Theorem cmetcau 23087

Description: The convergence of a Cauchy sequence in a complete metric space. (Contributed by NM, 19-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Oct-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cmetcau.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
cmetcau	|- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Proof of Theorem cmetcau

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cmetmet 23084	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
2		metxmet 22139	. . . . 5 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
4		caun0 23079	. . . 4 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> X =/= (/) )
5	3, 4	sylan 488	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> X =/= (/) )
6		n0 3931	. . 3 |- ( X =/= (/) <-> E. x x e. X )
7	5, 6	sylib 208	. 2 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> E. x x e. X )
8		cmetcau.1	. . 3 |- J = ( MetOpen ` D )
9		simpll 790	. . 3 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) /\ x e. X ) -> D e. ( CMet ` X ) )
10		simpr 477	. . 3 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) /\ x e. X ) -> x e. X )
11		simplr 792	. . 3 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) /\ x e. X ) -> F e. ( Cau ` D ) )
12		eqid 2622	. . 3 |- ( y e. NN |-> if ( y e. dom F , ( F ` y ) , x ) ) = ( y e. NN |-> if ( y e. dom F , ( F ` y ) , x ) )
13	8, 9, 10, 11, 12	cmetcaulem 23086	. 2 |- ( ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) /\ x e. X ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )
14	7, 13	exlimddv 1863	1 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ F e. ( Cau ` D ) ) -> F e. dom ( ~~> t ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   (/)c0 3915   ifcif 4086   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888   NNcn 11020   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   Caucca 23051   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

This theorem is referenced by:  iscmet3  23091  iscmet2  23092  bcthlem4  23124  minvecolem4a  27733  hlcompl  27771  heiborlem9  33618  bfplem1  33621