Theorem dfod2 17981

Description: An alternative definition of the order of a group element is as the cardinality of the cyclic subgroup generated by the element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	|- X = ( Base ` G )
odf1.2	|- O = ( od ` G )
odf1.3	|- .x. = (.g ` G )
odf1.4	|- F = ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) )

Assertion

Ref	Expression
dfod2	|- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, G   x, O   x, .x.   x, X

Allowed substitution hint:   F( x)

Proof of Theorem dfod2

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) e. Fin )
2		odf1.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- X = ( Base ` G )
3		odf1.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- .x. = (.g ` G )
4	2, 3	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. ZZ /\ A e. X ) -> ( x .x. A ) e. X )
5	4	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ x e. ZZ ) /\ A e. X ) -> ( x .x. A ) e. X )
6	5	an32s 846	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ x e. ZZ ) -> ( x .x. A ) e. X )
7	6	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x .x. A ) e. X )
8		odf1.4	. . . . . . . . 9 |- F = ( x e. ZZ |-> ( x .x. A ) )
9	7, 8	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> F : ZZ --> X )
10		frn 6053	. . . . . . . 8 |- ( F : ZZ --> X -> ran F C_ X )
11		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` G ) e. _V
12	2, 11	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- X e. _V
13	12	ssex 4802	. . . . . . . 8 |- ( ran F C_ X -> ran F e. _V )
14	9, 10, 13	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran F e. _V )
15		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) -> y e. ZZ )
16	15	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
17		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( y .x. A ) e. _V
18		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
19	8, 18	elrnmpt1s 5373	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. ZZ /\ ( y .x. A ) e. _V ) -> ( y .x. A ) e. ran F )
20	16, 17, 19	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( y .x. A ) e. ran F )
21	20	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> A. y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( y .x. A ) e. ran F )
22		zmodfz 12692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. ZZ /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( x mod ( O ` A ) ) e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) )
23	22	ancoms 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O ` A ) e. NN /\ x e. ZZ ) -> ( x mod ( O ` A ) ) e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) )
24	23	adantll 750	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( x mod ( O ` A ) ) e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) )
25		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( O ` A ) e. NN )
26		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> x e. ZZ )
27	15	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> y e. ZZ )
28		moddvds 14991	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( O ` A ) e. NN /\ x e. ZZ /\ y e. ZZ ) -> ( ( x mod ( O ` A ) ) = ( y mod ( O ` A ) ) <-> ( O ` A ) || ( x - y ) ) )
29	25, 26, 27, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( x mod ( O ` A ) ) = ( y mod ( O ` A ) ) <-> ( O ` A ) || ( x - y ) ) )
30	27	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> y e. RR )
31	25	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( O ` A ) e. RR+ )
32		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 0 e. ZZ
33		nnz 11399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( O ` A ) e. NN -> ( O ` A ) e. ZZ )
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( O ` A ) e. ZZ )
36		elfzm11 12411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( O ` A ) e. ZZ ) -> ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < ( O ` A ) ) ) )
37	32, 35, 36	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) <-> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < ( O ` A ) ) ) )
38	37	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( y e. ZZ /\ 0 <_ y /\ y < ( O ` A ) ) )
39	38	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> 0 <_ y )
40	38	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> y < ( O ` A ) )
41		modid 12695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( y e. RR /\ ( O ` A ) e. RR+ ) /\ ( 0 <_ y /\ y < ( O ` A ) ) ) -> ( y mod ( O ` A ) ) = y )
42	30, 31, 39, 40, 41	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( y mod ( O ` A ) ) = y )
43	42	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( x mod ( O ` A ) ) = ( y mod ( O ` A ) ) <-> ( x mod ( O ` A ) ) = y ) )
44		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x mod ( O ` A ) ) = y <-> y = ( x mod ( O ` A ) ) )
45	43, 44	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( x mod ( O ` A ) ) = ( y mod ( O ` A ) ) <-> y = ( x mod ( O ` A ) ) ) )
46		simp-4l 806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> G e. Grp )
47		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> A e. X )
48		odf1.2	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- O = ( od ` G )
49		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
50	2, 48, 3, 49	odcong 17968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( O ` A ) || ( x - y ) <-> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
51	46, 47, 26, 27, 50	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( O ` A ) || ( x - y ) <-> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
52	29, 45, 51	3bitr3rd 299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) /\ y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ) -> ( ( x .x. A ) = ( y .x. A ) <-> y = ( x mod ( O ` A ) ) ) )
53	52	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> A. y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( ( x .x. A ) = ( y .x. A ) <-> y = ( x mod ( O ` A ) ) ) )
54		reu6i 3397	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x mod ( O ` A ) ) e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) /\ A. y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( ( x .x. A ) = ( y .x. A ) <-> y = ( x mod ( O ` A ) ) ) ) -> E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
55	24, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) /\ x e. ZZ ) -> E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
56	55	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> A. x e. ZZ E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
57		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( x .x. A ) e. _V
58	57	rgenw 2924	. . . . . . . . . 10 |- A. x e. ZZ ( x .x. A ) e. _V
59		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( x .x. A ) -> ( z = ( y .x. A ) <-> ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
60	59	reubidv 3126	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( x .x. A ) -> ( E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) z = ( y .x. A ) <-> E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
61	8, 60	ralrnmpt 6368	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ZZ ( x .x. A ) e. _V -> ( A. z e. ran F E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) z = ( y .x. A ) <-> A. x e. ZZ E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) ) )
62	58, 61	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( A. z e. ran F E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) z = ( y .x. A ) <-> A. x e. ZZ E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( x .x. A ) = ( y .x. A ) )
63	56, 62	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> A. z e. ran F E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) z = ( y .x. A ) )
64		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) |-> ( y .x. A ) ) = ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) |-> ( y .x. A ) )
65	64	f1ompt 6382	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) |-> ( y .x. A ) ) : ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) -1-1-onto-> ran F <-> ( A. y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ( y .x. A ) e. ran F /\ A. z e. ran F E! y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) z = ( y .x. A ) ) )
66	21, 63, 65	sylanbrc 698	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) |-> ( y .x. A ) ) : ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) -1-1-onto-> ran F )
67		f1oen2g 7972	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) e. Fin /\ ran F e. _V /\ ( y e. ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) |-> ( y .x. A ) ) : ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) -1-1-onto-> ran F ) -> ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ran F )
68	1, 14, 66, 67	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ran F )
69		enfi 8176	. . . . . 6 |- ( ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ran F -> ( ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) e. Fin <-> ran F e. Fin ) )
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) e. Fin <-> ran F e. Fin ) )
71	1, 70	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ran F e. Fin )
72	71	iftrued 4094	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) = ( # ` ran F ) )
73		fz01en 12369	. . . . . 6 |- ( ( O ` A ) e. ZZ -> ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ( 1 ... ( O ` A ) ) )
74		ensym 8005	. . . . . 6 |- ( ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ( 1 ... ( O ` A ) ) -> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) )
75	34, 73, 74	3syl 18	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) )
76		entr 8008	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) /\ ( 0 ... ( ( O ` A ) - 1 ) ) ~~ ran F ) -> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ran F )
77	75, 68, 76	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ran F )
78		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( 1 ... ( O ` A ) ) e. Fin )
79		hashen 13135	. . . . 5 |- ( ( ( 1 ... ( O ` A ) ) e. Fin /\ ran F e. Fin ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( O ` A ) ) ) = ( # ` ran F ) <-> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ran F ) )
80	78, 71, 79	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( ( # ` ( 1 ... ( O ` A ) ) ) = ( # ` ran F ) <-> ( 1 ... ( O ` A ) ) ~~ ran F ) )
81	77, 80	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` ( 1 ... ( O ` A ) ) ) = ( # ` ran F ) )
82		nnnn0 11299	. . . . 5 |- ( ( O ` A ) e. NN -> ( O ` A ) e. NN0 )
83	82	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
84		hashfz1 13134	. . . 4 |- ( ( O ` A ) e. NN0 -> ( # ` ( 1 ... ( O ` A ) ) ) = ( O ` A ) )
85	83, 84	syl 17	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( # ` ( 1 ... ( O ` A ) ) ) = ( O ` A ) )
86	72, 81, 85	3eqtr2rd 2663	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) e. NN ) -> ( O ` A ) = if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) )
87		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( O ` A ) = 0 )
88	2, 48, 3, 8	odinf 17980	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> -. ran F e. Fin )
89	88	iffalsed 4097	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) = 0 )
90	87, 89	eqtr4d 2659	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( O ` A ) = if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) )
91	90	3expa 1265	. 2 |- ( ( ( G e. Grp /\ A e. X ) /\ ( O ` A ) = 0 ) -> ( O ` A ) = if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) )
92	2, 48	odcl 17955	. . . 4 |- ( A e. X -> ( O ` A ) e. NN0 )
93	92	adantl 482	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) e. NN0 )
94		elnn0 11294	. . 3 |- ( ( O ` A ) e. NN0 <-> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
95	93, 94	sylib 208	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( ( O ` A ) e. NN \/ ( O ` A ) = 0 ) )
96	86, 91, 95	mpjaodan 827	1 |- ( ( G e. Grp /\ A e. X ) -> ( O ` A ) = if ( ran F e. Fin , ( # ` ran F ) , 0 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E!wreu 2914   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   mod cmo 12668   #chash 13117   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422  ._gcmg 17540   odcod 17944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-od 17948

This theorem is referenced by:  oddvds2  17983  cyggenod  18286  cyggenod2  18287