Theorem dgrle 23999

Description: Given an explicit expression for a polynomial, the degree is at most the highest term in the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dgrle.1	|- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
dgrle.2	|- ( ph -> N e. NN0 )
dgrle.3	|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
dgrle.4	|- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dgrle	|- ( ph -> (deg ` F ) <_ N )

Distinct variable groups:   z, A   z, k, N   ph, k, z

Allowed substitution hints:   A( k)   S( z, k)   F( z, k)

Proof of Theorem dgrle

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dgrle.1	. 2 |- ( ph -> F e. (Poly ` S ) )
2		dgrle.2	. 2 |- ( ph -> N e. NN0 )
3		dgrle.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... N ) ) -> A e. CC )
4		dgrle.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F = ( z e. CC |-> sum_ k e. ( 0 ... N ) ( A x. ( z ^ k ) ) ) )
5	1, 2, 3, 4	coeeq2 23998	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) )
6	5	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> (coeff ` F ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) )
7	6	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( (coeff ` F ) ` m ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) )
8		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k m
9		nfv 1843	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k -. m <_ N
10		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m )
11	10	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0
12	9, 11	nfim 1825	. . . . . . . . . 10 |- F/ k ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 )
13		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( k <_ N <-> m <_ N ) )
14	13	notbid 308	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( -. k <_ N <-> -. m <_ N ) )
15		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = m -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = m -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 <-> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) )
17	14, 16	imbi12d 334	. . . . . . . . . 10 |- ( k = m -> ( ( -. k <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 ) <-> ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) ) )
18		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -. k <_ N -> if ( k <_ N , A , 0 ) = 0 )
19	18	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. k <_ N -> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( _I ` 0 ) )
20		0cn 10032	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. CC
21		fvi 6255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 e. CC -> ( _I ` 0 ) = 0 )
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( _I ` 0 ) = 0
23	19, 22	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. k <_ N -> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = 0 )
24		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) = ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) )
25	24	fvmpt2i 6290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) )
26	25	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 <-> ( _I ` if ( k <_ N , A , 0 ) ) = 0 ) )
27	23, 26	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN0 -> ( -. k <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` k ) = 0 ) )
28	8, 12, 17, 27	vtoclgaf 3271	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN0 -> ( -. m <_ N -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 ) )
29	28	imp 445	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. NN0 /\ -. m <_ N ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 )
30	29	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( ( k e. NN0 |-> if ( k <_ N , A , 0 ) ) ` m ) = 0 )
31	7, 30	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN0 ) /\ -. m <_ N ) -> ( (coeff ` F ) ` m ) = 0 )
32	31	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( -. m <_ N -> ( (coeff ` F ) ` m ) = 0 ) )
33	32	necon1ad 2811	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( (coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) )
34	33	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. m e. NN0 ( ( (coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) )
35		eqid 2622	. . . . . 6 |- (coeff ` F ) = (coeff ` F )
36	35	coef3 23988	. . . . 5 |- ( F e. (Poly ` S ) -> (coeff ` F ) : NN0 --> CC )
37	1, 36	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> (coeff ` F ) : NN0 --> CC )
38		plyco0 23948	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ (coeff ` F ) : NN0 --> CC ) -> ( ( (coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( (coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) )
39	2, 37, 38	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( (coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. m e. NN0 ( ( (coeff ` F ) ` m ) =/= 0 -> m <_ N ) ) )
40	34, 39	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> ( (coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
41		eqid 2622	. . 3 |- (deg ` F ) = (deg ` F )
42	35, 41	dgrlb 23992	. 2 |- ( ( F e. (Poly ` S ) /\ N e. NN0 /\ ( (coeff ` F ) " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) -> (deg ` F ) <_ N )
43	1, 2, 40, 42	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> (deg ` F ) <_ N )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   ifcif 4086   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   "cima 5117   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   ^cexp 12860   sum_csu 14416  Polycply 23940  coeffccoe 23942  degcdgr 23943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-0p 23437  df-ply 23944  df-coe 23946  df-dgr 23947

This theorem is referenced by:  dgreq  24000  0dgr  24001  coeaddlem  24005  coemullem  24006  taylply2  24122