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Theorem crctcshwlkn0lem7 26708
Description: Lemma for crctcshwlkn0 26713. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
crctcshwlkn0lem.s |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
crctcshwlkn0lem.q |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
crctcshwlkn0lem.h |- H = ( F cyclShift S )
crctcshwlkn0lem.n |- N = ( # ` F )
crctcshwlkn0lem.f |- ( ph -> F e. Word A )
crctcshwlkn0lem.p |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
crctcshwlkn0lem.e |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
Assertion
Ref Expression
crctcshwlkn0lem7 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, N   x, P   x, S   ph, x   i, F   i, I   i, N   P, i   S, i   ph, i, j   x, j   j, I   j, H   j, N   Q, j   S, j
Allowed substitution hints:   A( x, i, j)   P( j)   Q( x, i)   F( x, j)   H( x, i)   I( x)
Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7
StepHypRef Expression
1 crctcshwlkn0lem.s . . . . . 6 |- ( ph -> S e. ( 1..^ N ) )
2 crctcshwlkn0lem.q . . . . . 6 |- Q = ( x e. ( 0 ... N ) |-> if ( x <_ ( N - S ) , ( P ` ( x + S ) ) , ( P ` ( ( x + S ) - N ) ) ) )
3 crctcshwlkn0lem.h . . . . . 6 |- H = ( F cyclShift S )
4 crctcshwlkn0lem.n . . . . . 6 |- N = ( # ` F )
5 crctcshwlkn0lem.f . . . . . 6 |- ( ph -> F e. Word A )
6 crctcshwlkn0lem.p . . . . . 6 |- ( ph -> A. i e. ( 0..^ N )if- ( ( P ` i ) = ( P ` ( i + 1 ) ) , ( I ` ( F ` i ) ) = { ( P ` i ) } , { ( P ` i ) , ( P ` ( i + 1 ) ) } C_ ( I ` ( F ` i ) ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6crctcshwlkn0lem4 26705 . . . . 5 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ ( N - S ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
8 eqidd 2623 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( N - S ) = ( N - S ) )
9 crctcshwlkn0lem.e . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( P ` N ) = ( P ` 0 ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 9crctcshwlkn0lem6 26707 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( N - S ) = ( N - S ) ) -> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) )
118, 10mpdan 702 . . . . . 6 |- ( ph -> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) )
12 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( N - S ) e. _V
13 wkslem1 26503 . . . . . . 7 |- ( j = ( N - S ) -> (if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) ) )
1412, 13ralsn 4222 . . . . . 6 |- ( A. j e. { ( N - S ) }if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> if- ( ( Q ` ( N - S ) ) = ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) , ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) = { ( Q ` ( N - S ) ) } , { ( Q ` ( N - S ) ) , ( Q ` ( ( N - S ) + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` ( N - S ) ) ) ) )
1511, 14sylibr 224 . . . . 5 |- ( ph -> A. j e. { ( N - S ) }if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
16 ralunb 3794 . . . . 5 |- ( A. j e. ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> ( A. j e. ( 0..^ ( N - S ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) /\ A. j e. { ( N - S ) }if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
177, 15, 16sylanbrc 698 . . . 4 |- ( ph -> A. j e. ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
18 elfzo1 12517 . . . . . . 7 |- ( S e. ( 1..^ N ) <-> ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) )
19 nnz 11399 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
20 nnz 11399 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN -> S e. ZZ )
21 zsubcl 11419 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ S e. ZZ ) -> ( N - S ) e. ZZ )
2219, 20, 21syl2anr 495 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N - S ) e. ZZ )
23223adant3 1081 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. ZZ )
24 nnre 11027 . . . . . . . . . . . 12 |- ( S e. NN -> S e. RR )
25 nnre 11027 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. NN -> N e. RR )
26 posdif 10521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( S < N <-> 0 < ( N - S ) ) )
27 0re 10040 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
28 resubcl 10345 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ S e. RR ) -> ( N - S ) e. RR )
2928ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( N - S ) e. RR )
30 ltle 10126 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ ( N - S ) e. RR ) -> ( 0 < ( N - S ) -> 0 <_ ( N - S ) ) )
3127, 29, 30sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( 0 < ( N - S ) -> 0 <_ ( N - S ) ) )
3226, 31sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. RR /\ N e. RR ) -> ( S < N -> 0 <_ ( N - S ) ) )
3324, 25, 32syl2an 494 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( S < N -> 0 <_ ( N - S ) ) )
34333impia 1261 . . . . . . . . . 10 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> 0 <_ ( N - S ) )
35 elnn0z 11390 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N - S ) e. NN0 <-> ( ( N - S ) e. ZZ /\ 0 <_ ( N - S ) ) )
3623, 34, 35sylanbrc 698 . . . . . . . . 9 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. NN0 )
37 elnn0uz 11725 . . . . . . . . 9 |- ( ( N - S ) e. NN0 <-> ( N - S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
3836, 37sylib 208 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) )
39 fzosplitsn 12576 . . . . . . . 8 |- ( ( N - S ) e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } ) )
4038, 39syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } ) )
4118, 40sylbi 207 . . . . . 6 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } ) )
421, 41syl 17 . . . . 5 |- ( ph -> ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) = ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } ) )
4342raleqdv 3144 . . . 4 |- ( ph -> ( A. j e. ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> A. j e. ( ( 0..^ ( N - S ) ) u. { ( N - S ) } )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
4417, 43mpbird 247 . . 3 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
451, 2, 3, 4, 5, 6crctcshwlkn0lem5 26706 . . 3 |- ( ph -> A. j e. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
46 ralunb 3794 . . 3 |- ( A. j e. ( ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) u. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> ( A. j e. ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) /\ A. j e. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
4744, 45, 46sylanbrc 698 . 2 |- ( ph -> A. j e. ( ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) u. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
48 nnsub 11059 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( S < N <-> ( N - S ) e. NN ) )
4948biimp3a 1432 . . . . . . 7 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( N - S ) e. NN )
50 nnnn0 11299 . . . . . . 7 |- ( ( N - S ) e. NN -> ( N - S ) e. NN0 )
51 peano2nn0 11333 . . . . . . 7 |- ( ( N - S ) e. NN0 -> ( ( N - S ) + 1 ) e. NN0 )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . 6 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. NN0 )
53 nnnn0 11299 . . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
54533ad2ant2 1083 . . . . . 6 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> N e. NN0 )
5525anim1i 592 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ S e. NN ) -> ( N e. RR /\ S e. NN ) )
5655ancoms 469 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( N e. RR /\ S e. NN ) )
57 crctcshwlkn0lem1 26702 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ S e. NN ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
5856, 57syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
59583adant3 1081 . . . . . 6 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) <_ N )
60 elfz2nn0 12431 . . . . . 6 |- ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ( 0 ... N ) <-> ( ( ( N - S ) + 1 ) e. NN0 /\ N e. NN0 /\ ( ( N - S ) + 1 ) <_ N ) )
6152, 54, 59, 60syl3anbrc 1246 . . . . 5 |- ( ( S e. NN /\ N e. NN /\ S < N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
6218, 61sylbi 207 . . . 4 |- ( S e. ( 1..^ N ) -> ( ( N - S ) + 1 ) e. ( 0 ... N ) )
63 fzosplit 12501 . . . 4 |- ( ( ( N - S ) + 1 ) e. ( 0 ... N ) -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) u. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N ) ) )
641, 62, 633syl 18 . . 3 |- ( ph -> ( 0..^ N ) = ( ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) u. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N ) ) )
6564raleqdv 3144 . 2 |- ( ph -> ( A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) <-> A. j e. ( ( 0..^ ( ( N - S ) + 1 ) ) u. ( ( ( N - S ) + 1 )..^ N ) )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) ) )
6647, 65mpbird 247 1 |- ( ph -> A. j e. ( 0..^ N )if- ( ( Q ` j ) = ( Q ` ( j + 1 ) ) , ( I ` ( H ` j ) ) = { ( Q ` j ) } , { ( Q ` j ) , ( Q ` ( j + 1 ) ) } C_ ( I ` ( H ` j ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384  if-wif 1012   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   ifcif 4086   {csn 4177   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   #chash 13117  Word cword 13291   cyclShift ccsh 13534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-hash 13118  df-word 13299  df-concat 13301  df-substr 13303  df-csh 13535
This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  26713
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