Theorem dignn0flhalflem2 42410

Description: Lemma 2 for dignn0flhalf 42412. (Contributed by AV, 7-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
dignn0flhalflem2	|- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Proof of Theorem dignn0flhalflem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
2	1	rehalfcld 11279	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> ( A / 2 ) e. RR )
3	2	flcld 12599	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) e. ZZ )
4	3	zred 11482	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) e. RR )
5	4	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) e. RR )
6		2re 11090	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
8		id 22	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. NN0 )
9	7, 8	reexpcld 13025	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. RR )
10	9	3ad2ant3 1084	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. RR )
11		2cnd 11093	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 2 e. CC )
12		2ne0 11113	. . . . . . 7 |- 2 =/= 0
13	12	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 2 =/= 0 )
14		nn0z 11400	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
15	14	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
16	11, 13, 15	expne0d 13014	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) =/= 0 )
17	5, 10, 16	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
18	17	flcld 12599	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ )
19	1	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> A e. RR )
20	6	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 2 e. RR )
21		simp3 1063	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. NN0 )
22		1nn0 11308	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN0
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
24	21, 23	nn0addcld 11355	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. NN0 )
25	20, 24	reexpcld 13025	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
26	15	peano2zd 11485	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ZZ )
27	11, 13, 26	expne0d 13014	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) =/= 0 )
28	19, 25, 27	redivcld 10853	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR )
29	28	flcld 12599	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) e. ZZ )
30		nn0p1nn 11332	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )
31		dignn0flhalflem1 42409	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ ( N + 1 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
32	30, 31	syl3an3 1361	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) < ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
33		1zzd 11408	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 e. ZZ )
34		flsubz 42312	. . . . . 6 |- ( ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) )
35	28, 33, 34	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) = ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) )
36	35	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) = ( |_ ` ( ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) - 1 ) ) )
37		nnz 11399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ )
38		zob 15083	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. ZZ -> ( ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ <-> ( ( A - 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
39	37, 38	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ZZ -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
40	39	imp 445	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ )
41		zofldiv2 42325	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) = ( ( A - 1 ) / 2 ) )
42	40, 41	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) = ( ( A - 1 ) / 2 ) )
43	42	3adant3 1081	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) = ( ( A - 1 ) / 2 ) )
44	43	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) = ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) )
45	44	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
46		zcn 11382	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> A e. CC )
47		1cnd 10056	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> 1 e. CC )
48	46, 47	subcld 10392	. . . . . . . 8 |- ( A e. ZZ -> ( A - 1 ) e. CC )
49		2rp 11837	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. RR+
50	49	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> 2 e. RR+ )
51	50	rpcnne0d 11881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
52	49	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR+ )
53	52, 14	rpexpcld 13032	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
54	53	rpcnne0d 11881	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) )
55		divdiv1 10736	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - 1 ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - 1 ) / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) )
56	48, 51, 54, 55	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - 1 ) / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) )
57	10	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
58	11, 57	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
59	11, 21	expp1d 13009	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
60	58, 59	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
61	60	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( A - 1 ) / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) = ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
62	56, 61	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
63	62	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( ( A - 1 ) / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
64	45, 63	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( ( A - 1 ) / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
65	32, 36, 64	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) < ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
66	19	rehalfcld 11279	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A / 2 ) e. RR )
67	66, 10, 16	redivcld 10853	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR )
68		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( ( A / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) e. RR )
69	66, 68	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) e. RR )
70	49	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> 2 e. RR+ )
71	70, 15	rpexpcld 13032	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. RR+ )
72		flle 12600	. . . . . . 7 |- ( ( A / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) <_ ( A / 2 ) )
73	66, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / 2 ) ) <_ ( A / 2 ) )
74	69, 66, 71, 73	lediv1dd 11930	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) )
75		flwordi 12613	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) e. RR /\ ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) <_ ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
76	17, 67, 74, 75	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) <_ ( |_ ` ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
77		divdiv1 10736	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( ( 2 ^ N ) e. CC /\ ( 2 ^ N ) =/= 0 ) ) -> ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( A / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) )
78	46, 51, 54, 77	syl3an 1368	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( A / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) )
79	53	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. NN0 -> ( 2 ^ N ) e. CC )
80	79	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ N ) e. CC )
81	11, 80	mulcomd 10061	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
82	11, 13, 15	expp1zd 13017	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( N + 1 ) ) = ( ( 2 ^ N ) x. 2 ) )
83	81, 82	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) = ( 2 ^ ( N + 1 ) ) )
84	83	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A / ( 2 x. ( 2 ^ N ) ) ) = ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
85	78, 84	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) = ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) )
86	85	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) = ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) )
87	86	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( A / 2 ) / ( 2 ^ N ) ) ) )
88	76, 87	breqtrrd 4681	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) <_ ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
89		zgtp1leeq 42311	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) < ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) /\ ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) <_ ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) ) )
90	89	imp 445	. . 3 |- ( ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) e. ZZ /\ ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) e. ZZ ) /\ ( ( ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) - 1 ) < ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) /\ ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) <_ ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) ) ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
91	18, 29, 65, 88, 90	syl22anc 1327	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) = ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) )
92	91	eqcomd 2628	1 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( A - 1 ) / 2 ) e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( |_ ` ( A / ( 2 ^ ( N + 1 ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( A / 2 ) ) / ( 2 ^ N ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   |_cfl 12591   ^cexp 12860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861

This theorem is referenced by:  dignn0flhalf  42412