Theorem coemullem 24006

Description: Lemma for coemul 24008 and dgrmul 24026. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
coefv0.1	|- A = (coeff ` F )
coeadd.2	|- B = (coeff ` G )
coeadd.3	|- M = (deg ` F )
coeadd.4	|- N = (deg ` G )

Assertion

Ref	Expression
coemullem	|- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( (coeff ` ( F oF x. G ) ) = ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) /\ (deg ` ( F oF x. G ) ) <_ ( M + N ) ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   B, k, n   k, F, n   k, M   k, G, n   k, N, n   S, k, n

Allowed substitution hint:   M( n)

Proof of Theorem coemullem

Dummy variables j z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plymulcl 23977	. . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( F oF x. G ) e. (Poly ` CC ) )
2		coeadd.3	. . . . 5 |- M = (deg ` F )
3		dgrcl 23989	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (deg ` F ) e. NN0 )
4	2, 3	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( F e. (Poly ` S ) -> M e. NN0 )
5		coeadd.4	. . . . 5 |- N = (deg ` G )
6		dgrcl 23989	. . . . 5 |- ( G e. (Poly ` S ) -> (deg ` G ) e. NN0 )
7	5, 6	syl5eqel 2705	. . . 4 |- ( G e. (Poly ` S ) -> N e. NN0 )
8		nn0addcl 11328	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M + N ) e. NN0 )
9	4, 7, 8	syl2an 494	. . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( M + N ) e. NN0 )
10		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) -> ( 0 ... n ) e. Fin )
11		coefv0.1	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` F )
12	11	coef3 23988	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Poly ` S ) -> A : NN0 --> CC )
13	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> A : NN0 --> CC )
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) -> A : NN0 --> CC )
15		elfznn0 12433	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> k e. NN0 )
16		ffvelrn 6357	. . . . . . 7 |- ( ( A : NN0 --> CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ` k ) e. CC )
17	14, 15, 16	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
18		coeadd.2	. . . . . . . . . 10 |- B = (coeff ` G )
19	18	coef3 23988	. . . . . . . . 9 |- ( G e. (Poly ` S ) -> B : NN0 --> CC )
20	19	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> B : NN0 --> CC )
21	20	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> B : NN0 --> CC )
22		fznn0sub 12373	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... n ) -> ( n - k ) e. NN0 )
23	22	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( n - k ) e. NN0 )
24	21, 23	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( B ` ( n - k ) ) e. CC )
25	17, 24	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
26	10, 25	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ n e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) e. CC )
27		eqid 2622	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) = ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) )
28	26, 27	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) : NN0 --> CC )
29		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( 0 ... n ) = ( 0 ... j ) )
30		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( n - k ) = ( j - k ) )
31	30	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( B ` ( n - k ) ) = ( B ` ( j - k ) ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n = j /\ k e. ( 0 ... n ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) = ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
34	29, 33	sumeq12dv 14437	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
35		sumex 14418	. . . . . . . . . 10 |- sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) e. _V
36	34, 27, 35	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
37	36	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
38		simp2r 1088	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> -. j <_ ( M + N ) )
39		simp2l 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> j e. NN0 )
40	39	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> j e. RR )
41		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> k e. ( 0 ... j ) )
42		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 0 ... j ) -> k e. NN0 )
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> k e. NN0 )
44	43	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> k e. RR )
45	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> N e. NN0 )
46	45	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> N e. NN0 )
47	46	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> N e. RR )
48	40, 44, 47	lesubadd2d 10626	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( j - k ) <_ N <-> j <_ ( k + N ) ) )
49	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> M e. NN0 )
50	49	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> M e. NN0 )
51	50	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> M e. RR )
52		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> k <_ M )
53	44, 51, 47, 52	leadd1dd 10641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( k + N ) <_ ( M + N ) )
54	44, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( k + N ) e. RR )
55	51, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( M + N ) e. RR )
56		letr 10131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. RR /\ ( k + N ) e. RR /\ ( M + N ) e. RR ) -> ( ( j <_ ( k + N ) /\ ( k + N ) <_ ( M + N ) ) -> j <_ ( M + N ) ) )
57	40, 54, 55, 56	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( j <_ ( k + N ) /\ ( k + N ) <_ ( M + N ) ) -> j <_ ( M + N ) ) )
58	53, 57	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( j <_ ( k + N ) -> j <_ ( M + N ) ) )
59	48, 58	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( j - k ) <_ N -> j <_ ( M + N ) ) )
60	38, 59	mtod 189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> -. ( j - k ) <_ N )
61		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
62	61	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> G e. (Poly ` S ) )
63		fznn0sub 12373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 0 ... j ) -> ( j - k ) e. NN0 )
64	41, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( j - k ) e. NN0 )
65	18, 5	dgrub 23990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( G e. (Poly ` S ) /\ ( j - k ) e. NN0 /\ ( B ` ( j - k ) ) =/= 0 ) -> ( j - k ) <_ N )
66	65	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( G e. (Poly ` S ) /\ ( j - k ) e. NN0 ) -> ( ( B ` ( j - k ) ) =/= 0 -> ( j - k ) <_ N ) )
67	62, 64, 66	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( B ` ( j - k ) ) =/= 0 -> ( j - k ) <_ N ) )
68	67	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( -. ( j - k ) <_ N -> ( B ` ( j - k ) ) = 0 ) )
69	60, 68	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( B ` ( j - k ) ) = 0 )
70	69	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = ( ( A ` k ) x. 0 ) )
71	13	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> A : NN0 --> CC )
72	71, 43	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
73	72	mul01d 10235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( A ` k ) x. 0 ) = 0 )
74	70, 73	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) /\ ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
75	74	3expia 1267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( k e. ( 0 ... j ) /\ k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 ) )
76	75	impl 650	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
77		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
78	77	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> F e. (Poly ` S ) )
79	11, 2	dgrub 23990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) -> k <_ M )
80	79	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) )
81	78, 42, 80	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ M ) )
82	81	necon1bd 2812	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) -> ( -. k <_ M -> ( A ` k ) = 0 ) )
83	82	imp 445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( A ` k ) = 0 )
84	83	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = ( 0 x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
85	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> B : NN0 --> CC )
86	63	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( j - k ) e. NN0 )
87	85, 86	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( B ` ( j - k ) ) e. CC )
88	87	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( 0 x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
89	84, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) /\ -. k <_ M ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
90	76, 89	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) /\ k e. ( 0 ... j ) ) -> ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
91	90	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... j ) 0 )
92		fzfi 12771	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 ... j ) e. Fin
93	92	olci 406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 ... j ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... j ) e. Fin )
94		sumz 14453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 0 ... j ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... j ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0 ... j ) 0 = 0 )
95	93, 94	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- sum_ k e. ( 0 ... j ) 0 = 0
96	91, 95	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) = 0 )
97	37, 96	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ ( j e. NN0 /\ -. j <_ ( M + N ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) = 0 )
98	97	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( -. j <_ ( M + N ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) = 0 ) )
99	98	necon1ad 2811	. . . . 5 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ j e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ ( M + N ) ) )
100	99	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ ( M + N ) ) )
101		plyco0 23948	. . . . 5 |- ( ( ( M + N ) e. NN0 /\ ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) : NN0 --> CC ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ ( M + N ) ) ) )
102	9, 28, 101	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. j e. NN0 ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) =/= 0 -> j <_ ( M + N ) ) ) )
103	100, 102	mpbird 247	. . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) " ( ZZ>= ` ( ( M + N ) + 1 ) ) ) = { 0 } )
104	11, 2	dgrub2 23991	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
105	104	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( M + 1 ) ) ) = { 0 } )
106	18, 5	dgrub2 23991	. . . . . 6 |- ( G e. (Poly ` S ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
107	106	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( B " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
108	11, 2	coeid 23994	. . . . . 6 |- ( F e. (Poly ` S ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
109	108	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... M ) ( ( A ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
110	18, 5	coeid 23994	. . . . . 6 |- ( G e. (Poly ` S ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
111	110	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> G = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( ( B ` k ) x. ( z ^ k ) ) ) )
112	77, 61, 49, 45, 13, 20, 105, 107, 109, 111	plymullem1 23970	. . . 4 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) x. ( z ^ j ) ) ) )
113		elfznn0 12433	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> j e. NN0 )
114	113, 36	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) )
115	114	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( j e. ( 0 ... ( M + N ) ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) x. ( z ^ j ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
116	115	sumeq2i 14429	. . . . 5 |- sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) x. ( z ^ j ) ) = sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) x. ( z ^ j ) )
117	116	mpteq2i 4741	. . . 4 |- ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( sum_ k e. ( 0 ... j ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( j - k ) ) ) x. ( z ^ j ) ) )
118	112, 117	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( F oF x. G ) = ( z e. CC |-> sum_ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) x. ( z ^ j ) ) ) )
119	1, 9, 28, 103, 118	coeeq 23983	. 2 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> (coeff ` ( F oF x. G ) ) = ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) )
120		ffvelrn 6357	. . . 4 |- ( ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) : NN0 --> CC /\ j e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) e. CC )
121	28, 113, 120	syl2an 494	. . 3 |- ( ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) /\ j e. ( 0 ... ( M + N ) ) ) -> ( ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) ` j ) e. CC )
122	1, 9, 121, 118	dgrle 23999	. 2 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> (deg ` ( F oF x. G ) ) <_ ( M + N ) )
123	119, 122	jca 554	1 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ G e. (Poly ` S ) ) -> ( (coeff ` ( F oF x. G ) ) = ( n e. NN0 |-> sum_ k e. ( 0 ... n ) ( ( A ` k ) x. ( B ` ( n - k ) ) ) ) /\ (deg ` ( F oF x. G ) ) <_ ( M + N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   oFcof 6895   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   - cmin 10266   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  coemul  24008  dgrmul2  24025