Theorem plyco0 23948

Description: Two ways to say that a function on the nonnegative integers has finite support. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
plyco0	|- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )

Distinct variable groups:   A, k   k, N

Proof of Theorem plyco0

Dummy variable n is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
2		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A : NN0 --> CC -> Fun A )
3	2	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> Fun A )
4		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
5	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
6		eluznn0 11757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
7	6	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N + 1 ) e. NN0 -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 ) )
8	5, 7	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 ) )
9	8	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ NN0 )
10		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A : NN0 --> CC -> dom A = NN0 )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> dom A = NN0 )
12	9, 11	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom A )
13		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
14	3, 12, 13	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
15	14	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
16		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> N e. ZZ )
18	17	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
20		nn0z 11400	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN0 -> k e. ZZ )
21	20	ad2antrl 764	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> k e. ZZ )
22		eluz 11701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N + 1 ) e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) <-> ( N + 1 ) <_ k ) )
23	19, 21, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( k e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) <-> ( N + 1 ) <_ k ) )
24		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
25	24	eleq2d 2687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( A ` k ) e. { 0 } ) )
26		fvex 6201	. . . . . . . . . . 11 |- ( A ` k ) e. _V
27	26	elsn 4192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ` k ) e. { 0 } <-> ( A ` k ) = 0 )
28	25, 27	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( ( A ` k ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) <-> ( A ` k ) = 0 ) )
29	15, 23, 28	3imtr3d 282	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( ( N + 1 ) <_ k -> ( A ` k ) = 0 ) )
30	29	necon3ad 2807	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> -. ( N + 1 ) <_ k ) )
31	1, 30	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> -. ( N + 1 ) <_ k )
32		nn0re 11301	. . . . . . . 8 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> k e. RR )
34	18	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( N + 1 ) e. RR )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
36	33, 35	ltnled 10184	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( k < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ k ) )
37	31, 36	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> k < ( N + 1 ) )
38	17	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> N e. ZZ )
39		zleltp1 11428	. . . . . 6 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
40	21, 38, 39	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> ( k <_ N <-> k < ( N + 1 ) ) )
41	37, 40	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ ( k e. NN0 /\ ( A ` k ) =/= 0 ) ) -> k <_ N )
42	41	expr 643	. . 3 |- ( ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
43	42	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } ) -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
44		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
45		eluznn0 11757	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) -> n e. NN0 )
46	5, 44, 45	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. NN0 )
47		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> N e. RR )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> N e. RR )
50	34	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N + 1 ) e. RR )
51	46	nn0red 11352	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. RR )
52	49	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> N < ( N + 1 ) )
53		eluzle 11700	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( N + 1 ) <_ n )
54	53	ad2antll 765	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N + 1 ) <_ n )
55	49, 50, 51, 52, 54	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> N < n )
56	49, 51	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( N < n <-> -. n <_ N ) )
57	55, 56	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> -. n <_ N )
58		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) )
59		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = n -> ( A ` k ) = ( A ` n ) )
60	59	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( ( A ` k ) =/= 0 <-> ( A ` n ) =/= 0 ) )
61		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k <_ N <-> n <_ N ) )
62	60, 61	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> ( ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> ( ( A ` n ) =/= 0 -> n <_ N ) ) )
63	62	rspcva 3307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN0 /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( ( A ` n ) =/= 0 -> n <_ N ) )
64	46, 58, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( ( A ` n ) =/= 0 -> n <_ N ) )
65	64	necon1bd 2812	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( -. n <_ N -> ( A ` n ) = 0 ) )
66	57, 65	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( A ` n ) = 0 )
67		ffn 6045	. . . . . . . . 9 |- ( A : NN0 --> CC -> A Fn NN0 )
68	67	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> A Fn NN0 )
69		fniniseg 6338	. . . . . . . 8 |- ( A Fn NN0 -> ( n e. ( `' A " { 0 } ) <-> ( n e. NN0 /\ ( A ` n ) = 0 ) ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> ( n e. ( `' A " { 0 } ) <-> ( n e. NN0 /\ ( A ` n ) = 0 ) ) )
71	46, 66, 70	mpbir2and 957	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ ( A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) /\ n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) -> n e. ( `' A " { 0 } ) )
72	71	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( n e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> n e. ( `' A " { 0 } ) ) )
73	72	ssrdv 3609	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( `' A " { 0 } ) )
74		funimass3 6333	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) C_ { 0 } <-> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( `' A " { 0 } ) ) )
75	3, 12, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) C_ { 0 } <-> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( `' A " { 0 } ) ) )
76	75	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) C_ { 0 } <-> ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ ( `' A " { 0 } ) ) )
77	73, 76	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) C_ { 0 } )
78	48	ltp1d 10954	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> N < ( N + 1 ) )
79	48, 34	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( N < ( N + 1 ) <-> -. ( N + 1 ) <_ N ) )
80	78, 79	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
81	80	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> -. ( N + 1 ) <_ N )
82		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( A ` k ) = ( A ` ( N + 1 ) ) )
83	82	neeq1d 2853	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( A ` k ) =/= 0 <-> ( A ` ( N + 1 ) ) =/= 0 ) )
84		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( k <_ N <-> ( N + 1 ) <_ N ) )
85	83, 84	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( N + 1 ) -> ( ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) <-> ( ( A ` ( N + 1 ) ) =/= 0 -> ( N + 1 ) <_ N ) ) )
86	85	rspcva 3307	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N + 1 ) e. NN0 /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( ( A ` ( N + 1 ) ) =/= 0 -> ( N + 1 ) <_ N ) )
87	5, 86	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( ( A ` ( N + 1 ) ) =/= 0 -> ( N + 1 ) <_ N ) )
88	87	necon1bd 2812	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( -. ( N + 1 ) <_ N -> ( A ` ( N + 1 ) ) = 0 ) )
89	81, 88	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( A ` ( N + 1 ) ) = 0 )
90		uzid 11702	. . . . . . . 8 |- ( ( N + 1 ) e. ZZ -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
91	18, 90	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) )
92		funfvima2 6493	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) C_ dom A ) -> ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
93	3, 12, 92	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) ) )
94	91, 93	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( A ` ( N + 1 ) ) e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
96	89, 95	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> 0 e. ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
97	96	snssd 4340	. . 3 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> { 0 } C_ ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) )
98	77, 97	eqssd 3620	. 2 |- ( ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) /\ A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) -> ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } )
99	43, 98	impbida 877	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A : NN0 --> CC ) -> ( ( A " ( ZZ>= ` ( N + 1 ) ) ) = { 0 } <-> A. k e. NN0 ( ( A ` k ) =/= 0 -> k <_ N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  elply2  23952  plyeq0lem  23966  coeeulem  23980  dgrlem  23985  dgrub2  23991  dgrlb  23992  coeeq2  23998  dgrle  23999  coeaddlem  24005  coemullem  24006  coe1termlem  24014  dgreq0  24021  coecj  24034  basellem2  24808