Theorem digexp 42401

Description: The K th digit of a power to the base is either 1 or 0. (Contributed by AV, 24-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
digexp	|- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K (digit ` B ) ( B ^ N ) ) = if ( K = N , 1 , 0 ) )

Proof of Theorem digexp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelcn 11699	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. CC )
2		eluz2nn 11726	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN )
3	2	nnne0d 11065	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B =/= 0 )
4	1, 3	jca 554	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B e. CC /\ B =/= 0 ) )
6		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( K e. NN0 -> K e. ZZ )
7		nn0z 11400	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
8	6, 7	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
9	8	ancomd 467	. . . . . . 7 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
10	9	3adant1 1079	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) )
11		expsub 12908	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. CC /\ B =/= 0 ) /\ ( N e. ZZ /\ K e. ZZ ) ) -> ( B ^ ( N - K ) ) = ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) )
12	5, 10, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ ( N - K ) ) = ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) )
13	12	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) = ( B ^ ( N - K ) ) )
14	13	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) ) = ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) )
15	14	oveq1d 6665	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) ) mod B ) = ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) )
16	2	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B e. NN )
17		simp2 1062	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> K e. NN0 )
18		eluzelre 11698	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR )
19		reexpcl 12877	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ N ) e. RR )
20	18, 19	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ N ) e. RR )
21	18	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> B e. RR )
22		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
23		eluzge2nn0 11727	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. NN0 )
24	23	nn0ge0d 11354	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 0 <_ B )
25	24	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ B )
26	21, 22, 25	expge0d 13026	. . . . . 6 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> 0 <_ ( B ^ N ) )
27	20, 26	jca 554	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ N e. NN0 ) -> ( ( B ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ N ) ) )
28	27	3adant2 1080	. . . 4 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( B ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ N ) ) )
29		elrege0 12278	. . . 4 |- ( ( B ^ N ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( B ^ N ) e. RR /\ 0 <_ ( B ^ N ) ) )
30	28, 29	sylibr 224	. . 3 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ N ) e. ( 0 [,) +oo ) )
31		nn0digval 42394	. . 3 |- ( ( B e. NN /\ K e. NN0 /\ ( B ^ N ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( K (digit ` B ) ( B ^ N ) ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) ) mod B ) )
32	16, 17, 30, 31	syl3anc 1326	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K (digit ` B ) ( B ^ N ) ) = ( ( |_ ` ( ( B ^ N ) / ( B ^ K ) ) ) mod B ) )
33		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> K = N )
34	33	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> N = K )
35		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. NN0 -> N e. CC )
36	35	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. CC )
37		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( K e. NN0 -> K e. CC )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> K e. CC )
39	36, 38	subeq0ad 10402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - K ) = 0 <-> N = K ) )
40	39	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( ( N - K ) = 0 <-> N = K ) )
41	34, 40	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( N - K ) = 0 )
42	41	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( B ^ ( N - K ) ) = ( B ^ 0 ) )
43	1	exp0d 13002	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
45	44	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
46	42, 45	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( B ^ ( N - K ) ) = 1 )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = ( |_ ` 1 ) )
48		1zzd 11408	. . . . . . 7 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> 1 e. ZZ )
49		flid 12609	. . . . . . 7 |- ( 1 e. ZZ -> ( |_ ` 1 ) = 1 )
50	48, 49	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( |_ ` 1 ) = 1 )
51	47, 50	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = 1 )
52	51	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = ( 1 mod B ) )
53		eluz2gt1 11760	. . . . . . 7 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < B )
54		1mod 12702	. . . . . . 7 |- ( ( B e. RR /\ 1 < B ) -> ( 1 mod B ) = 1 )
55	18, 53, 54	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 mod B ) = 1 )
56	55	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 1 mod B ) = 1 )
57	56	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> ( 1 mod B ) = 1 )
58	52, 57	eqtr2d 2657	. . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ K = N ) -> 1 = ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) )
59		simprl1 1106	. . . . . . . . 9 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> B e. ( ZZ>= ` 2 ) )
60	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
61	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> K e. ZZ )
62	60, 61	zsubcld 11487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - K ) e. ZZ )
63	62	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N - K ) e. ZZ )
64	63	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( N - K ) e. ZZ )
65		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
66	65	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> N e. RR )
67		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( K e. NN0 -> K e. RR )
68	67	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> K e. RR )
69	66, 68	sublt0d 10653	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( N - K ) < 0 <-> N < K ) )
70	69	biimprd 238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( N < K -> ( N - K ) < 0 ) )
71	70	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) -> ( N < K -> ( N - K ) < 0 ) )
72	71	impcom 446	. . . . . . . . 9 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( N - K ) < 0 )
73		expnegico01 42308	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( N - K ) e. ZZ /\ ( N - K ) < 0 ) -> ( B ^ ( N - K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
74	59, 64, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( B ^ ( N - K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) )
75		ico01fl0 12620	. . . . . . . 8 |- ( ( B ^ ( N - K ) ) e. ( 0 [,) 1 ) -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = 0 )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = 0 )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = ( 0 mod B ) )
78	2	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. RR+ )
79		0mod 12701	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR+ -> ( 0 mod B ) = 0 )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 0 mod B ) = 0 )
81	80	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 mod B ) = 0 )
82	81	ad2antrl 764	. . . . . 6 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( 0 mod B ) = 0 )
83	77, 82	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = 0 )
84		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) -> B e. ZZ )
85	84	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B e. ZZ )
86	85	ad2antrl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> B e. ZZ )
87	67, 65	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
88		lenlt 10116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K <_ N <-> -. N < K ) )
89	88	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( -. N < K <-> K <_ N ) )
90	87, 89	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N < K <-> K <_ N ) )
91	90	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N < K -> K <_ N ) )
92	91	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. N < K -> K <_ N ) )
93	92	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) -> ( -. N < K -> K <_ N ) )
94	93	impcom 446	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> K <_ N )
95		3simpc 1060	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
96	95	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) )
97		nn0sub 11343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( K <_ N <-> ( N - K ) e. NN0 ) )
99	94, 98	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( N - K ) e. NN0 )
100		zexpcl 12875	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ ( N - K ) e. NN0 ) -> ( B ^ ( N - K ) ) e. ZZ )
101	86, 99, 100	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( B ^ ( N - K ) ) e. ZZ )
102		flid 12609	. . . . . . . 8 |- ( ( B ^ ( N - K ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = ( B ^ ( N - K ) ) )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) = ( B ^ ( N - K ) ) )
104	103	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = ( ( B ^ ( N - K ) ) mod B ) )
105	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B e. CC )
106	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B =/= 0 )
107	105, 106, 63	expm1d 13018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ ( ( N - K ) - 1 ) ) = ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) )
108	107	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) = ( B ^ ( ( N - K ) - 1 ) ) )
109	108	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) = ( B ^ ( ( N - K ) - 1 ) ) )
110		pm4.56 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. K = N /\ -. N < K ) <-> -. ( K = N \/ N < K ) )
111	87	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. RR /\ N e. RR ) )
112		axlttri 10109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( K e. RR /\ N e. RR ) -> ( K < N <-> -. ( K = N \/ N < K ) ) )
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K < N <-> -. ( K = N \/ N < K ) ) )
114	113	biimprd 238	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( -. ( K = N \/ N < K ) -> K < N ) )
115	110, 114	syl5bi 232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( -. K = N /\ -. N < K ) -> K < N ) )
116	115	expdimp 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) -> ( -. N < K -> K < N ) )
117	116	impcom 446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> K < N )
118	8	3adant1 1079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
119	118	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) )
120		znnsub 11423	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K < N <-> ( N - K ) e. NN ) )
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( K < N <-> ( N - K ) e. NN ) )
122	117, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( N - K ) e. NN )
123		nnm1nn0 11334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N - K ) e. NN -> ( ( N - K ) - 1 ) e. NN0 )
124	122, 123	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( N - K ) - 1 ) e. NN0 )
125		zexpcl 12875	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ZZ /\ ( ( N - K ) - 1 ) e. NN0 ) -> ( B ^ ( ( N - K ) - 1 ) ) e. ZZ )
126	86, 124, 125	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( B ^ ( ( N - K ) - 1 ) ) e. ZZ )
127	109, 126	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) e. ZZ )
128	18	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B e. RR )
129	128, 106, 63	reexpclzd 13034	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( B ^ ( N - K ) ) e. RR )
130	78	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> B e. RR+ )
131		mod0 12675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B ^ ( N - K ) ) e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( ( ( B ^ ( N - K ) ) mod B ) = 0 <-> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) e. ZZ ) )
132	129, 130, 131	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( B ^ ( N - K ) ) mod B ) = 0 <-> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) e. ZZ ) )
133	132	ad2antrl 764	. . . . . . 7 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( ( B ^ ( N - K ) ) mod B ) = 0 <-> ( ( B ^ ( N - K ) ) / B ) e. ZZ ) )
134	127, 133	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( B ^ ( N - K ) ) mod B ) = 0 )
135	104, 134	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( -. N < K /\ ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = 0 )
136	83, 135	pm2.61ian 831	. . . 4 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) -> ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) = 0 )
137	136	eqcomd 2628	. . 3 |- ( ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) /\ -. K = N ) -> 0 = ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) )
138	58, 137	ifeqda 4121	. 2 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> if ( K = N , 1 , 0 ) = ( ( |_ ` ( B ^ ( N - K ) ) ) mod B ) )
139	15, 32, 138	3eqtr4d 2666	1 |- ( ( B e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ K e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( K (digit ` B ) ( B ^ N ) ) = if ( K = N , 1 , 0 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   |_cfl 12591   mod cmo 12668   ^cexp 12860  digitcdig 42389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ico 12181  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-dig 42390

This theorem is referenced by:  dig1  42402