Theorem dchrisum0fmul 25195

Description: The function F, the divisor sum of a Dirichlet character, is a multiplicative function (but not completely multiplicative). Equation 9.4.27 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum2.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum2.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum2.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum0f.f	|- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
dchrisum0f.x	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum0fmul.a	|- ( ph -> A e. NN )
dchrisum0fmul.b	|- ( ph -> B e. NN )
dchrisum0fmul.m	|- ( ph -> ( A gcd B ) = 1 )

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0fmul	|- ( ph -> ( F ` ( A x. B ) ) = ( ( F ` A ) x. ( F ` B ) ) )

Distinct variable groups:   q, b, v, A   N, q   B, b, q, v   L, b, v   X, b, v

Allowed substitution hints:   ph( v, q, b)   D( v, q, b)   .1. ( v, q, b)   F( v, q, b)   G( v, q, b)   L( q)   N( v, b)   X( q)   Z( v, q, b)

Proof of Theorem dchrisum0fmul

Dummy variables k i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrisum0fmul.a	. . 3 |- ( ph -> A e. NN )
2		dchrisum0fmul.b	. . 3 |- ( ph -> B e. NN )
3		dchrisum0fmul.m	. . 3 |- ( ph -> ( A gcd B ) = 1 )
4		eqid 2622	. . 3 |- { q e. NN | q || A } = { q e. NN | q || A }
5		eqid 2622	. . 3 |- { q e. NN | q || B } = { q e. NN | q || B }
6		eqid 2622	. . 3 |- { q e. NN | q || ( A x. B ) } = { q e. NN | q || ( A x. B ) }
7		rpvmasum2.g	. . . 4 |- G = (DChr ` N )
8		rpvmasum.z	. . . 4 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
9		rpvmasum2.d	. . . 4 |- D = ( Base ` G )
10		rpvmasum.l	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Z )
11		dchrisum0f.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. D )
12	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. { q e. NN | q || A } ) -> X e. D )
13		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( j e. { q e. NN | q || A } -> j e. NN )
14	13	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( j e. { q e. NN | q || A } -> j e. ZZ )
15	14	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ j e. { q e. NN | q || A } ) -> j e. ZZ )
16	7, 8, 9, 10, 12, 15	dchrzrhcl 24970	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. { q e. NN | q || A } ) -> ( X ` ( L ` j ) ) e. CC )
17	11	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { q e. NN | q || B } ) -> X e. D )
18		elrabi 3359	. . . . . 6 |- ( k e. { q e. NN | q || B } -> k e. NN )
19	18	nnzd 11481	. . . . 5 |- ( k e. { q e. NN | q || B } -> k e. ZZ )
20	19	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. { q e. NN | q || B } ) -> k e. ZZ )
21	7, 8, 9, 10, 17, 20	dchrzrhcl 24970	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. { q e. NN | q || B } ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
22	14, 19	anim12i 590	. . . 4 |- ( ( j e. { q e. NN | q || A } /\ k e. { q e. NN | q || B } ) -> ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) )
23	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> X e. D )
24		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> j e. ZZ )
25		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> k e. ZZ )
26	7, 8, 9, 10, 23, 24, 25	dchrzrhmul 24971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( X ` ( L ` ( j x. k ) ) ) = ( ( X ` ( L ` j ) ) x. ( X ` ( L ` k ) ) ) )
27	26	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( ( X ` ( L ` j ) ) x. ( X ` ( L ` k ) ) ) = ( X ` ( L ` ( j x. k ) ) ) )
28	22, 27	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. { q e. NN | q || A } /\ k e. { q e. NN | q || B } ) ) -> ( ( X ` ( L ` j ) ) x. ( X ` ( L ` k ) ) ) = ( X ` ( L ` ( j x. k ) ) ) )
29		fveq2 6191	. . . 4 |- ( i = ( j x. k ) -> ( L ` i ) = ( L ` ( j x. k ) ) )
30	29	fveq2d 6195	. . 3 |- ( i = ( j x. k ) -> ( X ` ( L ` i ) ) = ( X ` ( L ` ( j x. k ) ) ) )
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 16, 21, 28, 30	fsumdvdsmul 24921	. 2 |- ( ph -> ( sum_ j e. { q e. NN | q || A } ( X ` ( L ` j ) ) x. sum_ k e. { q e. NN | q || B } ( X ` ( L ` k ) ) ) = sum_ i e. { q e. NN | q || ( A x. B ) } ( X ` ( L ` i ) ) )
32		rpvmasum.a	. . . . 5 |- ( ph -> N e. NN )
33		rpvmasum2.1	. . . . 5 |- .1. = ( 0g ` G )
34		dchrisum0f.f	. . . . 5 |- F = ( b e. NN |-> sum_ v e. { q e. NN | q || b } ( X ` ( L ` v ) ) )
35	8, 10, 32, 7, 9, 33, 34	dchrisum0fval 25194	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) = sum_ j e. { q e. NN | q || A } ( X ` ( L ` j ) ) )
36	1, 35	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` A ) = sum_ j e. { q e. NN | q || A } ( X ` ( L ` j ) ) )
37	8, 10, 32, 7, 9, 33, 34	dchrisum0fval 25194	. . . 4 |- ( B e. NN -> ( F ` B ) = sum_ k e. { q e. NN | q || B } ( X ` ( L ` k ) ) )
38	2, 37	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( F ` B ) = sum_ k e. { q e. NN | q || B } ( X ` ( L ` k ) ) )
39	36, 38	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` A ) x. ( F ` B ) ) = ( sum_ j e. { q e. NN | q || A } ( X ` ( L ` j ) ) x. sum_ k e. { q e. NN | q || B } ( X ` ( L ` k ) ) ) )
40	1, 2	nnmulcld 11068	. . 3 |- ( ph -> ( A x. B ) e. NN )
41	8, 10, 32, 7, 9, 33, 34	dchrisum0fval 25194	. . 3 |- ( ( A x. B ) e. NN -> ( F ` ( A x. B ) ) = sum_ i e. { q e. NN | q || ( A x. B ) } ( X ` ( L ` i ) ) )
42	40, 41	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( F ` ( A x. B ) ) = sum_ i e. { q e. NN | q || ( A x. B ) } ( X ` ( L ` i ) ) )
43	31, 39, 42	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ph -> ( F ` ( A x. B ) ) = ( ( F ` A ) x. ( F ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   ZZcz 11377   sum_csu 14416   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-sum 14417  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-0g 16102  df-imas 16168  df-qus 16169  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-rnghom 18715  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrisum0flblem2  25198