Theorem bfplem1 33621

Description: Lemma for bfp 33623. The sequence G, which simply starts from any point in the space and iterates F, satisfies the property that the distance from G ( n ) to G ( n + 1 ) decreases by at least K after each step. Thus, the total distance from any G ( i ) to G ( j ) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ( ( ~~> t ` J ) ` G ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
bfp.3	|- ( ph -> X =/= (/) )
bfp.4	|- ( ph -> K e. RR+ )
bfp.5	|- ( ph -> K < 1 )
bfp.6	|- ( ph -> F : X --> X )
bfp.7	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
bfp.8	|- J = ( MetOpen ` D )
bfp.9	|- ( ph -> A e. X )
bfp.10	|- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )

Assertion

Ref	Expression
bfplem1	|- ( ph -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, G, y   x, J, y   ph, x, y   x, F, y   x, K, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem bfplem1

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . 3 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
2		cmetmet 23084	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
3	1, 2	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		nnuz 11723	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		bfp.10	. . . . 5 |- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )
6		1zzd 11408	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
7		bfp.9	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
8		bfp.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> X )
9	4, 5, 6, 7, 8	algrf 15286	. . . 4 |- ( ph -> G : NN --> X )
10	8, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` A ) e. X )
11		metcl 22137	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` A ) e. X ) -> ( A D ( F ` A ) ) e. RR )
12	3, 7, 10, 11	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) e. RR )
13		bfp.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
14	12, 13	rerpdivcld 11903	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. RR )
15		bfp.5	. . . 4 |- ( ph -> K < 1 )
16		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( G ` j ) = ( G ` 1 ) )
17		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
18	17	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( 1 + 1 ) ) )
19	16, 18	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( K ^ j ) = ( K ^ 1 ) )
21	20	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) )
22	19, 21	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) ) ) )
24		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
25		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
26	25	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( k + 1 ) ) )
27	24, 26	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
28		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( K ^ j ) = ( K ^ k ) )
29	28	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) )
30	27, 29	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( k + 1 ) ) )
33		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
34	33	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) )
35	32, 34	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) )
36		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( K ^ j ) = ( K ^ ( k + 1 ) ) )
37	36	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) )
38	35, 37	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
39	38	imbi2d 330	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
40	12	leidd 10594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) <_ ( A D ( F ` A ) ) )
41	4, 5, 6, 7	algr0 15285	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` 1 ) = A )
42		1nn 11031	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
43	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 15287	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 e. NN ) -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` ( G ` 1 ) ) )
44	42, 43	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` ( G ` 1 ) ) )
45	41	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` ( G ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
46	44, 45	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` A ) )
47	41, 46	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) = ( A D ( F ` A ) ) )
48	13	rpred 11872	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. RR )
49	48	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. CC )
50	49	exp1d 13003	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ^ 1 ) = K )
51	50	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. K ) )
52	12	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) e. CC )
53	13	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K =/= 0 )
54	52, 49, 53	divcan1d 10802	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. K ) = ( A D ( F ` A ) ) )
55	51, 54	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) = ( A D ( F ` A ) ) )
56	40, 47, 55	3brtr4d 4685	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) )
57	9	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. X )
58		peano2nn 11032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
59		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> X /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. X )
60	9, 58, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. X )
61	57, 60	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) )
62		bfp.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
63	62	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
65		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( G ` k ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G ` k ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) )
67		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( G ` k ) -> ( x D y ) = ( ( G ` k ) D y ) )
68	67	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G ` k ) -> ( K x. ( x D y ) ) = ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) )
69	66, 68	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
71	70	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
72		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( G ` k ) D y ) = ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) = ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
74	71, 73	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	69, 74	rspc2v 3322	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	61, 64, 75	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	3	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
78	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : X --> X )
79	78, 57	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. X )
80	78, 60	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. X )
81		metcl 22137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( G ` k ) ) e. X /\ ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
82	77, 79, 80, 81	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
83	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> K e. RR )
84		metcl 22137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
85	77, 57, 60, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
86	83, 85	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
87	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. RR )
88	58	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
89	88	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
90	83, 89	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
91	87, 90	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) e. RR )
92		letr 10131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
93	82, 86, 91, 92	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
94	76, 93	mpand 711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
95		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
96		reexpcl 12877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( K ^ k ) e. RR )
97	48, 95, 96	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ k ) e. RR )
98	87, 97	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) e. RR )
99	13	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < K )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < K )
101		lemul1 10875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 < K ) ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) ) )
102	85, 98, 83, 100, 101	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) ) )
103	85	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
104	49	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> K e. CC )
105	103, 104	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) = ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
106	87	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. CC )
107	97	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ k ) e. CC )
108	106, 107, 104	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( ( K ^ k ) x. K ) ) )
109		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) = ( ( K ^ k ) x. K ) )
110	49, 95, 109	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) = ( ( K ^ k ) x. K ) )
111	110	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( ( K ^ k ) x. K ) ) )
112	108, 111	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) )
113	105, 112	breq12d 4666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) <-> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
114	102, 113	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
115	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 15287	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
116	4, 5, 6, 7, 8	algrp1 15287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
117	58, 116	sylan2 491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
118	115, 117	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
119	118	breq1d 4663	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
120	94, 114, 119	3imtr4d 283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
121	120	expcom 451	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
122	121	a2d 29	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) -> ( ph -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
123	23, 31, 39, 31, 56, 122	nnind 11038	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) )
124	123	impcom 446	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) )
125	3, 9, 14, 13, 15, 124	geomcau 33555	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Cau ` D ) )
126		bfp.8	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
127	126	cmetcau 23087	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ G e. ( Cau ` D ) ) -> G e. dom ( ~~> t ` J ) )
128	1, 125, 127	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> G e. dom ( ~~> t ` J ) )
129		metxmet 22139	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
130	126	methaus 22325	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
131	3, 129, 130	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> J e. Haus )
132		lmfun 21185	. . 3 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
133		funfvbrb 6330	. . 3 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( G e. dom ( ~~> t ` J ) <-> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
134	131, 132, 133	3syl 18	. 2 |- ( ph -> ( G e. dom ( ~~> t ` J ) <-> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
135	128, 134	mpbid 222	1 |- ( ph -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   {csn 4177   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   RR+crp 11832   seqcseq 12801   ^cexp 12860   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   Hauscha 21112   Caucca 23051   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-ntr 20824  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

This theorem is referenced by:  bfplem2  33622