Theorem cvmlift3lem7 31307

Description: Lemma for cvmlift3 31310. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmlift3.b	|- B = U. C
cvmlift3.y	|- Y = U. K
cvmlift3.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmlift3.k	|- ( ph -> K e. SConn )
cvmlift3.l	|- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
cvmlift3.o	|- ( ph -> O e. Y )
cvmlift3.g	|- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
cvmlift3.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmlift3.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
cvmlift3.h	|- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )
cvmlift3lem7.s	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmlift3lem7.1	|- ( ph -> ( G ` X ) e. A )
cvmlift3lem7.2	|- ( ph -> T e. ( S ` A ) )
cvmlift3lem7.3	|- ( ph -> M C_ ( `' G " A ) )
cvmlift3lem7.w	|- W = ( iota_ b e. T ( H ` X ) e. b )
cvmlift3lem7.7	|- ( ph -> ( K ↾t M ) e. PConn )
cvmlift3lem7.4	|- ( ph -> V e. K )
cvmlift3lem7.5	|- ( ph -> V C_ M )
cvmlift3lem7.6	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
cvmlift3lem7	|- ( ph -> H e. ( ( K CnP C ) ` X ) )

Distinct variable groups:   b, c, d, f, k, s, z, A   f, g, z, b, x   J, b   g, c, x, J, d, f, k, s   F, b, c, d, f, g, k, s   x, z, F   f, M, g, x   H, b, c, d, f, g, x, z   S, b, f, x   B, b, d, f, g, x, z   X, b, c, d, f, g, x, z   G, b, c, d, f, g, k, x, z   T, b, c, d, s   C, b, c, d, f, g, k, s, x, z   ph, f, x   K, b, c, f, g, x, z   P, b, c, d, f, g, x, z   O, b, c, f, g, x, z   f, Y, g, x, z   W, c, d, f, x

Allowed substitution hints:   ph( z, g, k, s, b, c, d)   A( x, g)   B( k, s, c)   P( k, s)   S( z, g, k, s, c, d)   T( x, z, f, g, k)   G( s)   H( k, s)   J( z)   K( k, s, d)   M( z, k, s, b, c, d)   O( k, s, d)   V( x, z, f, g, k, s, b, c, d)   W( z, g, k, s, b)   X( k, s)   Y( k, s, b, c, d)

Proof of Theorem cvmlift3lem7

Dummy variables a y h n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmlift3.b	. . . 4 |- B = U. C
2		cvmlift3.y	. . . 4 |- Y = U. K
3		cvmlift3lem7.s	. . . 4 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. c e. s ( A. d e. ( s \ { c } ) ( c i^i d ) = (/) /\ ( F |` c ) e. ( ( C ↾t c ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
4		cvmlift3.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
5		cvmlift3.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. SConn )
6		cvmlift3.l	. . . . 5 |- ( ph -> K e. 𝑛Locally PConn )
7		cvmlift3.o	. . . . 5 |- ( ph -> O e. Y )
8		cvmlift3.g	. . . . 5 |- ( ph -> G e. ( K Cn J ) )
9		cvmlift3.p	. . . . 5 |- ( ph -> P e. B )
10		cvmlift3.e	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
11		cvmlift3.h	. . . . 5 |- H = ( x e. Y |-> ( iota_ z e. B E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = x /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = z ) ) )
12	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem3 31303	. . . 4 |- ( ph -> H : Y --> B )
13	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem5 31305	. . . . 5 |- ( ph -> ( F o. H ) = G )
14	13, 8	eqeltrd 2701	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. H ) e. ( K Cn J ) )
15		sconntop 31210	. . . . 5 |- ( K e. SConn -> K e. Top )
16	5, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> K e. Top )
17		cvmlift3lem7.3	. . . . . 6 |- ( ph -> M C_ ( `' G " A ) )
18		cnvimass 5485	. . . . . . 7 |- ( `' G " A ) C_ dom G
19		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
20	2, 19	cnf 21050	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( K Cn J ) -> G : Y --> U. J )
21		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( G : Y --> U. J -> dom G = Y )
22	8, 20, 21	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom G = Y )
23	18, 22	syl5sseq 3653	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' G " A ) C_ Y )
24	17, 23	sstrd 3613	. . . . 5 |- ( ph -> M C_ Y )
25		cvmlift3lem7.5	. . . . . 6 |- ( ph -> V C_ M )
26		cvmlift3lem7.6	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. V )
27	25, 26	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ph -> X e. M )
28	24, 27	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ph -> X e. Y )
29		cvmlift3lem7.2	. . . 4 |- ( ph -> T e. ( S ` A ) )
30	12, 28	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` X ) e. B )
31		fvco3 6275	. . . . . . . 8 |- ( ( H : Y --> B /\ X e. Y ) -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
32	12, 28, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( F ` ( H ` X ) ) )
33	13	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F o. H ) ` X ) = ( G ` X ) )
34	32, 33	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` ( H ` X ) ) = ( G ` X ) )
35		cvmlift3lem7.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( G ` X ) e. A )
36	34, 35	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ph -> ( F ` ( H ` X ) ) e. A )
37		cvmlift3lem7.w	. . . . . 6 |- W = ( iota_ b e. T ( H ` X ) e. b )
38	3, 1, 37	cvmsiota 31259	. . . . 5 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( T e. ( S ` A ) /\ ( H ` X ) e. B /\ ( F ` ( H ` X ) ) e. A ) ) -> ( W e. T /\ ( H ` X ) e. W ) )
39	4, 29, 30, 36, 38	syl13anc 1328	. . . 4 |- ( ph -> ( W e. T /\ ( H ` X ) e. W ) )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( H ` X ) = ( H ` X )
41	1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11	cvmlift3lem4 31304	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ X e. Y ) -> ( ( H ` X ) = ( H ` X ) <-> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) ) )
42	40, 41	mpbii 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ X e. Y ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
43	28, 42	mpdan 702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
44	43	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
45		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f ` 0 ) = ( h ` 0 ) )
46	45	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( f ` 0 ) = O <-> ( h ` 0 ) = O ) )
47		fveq1 6190	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( f ` 1 ) = ( h ` 1 ) )
48	47	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( f ` 1 ) = X <-> ( h ` 1 ) = X ) )
49		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = h -> ( G o. f ) = ( G o. h ) )
50	49	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = h -> ( ( F o. g ) = ( G o. f ) <-> ( F o. g ) = ( G o. h ) ) )
51	50	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = h -> ( ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. g ) = ( G o. h ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
52	51	riotabidv 6613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = h -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. h ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
53		coeq2 5280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = g -> ( F o. a ) = ( F o. g ) )
54	53	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = g -> ( ( F o. a ) = ( G o. h ) <-> ( F o. g ) = ( G o. h ) ) )
55		fveq1 6190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = g -> ( a ` 0 ) = ( g ` 0 ) )
56	55	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = g -> ( ( a ` 0 ) = P <-> ( g ` 0 ) = P ) )
57	54, 56	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = g -> ( ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) <-> ( ( F o. g ) = ( G o. h ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) )
58	57	cbvriotav 6622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. h ) /\ ( g ` 0 ) = P ) )
59	52, 58	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( f = h -> ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) = ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) )
60	59	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = h -> ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) )
61	60	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( f = h -> ( ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) <-> ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
62	46, 48, 61	3anbi123d 1399	. . . . . . . . 9 |- ( f = h -> ( ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) <-> ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) ) )
63	62	cbvrexv 3172	. . . . . . . 8 |- ( E. f e. ( II Cn K ) ( ( f ` 0 ) = O /\ ( f ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. f ) /\ ( g ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) <-> E. h e. ( II Cn K ) ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
64	44, 63	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> E. h e. ( II Cn K ) ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
65		cvmlift3lem7.7	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ↾t M ) e. PConn )
66	65	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( K ↾t M ) e. PConn )
67	2	restuni 20966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. Top /\ M C_ Y ) -> M = U. ( K ↾t M ) )
68	16, 24, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M = U. ( K ↾t M ) )
69	27, 68	eleqtrd 2703	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. U. ( K ↾t M ) )
70	69	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> X e. U. ( K ↾t M ) )
71	68	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( y e. M <-> y e. U. ( K ↾t M ) ) )
72	71	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> y e. U. ( K ↾t M ) )
73		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- U. ( K ↾t M ) = U. ( K ↾t M )
74	73	pconncn 31206	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K ↾t M ) e. PConn /\ X e. U. ( K ↾t M ) /\ y e. U. ( K ↾t M ) ) -> E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) )
75	66, 70, 72, 74	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) )
76		reeanv 3107	. . . . . . . 8 |- ( E. h e. ( II Cn K ) E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) <-> ( E. h e. ( II Cn K ) ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) )
77	4	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
78	5	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> K e. SConn )
79	6	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> K e. 𝑛Locally PConn )
80	7	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> O e. Y )
81	8	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> G e. ( K Cn J ) )
82	9	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> P e. B )
83	10	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> ( F ` P ) = ( G ` O ) )
84	35	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> ( G ` X ) e. A )
85	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> T e. ( S ` A ) )
86	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> M C_ ( `' G " A ) )
87	27	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> X e. M )
88		simpllr 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> y e. M )
89		simplrl 800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> h e. ( II Cn K ) )
90		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) )
91		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) )
92		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) )
93	53	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = g -> ( ( F o. a ) = ( G o. n ) <-> ( F o. g ) = ( G o. n ) ) )
94	55	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = g -> ( ( a ` 0 ) = ( H ` X ) <-> ( g ` 0 ) = ( H ` X ) ) )
95	93, 94	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = g -> ( ( ( F o. a ) = ( G o. n ) /\ ( a ` 0 ) = ( H ` X ) ) <-> ( ( F o. g ) = ( G o. n ) /\ ( g ` 0 ) = ( H ` X ) ) ) )
96	95	cbvriotav 6622	. . . . . . . . . . 11 |- ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. n ) /\ ( a ` 0 ) = ( H ` X ) ) ) = ( iota_ g e. ( II Cn C ) ( ( F o. g ) = ( G o. n ) /\ ( g ` 0 ) = ( H ` X ) ) )
97	1, 2, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 11, 3, 84, 85, 86, 37, 87, 88, 89, 58, 90, 91, 92, 96	cvmlift3lem6 31306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) /\ ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) ) -> ( H ` y ) e. W )
98	97	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. M ) /\ ( h e. ( II Cn K ) /\ n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ) ) -> ( ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) -> ( H ` y ) e. W ) )
99	98	rexlimdvva 3038	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( E. h e. ( II Cn K ) E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) -> ( H ` y ) e. W ) )
100	76, 99	syl5bir 233	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( ( E. h e. ( II Cn K ) ( ( h ` 0 ) = O /\ ( h ` 1 ) = X /\ ( ( iota_ a e. ( II Cn C ) ( ( F o. a ) = ( G o. h ) /\ ( a ` 0 ) = P ) ) ` 1 ) = ( H ` X ) ) /\ E. n e. ( II Cn ( K ↾t M ) ) ( ( n ` 0 ) = X /\ ( n ` 1 ) = y ) ) -> ( H ` y ) e. W ) )
101	64, 75, 100	mp2and 715	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. M ) -> ( H ` y ) e. W )
102	101	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. y e. M ( H ` y ) e. W )
103		ffun 6048	. . . . . . 7 |- ( H : Y --> B -> Fun H )
104	12, 103	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> Fun H )
105		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( H : Y --> B -> dom H = Y )
106	12, 105	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> dom H = Y )
107	24, 106	sseqtr4d 3642	. . . . . 6 |- ( ph -> M C_ dom H )
108		funimass4 6247	. . . . . 6 |- ( ( Fun H /\ M C_ dom H ) -> ( ( H " M ) C_ W <-> A. y e. M ( H ` y ) e. W ) )
109	104, 107, 108	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( H " M ) C_ W <-> A. y e. M ( H ` y ) e. W ) )
110	102, 109	mpbird 247	. . . 4 |- ( ph -> ( H " M ) C_ W )
111	1, 2, 3, 4, 12, 14, 16, 28, 29, 39, 24, 110	cvmlift2lem9a 31285	. . 3 |- ( ph -> ( H |` M ) e. ( ( K ↾t M ) Cn C ) )
112	73	cncnpi 21082	. . 3 |- ( ( ( H |` M ) e. ( ( K ↾t M ) Cn C ) /\ X e. U. ( K ↾t M ) ) -> ( H |` M ) e. ( ( ( K ↾t M ) CnP C ) ` X ) )
113	111, 69, 112	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( H |` M ) e. ( ( ( K ↾t M ) CnP C ) ` X ) )
114		cvmlift3lem7.4	. . . . 5 |- ( ph -> V e. K )
115	2	ssntr 20862	. . . . 5 |- ( ( ( K e. Top /\ M C_ Y ) /\ ( V e. K /\ V C_ M ) ) -> V C_ ( ( int ` K ) ` M ) )
116	16, 24, 114, 25, 115	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ph -> V C_ ( ( int ` K ) ` M ) )
117	116, 26	sseldd 3604	. . 3 |- ( ph -> X e. ( ( int ` K ) ` M ) )
118	2, 1	cnprest 21093	. . 3 |- ( ( ( K e. Top /\ M C_ Y ) /\ ( X e. ( ( int ` K ) ` M ) /\ H : Y --> B ) ) -> ( H e. ( ( K CnP C ) ` X ) <-> ( H |` M ) e. ( ( ( K ↾t M ) CnP C ) ` X ) ) )
119	16, 24, 117, 12, 118	syl22anc 1327	. 2 |- ( ph -> ( H e. ( ( K CnP C ) ` X ) <-> ( H |` M ) e. ( ( ( K ↾t M ) CnP C ) ` X ) ) )
120	113, 119	mpbird 247	1 |- ( ph -> H e. ( ( K CnP C ) ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   0cc0 9936   1c1 9937   ↾_t crest 16081   Topctop 20698   intcnt 20821   Cn ccn 21028   CnP ccnp 21029  𝑛Locally cnlly 21268   Homeochmeo 21556   IIcii 22678  PConncpconn 31201  SConncsconn 31202   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-cmp 21190  df-conn 21215  df-lly 21269  df-nlly 21270  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-ii 22680  df-htpy 22769  df-phtpy 22770  df-phtpc 22791  df-pco 22805  df-pconn 31203  df-sconn 31204  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmlift3lem8  31308