Theorem cvmliftlem6 31272

Description: Lemma for cvmlift 31281. Induction step for cvmliftlem7 31273. Assuming that Q ( M - 1 ) is defined at ( M - 1 ) / N and is a preimage of G ( ( M - 1 ) / N ), the next segment Q ( M ) is also defined and is a function on W which is a lift G for this segment. This follows explicitly from the definition Q ( M ) = `' ( F |` I ) o. G since G is in 1st ` ( F ` M ) for the entire interval so that `' ( F |` I ) maps this into I and F o. Q maps back to G. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvmliftlem.1	|- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
cvmliftlem.b	|- B = U. C
cvmliftlem.x	|- X = U. J
cvmliftlem.f	|- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
cvmliftlem.g	|- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
cvmliftlem.p	|- ( ph -> P e. B )
cvmliftlem.e	|- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
cvmliftlem.n	|- ( ph -> N e. NN )
cvmliftlem.t	|- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
cvmliftlem.a	|- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
cvmliftlem.l	|- L = ( topGen ` ran (,) )
cvmliftlem.q	|- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
cvmliftlem5.3	|- W = ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) )
cvmliftlem6.1	|- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ( 1 ... N ) )
cvmliftlem6.2	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )

Assertion

Ref	Expression
cvmliftlem6	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( Q ` M ) : W --> B /\ ( F o. ( Q ` M ) ) = ( G |` W ) ) )

Distinct variable groups:   v, b, z, B   j, b, k, m, s, u, x, F, v, z   z, L   M, b, j, k, m, s, u, v, x, z   P, b, k, m, u, v, x, z   C, b, j, k, s, u, v, z   ph, j, s, x, z   ps, z   N, b, k, m, u, v, x, z   S, b, j, k, s, u, v, x, z   j, X   G, b, j, k, m, s, u, v, x, z   T, b, j, k, m, s, u, v, x, z   J, b, j, k, s, u, v, x, z   Q, b, k, m, u, v, x, z   k, W, m, x, z

Allowed substitution hints:   ph( v, u, k, m, b)   ps( x, v, u, j, k, m, s, b)   B( x, u, j, k, m, s)   C( x, m)   P( j, s)   Q( j, s)   S( m)   J( m)   L( x, v, u, j, k, m, s, b)   N( j, s)   W( v, u, j, s, b)   X( x, z, v, u, k, m, s, b)

Proof of Theorem cvmliftlem6

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvmliftlem.1	. . . . . . . . . . 11 |- S = ( k e. J |-> { s e. ( ~P C \ { (/) } ) | ( U. s = ( `' F " k ) /\ A. u e. s ( A. v e. ( s \ { u } ) ( u i^i v ) = (/) /\ ( F |` u ) e. ( ( C ↾t u ) Homeo ( J ↾t k ) ) ) ) } )
2		cvmliftlem.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = U. C
3		cvmliftlem.x	. . . . . . . . . . 11 |- X = U. J
4		cvmliftlem.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F e. ( C CovMap J ) )
5		cvmliftlem.g	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G e. ( II Cn J ) )
6		cvmliftlem.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. B )
7		cvmliftlem.e	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( F ` P ) = ( G ` 0 ) )
8		cvmliftlem.n	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> N e. NN )
9		cvmliftlem.t	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> T : ( 1 ... N ) --> U_ j e. J ( { j } X. ( S ` j ) ) )
10		cvmliftlem.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. ( 1 ... N ) ( G " ( ( ( k - 1 ) / N ) [,] ( k / N ) ) ) C_ ( 1st ` ( T ` k ) ) )
11		cvmliftlem.l	. . . . . . . . . . 11 |- L = ( topGen ` ran (,) )
12		cvmliftlem6.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. ( 1 ... N ) )
13	12	adantrr 753	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> M e. ( 1 ... N ) )
14	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13	cvmliftlem1 31267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( 2nd ` ( T ` M ) ) e. ( S ` ( 1st ` ( T ` M ) ) ) )
15	1	cvmsss 31249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2nd ` ( T ` M ) ) e. ( S ` ( 1st ` ( T ` M ) ) ) -> ( 2nd ` ( T ` M ) ) C_ C )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( 2nd ` ( T ` M ) ) C_ C )
17	4	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> F e. ( C CovMap J ) )
18		cvmliftlem6.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
19	18	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) )
20		cvmcn 31244	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. ( C CovMap J ) -> F e. ( C Cn J ) )
21	2, 3	cnf 21050	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. ( C Cn J ) -> F : B --> X )
22	17, 20, 21	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> F : B --> X )
23		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : B --> X -> F Fn B )
24		fniniseg 6338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F Fn B -> ( ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) ) )
25	22, 23, 24	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( `' F " { ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) } ) <-> ( ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) ) )
26	19, 25	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) )
27	26	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. B )
28	26	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) = ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) )
29		cvmliftlem5.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) )
30		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. ( 1 ... N ) -> M e. NN )
31	13, 30	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> M e. NN )
32	31	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> M e. RR )
33		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
34	32, 33	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( M - 1 ) e. RR )
35	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> N e. NN )
36	34, 35	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) e. RR )
37	36	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) e. RR* )
38	32, 35	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( M / N ) e. RR )
39	38	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( M / N ) e. RR* )
40	32	ltm1d 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( M - 1 ) < M )
41	35	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> N e. RR )
42	35	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> 0 < N )
43		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( M - 1 ) e. RR /\ M e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( ( M - 1 ) / N ) < ( M / N ) ) )
44	34, 32, 41, 42, 43	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) < M <-> ( ( M - 1 ) / N ) < ( M / N ) ) )
45	40, 44	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) < ( M / N ) )
46	36, 38, 45	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) <_ ( M / N ) )
47		lbicc2 12288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( M - 1 ) / N ) e. RR* /\ ( M / N ) e. RR* /\ ( ( M - 1 ) / N ) <_ ( M / N ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) e. ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) ) )
48	37, 39, 46, 47	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) e. ( ( ( M - 1 ) / N ) [,] ( M / N ) ) )
49	48, 29	syl6eleqr 2712	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( M - 1 ) / N ) e. W )
50	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 49	cvmliftlem3 31269	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( G ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( 1st ` ( T ` M ) ) )
51	28, 50	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) e. ( 1st ` ( T ` M ) ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) = ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b )
53	1, 2, 52	cvmsiota 31259	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( ( 2nd ` ( T ` M ) ) e. ( S ` ( 1st ` ( T ` M ) ) ) /\ ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. B /\ ( F ` ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) ) e. ( 1st ` ( T ` M ) ) ) ) -> ( ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) /\ ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) )
54	17, 14, 27, 51, 53	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) /\ ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) )
55	54	simpld 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) )
56	16, 55	sseldd 3604	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. C )
57		elssuni 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. C -> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) C_ U. C )
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) C_ U. C )
59	58, 2	syl6sseqr 3652	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) C_ B )
60	1	cvmsf1o 31254	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( C CovMap J ) /\ ( 2nd ` ( T ` M ) ) e. ( S ` ( 1st ` ( T ` M ) ) ) /\ ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ) -> ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -1-1-onto-> ( 1st ` ( T ` M ) ) )
61	17, 14, 55, 60	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -1-1-onto-> ( 1st ` ( T ` M ) ) )
62		f1ocnv 6149	. . . . . . . 8 |- ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -1-1-onto-> ( 1st ` ( T ` M ) ) -> `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( 1st ` ( T ` M ) ) -1-1-onto-> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) )
63		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( 1st ` ( T ` M ) ) -1-1-onto-> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -> `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( 1st ` ( T ` M ) ) --> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) )
64	61, 62, 63	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( 1st ` ( T ` M ) ) --> ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) )
65		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> z e. W )
66	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 29, 65	cvmliftlem3 31269	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( G ` z ) e. ( 1st ` ( T ` M ) ) )
67	64, 66	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) e. ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) )
68	59, 67	sseldd 3604	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) e. B )
69	68	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ z e. W ) -> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) e. B )
70		eqid 2622	. . . 4 |- ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) )
71	69, 70	fmptd 6385	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) : W --> B )
72	12, 30	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> M e. NN )
73		cvmliftlem.q	. . . . . 6 |- Q = seq 0 ( ( x e. _V , m e. NN |-> ( z e. ( ( ( m - 1 ) / N ) [,] ( m / N ) ) |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` m ) ) ( x ` ( ( m - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) , ( ( _I |` NN ) u. { <. 0 , { <. 0 , P >. } >. } ) )
74	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 73, 29	cvmliftlem5 31271	. . . . 5 |- ( ( ph /\ M e. NN ) -> ( Q ` M ) = ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) )
75	72, 74	syldan 487	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q ` M ) = ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) )
76	75	feq1d 6030	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( Q ` M ) : W --> B <-> ( z e. W |-> ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) : W --> B ) )
77	71, 76	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( Q ` M ) : W --> B )
78		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( z e. W -> ( ( G |` W ) ` z ) = ( G ` z ) )
79	65, 78	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( G |` W ) ` z ) = ( G ` z ) )
80		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) : ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -1-1-onto-> ( 1st ` ( T ` M ) ) /\ ( G ` z ) e. ( 1st ` ( T ` M ) ) ) -> ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
81	61, 66, 80	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( G ` z ) )
82		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) e. ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) -> ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) )
83	67, 82	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) )
84	79, 81, 83	3eqtr2rd 2663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ps /\ z e. W ) ) -> ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( ( G |` W ) ` z ) )
85	84	anassrs 680	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ z e. W ) -> ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) = ( ( G |` W ) ` z ) )
86	85	mpteq2dva 4744	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( z e. W |-> ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) = ( z e. W |-> ( ( G |` W ) ` z ) ) )
87	4, 20, 21	3syl 18	. . . . . 6 |- ( ph -> F : B --> X )
88	87	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> F : B --> X )
89	88	feqmptd 6249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> F = ( y e. B |-> ( F ` y ) ) )
90		fveq2 6191	. . . 4 |- ( y = ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) )
91	69, 75, 89, 90	fmptco 6396	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F o. ( Q ` M ) ) = ( z e. W |-> ( F ` ( `' ( F |` ( iota_ b e. ( 2nd ` ( T ` M ) ) ( ( Q ` ( M - 1 ) ) ` ( ( M - 1 ) / N ) ) e. b ) ) ` ( G ` z ) ) ) ) )
92		iiuni 22684	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] 1 ) = U. II
93	92, 3	cnf 21050	. . . . . . 7 |- ( G e. ( II Cn J ) -> G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
94	5, 93	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
95	94	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> G : ( 0 [,] 1 ) --> X )
96	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 29	cvmliftlem2 31268	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> W C_ ( 0 [,] 1 ) )
97	95, 96	fssresd 6071	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( G |` W ) : W --> X )
98	97	feqmptd 6249	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( G |` W ) = ( z e. W |-> ( ( G |` W ) ` z ) ) )
99	86, 91, 98	3eqtr4d 2666	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( F o. ( Q ` M ) ) = ( G |` W ) )
100	77, 99	jca 554	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( Q ` M ) : W --> B /\ ( F o. ( Q ` M ) ) = ( G |` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   ...cfz 12326   seqcseq 12801   ↾_t crest 16081   topGenctg 16098   Cn ccn 21028   Homeochmeo 21556   IIcii 22678   CovMap ccvm 31237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-fz 12327  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cn 21031  df-hmeo 21558  df-ii 22680  df-cvm 31238

This theorem is referenced by:  cvmliftlem7  31273  cvmliftlem10  31276  cvmliftlem13  31278