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Theorem dcubic1lem 24570

Description: Lemma for dcubic1 24572 and dcubic2 24571: simplify the cubic equation under the substitution

. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dcubic.c
dcubic.d
dcubic.x
dcubic.t
dcubic.3
dcubic.g
dcubic.2
dcubic.m
dcubic.n
dcubic.0
dcubic2.u
dcubic2.z
dcubic2.2

**Assertion**
Ref	Expression
dcubic1lem

**Proof of Theorem dcubic1lem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dcubic2.u	. . . . . . . . 9
2		3nn0 11310	. . . . . . . . 9
3		expcl 12878	. . . . . . . . 9 $/\$
4	1, 2, 3	sylancl 694	. . . . . . . 8
5	4	sqvald 13005	. . . . . . 7
6	5	oveq1d 6665	. . . . . 6
7		dcubic2.z	. . . . . . . 8
8		3z 11410	. . . . . . . . 9
9	8	a1i 11	. . . . . . . 8
10	1, 7, 9	expne0d 13014	. . . . . . 7
11	4, 4, 10	divcan4d 10807	. . . . . 6
12	6, 11	eqtr2d 2657	. . . . 5
13		dcubic.d	. . . . . . . 8
14		dcubic.m	. . . . . . . . . . 11
15		dcubic.c	. . . . . . . . . . . 12
16		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . 13
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
18		3ne0 11115	. . . . . . . . . . . . 13
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
20	15, 17, 19	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11
21	14, 20	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10
22		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
23	21, 2, 22	sylancl 694	. . . . . . . . 9
24	23, 4, 10	divcld 10801	. . . . . . . 8
25	13, 24	negsubd 10398	. . . . . . 7
26	13, 4, 10	divcan4d 10807	. . . . . . . 8
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . 7
28	25, 27	eqtr4d 2659	. . . . . 6
29		dcubic.x	. . . . . . . . . 10
30	15, 29	mulcld 10060	. . . . . . . . 9
31	30	negcld 10379	. . . . . . . 8
32	24	negcld 10379	. . . . . . . 8
33	31, 32, 30, 13	add42d 10265	. . . . . . 7
34	15, 29	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . 12
35		dcubic2.2	. . . . . . . . . . . . . . 15
36	35	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . 14
37	21, 1, 7	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	1, 37	negsubdid 10407	. . . . . . . . . . . . . 14
39	36, 38	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
41	34, 40	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11
42	1	negcld 10379	. . . . . . . . . . . 12
43	15, 42, 37	adddid 10064	. . . . . . . . . . 11
44	15, 1	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . 12
45	44	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
46	41, 43, 45	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10
47	46	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9
48	15, 1	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11
49	48	negcld 10379	. . . . . . . . . 10
50	15, 37	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10
51	49, 50, 32	addassd 10062	. . . . . . . . 9
52	47, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . 8
53	52	oveq1d 6665	. . . . . . 7
54	31, 30	addcomd 10238	. . . . . . . . . 10
55	30	negidd 10382	. . . . . . . . . 10
56	54, 55	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9
57	56	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
58	13, 32	addcld 10059	. . . . . . . . 9
59	58	addid2d 10237	. . . . . . . 8
60	57, 59	eqtrd 2656	. . . . . . 7
61	33, 53, 60	3eqtr3d 2664	. . . . . 6
62	13, 4	mulcld 10060	. . . . . . 7
63	62, 23, 4, 10	divsubdird 10840	. . . . . 6
64	28, 61, 63	3eqtr4d 2666	. . . . 5
65	12, 64	oveq12d 6668	. . . 4
66	1, 37	negsubd 10398	. . . . . . . . . 10
67	35, 66	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9
68	67	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
69	37	negcld 10379	. . . . . . . . 9
70		binom3 12985	. . . . . . . . 9 $/\$
71	1, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . 8
72	1	sqcld 13006	. . . . . . . . . . . . . 14
73	72, 37	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . 13
74	72, 21, 1, 7	div12d 10837	. . . . . . . . . . . . . . 15
75	1	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
76	75	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
77	1, 1, 7	divcan4d 10807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	76, 77	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	78	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	74, 79	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
81	80	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . 13
82	73, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
84	21, 1	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . 12
85	17, 84	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . 11
86	17, 21, 1	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13
87	14	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
88	15, 17, 19	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	87, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
91	86, 90	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12
92	91	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11
93	83, 85, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . 10
94	93	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
95		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . . 16
96	37, 95	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15
97	37	sqvald 13005	. . . . . . . . . . . . . . 15
98	96, 97	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13
100	1, 37, 37	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . 13
101	21, 1, 7	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . 14
102	101	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
103	99, 100, 102	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . 12
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11
105	17, 21, 37	mulassd 10063	. . . . . . . . . . 11
106	89	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
107	104, 105, 106	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10
108		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . 13
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
110		2nn 11185	. . . . . . . . . . . . . 14
111		1nn0 11308	. . . . . . . . . . . . . 14
112		1nn 11031	. . . . . . . . . . . . . 14
113		2t1e2 11176	. . . . . . . . . . . . . . . 16
114	113	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . 15
115		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . 15
116	114, 115	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14
117		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . 14
118	110, 111, 112, 116, 117	ndvdsi 15136	. . . . . . . . . . . . 13
119	118	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
120		oexpneg 15069	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
121	37, 109, 119, 120	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11
122	2	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13
123	21, 1, 7, 122	expdivd 13022	. . . . . . . . . . . 12
124	123	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11
125	121, 124	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10
126	107, 125	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
127	94, 126	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
128	68, 71, 127	3eqtrd 2660	. . . . . . 7
129	50, 32	addcld 10059	. . . . . . . 8
130	4, 49, 129	addassd 10062	. . . . . . 7
131	128, 130	eqtrd 2656	. . . . . 6
132	131	oveq1d 6665	. . . . 5
133	49, 129	addcld 10059	. . . . . 6
134	30, 13	addcld 10059	. . . . . 6
135	4, 133, 134	addassd 10062	. . . . 5
136	132, 135	eqtrd 2656	. . . 4
137	4	sqcld 13006	. . . . 5
138	62, 23	subcld 10392	. . . . 5
139	137, 138, 4, 10	divdird 10839	. . . 4
140	65, 136, 139	3eqtr4d 2666	. . 3
141	140	eqeq1d 2624	. 2
142	137, 138	addcld 10059	. . 3
143	142, 4, 10	diveq0ad 10811	. 2
144	141, 143	bitrd 268	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

cn0 11292

cz 11377

cexp 12860

cdvds 14983

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-fz 12327 df-seq 12802 df-exp 12861 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-dvds 14984

This theorem is referenced by: dcubic2 24571 dcubic1 24572

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