T ` ( b ` n ) ) ) ) ) ) ) = .0. )
93		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> K e. NN0 )
94		cayhamlem1.0	. . . . . . . . 9 |- .0. = ( 0g ` Y )
95		fvex 6201	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` Y ) e. _V
96	94, 95	eqeltri 2697	. . . . . . . 8 |- .0. e. _V
97	96	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> .0. e. _V )
98	52, 92, 93, 97	fvmptd 6288	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( G ` K ) = .0. )
99	98	oveq2d 6666	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. .0. ) )
100		crngring 18558	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. CRing -> R e. Ring )
101		cayhamlem1.p	. . . . . . . . . . 11 |- P = (Poly1 ` R )
102		cayhamlem1.y	. . . . . . . . . . 11 |- Y = ( N Mat P )
103	101, 102	pmatring 20498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring ) -> Y e. Ring )
104	100, 103	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing ) -> Y e. Ring )
105	104	3adant3 1081	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> Y e. Ring )
106	105	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> Y e. Ring )
107	106	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> Y e. Ring )
108		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (mulGrp ` Y ) = (mulGrp ` Y )
109	108	ringmgp 18553	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. Ring -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
110	105, 109	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
111	110	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> (mulGrp ` Y ) e. Mnd )
112		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> K e. NN0 )
113		cayhamlem1.t	. . . . . . . . . . 11 |- T = ( N matToPolyMat R )
114		cayhamlem1.a	. . . . . . . . . . 11 |- A = ( N Mat R )
115		cayhamlem1.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` A )
116	113, 114, 115, 101, 102	mat2pmatbas 20531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ R e. Ring /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
117	100, 116	syl3an2 1360	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
118	117	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) )
119		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` Y )
120	108, 119	mgpbas 18495	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` Y ) = ( Base ` (mulGrp ` Y ) )
121		cayhamlem1.e	. . . . . . . . 9 |- .^ = (.g ` (mulGrp ` Y ) )
122	120, 121	mulgnn0cl 17558	. . . . . . . 8 |- ( ( (mulGrp ` Y ) e. Mnd /\ K e. NN0 /\ ( T ` M ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
123	111, 112, 118, 122	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
124	123	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) )
125		cayhamlem1.r	. . . . . . 7 |- .X. = ( .r ` Y )
126	119, 125, 94	ringrz 18588	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Ring /\ ( K .^ ( T ` M ) ) e. ( Base ` Y ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. .0. ) = .0. )
127	107, 124, 126	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. .0. ) = .0. )
128	99, 127	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) /\ K e. NN0 ) /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = .0. )
129	128	expl 648	. . 3 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( ( K e. NN0 /\ ( s + 1 ) < K ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = .0. ) )
130	50, 129	syld 47	. 2 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) ) -> ( K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = .0. ) )
131	130	3impia 1261	1 |- ( ( ( N e. Fin /\ R e. CRing /\ M e. B ) /\ ( s e. NN /\ b e. ( B ^m ( 0 ... s ) ) ) /\ K e. ( ZZ>= ` ( s + 2 ) ) ) -> ( ( K .^ ( T ` M ) ) .X. ( G ` K ) ) = .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   Basecbs 15857   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Mndcmnd 17294   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  mulGrpcmgp 18489   Ringcrg 18547   CRingccrg 18548  Poly₁cpl1 19547   Mat cmat 20213   matToPolyMat cmat2pmat 20509

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-hash 13118  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-prds 16108  df-pws 16110  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-ascl 19314  df-psr 19356  df-mpl 19358  df-opsr 19360  df-psr1 19550  df-ply1 19552  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mamu 20190  df-mat 20214  df-mat2pmat 20512

This theorem is referenced by:  chfacfpmmulfsupp  20668  chfacfpmmulgsum  20669