Theorem stirlinglem12 40302

Description: The sequence B is bounded below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
stirlinglem12.1	|- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
stirlinglem12.2	|- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
stirlinglem12.3	|- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
stirlinglem12	|- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   A( n)   B( n)   F( n)

Proof of Theorem stirlinglem12

Dummy variables k i j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11031	. . . . 5 |- 1 e. NN
2		stirlinglem12.1	. . . . . . 7 |- A = ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
3	2	stirlinglem2 40292	. . . . . 6 |- ( 1 e. NN -> ( A ` 1 ) e. RR+ )
4		relogcl 24322	. . . . . 6 |- ( ( A ` 1 ) e. RR+ -> ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR )
5	1, 3, 4	mp2b 10	. . . . 5 |- ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR
6		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ n 1
7		nfcv 2764	. . . . . . 7 |- F/_ n log
8		nfmpt1 4747	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( n e. NN |-> ( ( ! ` n ) / ( ( sqr ` ( 2 x. n ) ) x. ( ( n / _e ) ^ n ) ) ) )
9	2, 8	nfcxfr 2762	. . . . . . . 8 |- F/_ n A
10	9, 6	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ n ( A ` 1 )
11	7, 10	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ n ( log ` ( A ` 1 ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( n = 1 -> ( A ` n ) = ( A ` 1 ) )
13	12	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( n = 1 -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
14		stirlinglem12.2	. . . . . 6 |- B = ( n e. NN |-> ( log ` ( A ` n ) ) )
15	6, 11, 13, 14	fvmptf 6301	. . . . 5 |- ( ( 1 e. NN /\ ( log ` ( A ` 1 ) ) e. RR ) -> ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) ) )
16	1, 5, 15	mp2an 708	. . . 4 |- ( B ` 1 ) = ( log ` ( A ` 1 ) )
17	16, 5	eqeltri 2697	. . 3 |- ( B ` 1 ) e. RR
18	17	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` 1 ) e. RR )
19	2	stirlinglem2 40292	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( A ` N ) e. RR+ )
20	19	relogcld 24369	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( log ` ( A ` N ) ) e. RR )
21		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ n N
22	9, 21	nffv 6198	. . . . . 6 |- F/_ n ( A ` N )
23	7, 22	nffv 6198	. . . . 5 |- F/_ n ( log ` ( A ` N ) )
24		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( n = N -> ( A ` n ) = ( A ` N ) )
25	24	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( n = N -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
26	21, 23, 25, 14	fvmptf 6301	. . . 4 |- ( ( N e. NN /\ ( log ` ( A ` N ) ) e. RR ) -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
27	20, 26	mpdan 702	. . 3 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) = ( log ` ( A ` N ) ) )
28	27, 20	eqeltrd 2701	. 2 |- ( N e. NN -> ( B ` N ) e. RR )
29		4re 11097	. . . 4 |- 4 e. RR
30		4ne0 11117	. . . 4 |- 4 =/= 0
31	29, 30	rereccli 10790	. . 3 |- ( 1 / 4 ) e. RR
32	31	a1i 11	. 2 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. RR )
33		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = j -> ( B ` k ) = ( B ` j ) )
34		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = ( j + 1 ) -> ( B ` k ) = ( B ` ( j + 1 ) ) )
35		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = 1 -> ( B ` k ) = ( B ` 1 ) )
36		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = N -> ( B ` k ) = ( B ` N ) )
37		elnnuz 11724	. . . . . 6 |- ( N e. NN <-> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
38	37	biimpi 206	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ( ZZ>= ` 1 ) )
39		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> k e. NN )
40	2	stirlinglem2 40292	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) e. RR+ )
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. RR+ )
42	41	relogcld 24369	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. RR )
43		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ n k
44	9, 43	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( A ` k )
45	7, 44	nffv 6198	. . . . . . . . 9 |- F/_ n ( log ` ( A ` k ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( n = k -> ( A ` n ) = ( A ` k ) )
47	46	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( n = k -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
48	43, 45, 47, 14	fvmptf 6301	. . . . . . . 8 |- ( ( k e. NN /\ ( log ` ( A ` k ) ) e. RR ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
49	39, 42, 48	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
50	49	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) = ( log ` ( A ` k ) ) )
51	41	rpcnd 11874	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) e. CC )
52	51	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) e. CC )
53	40	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( A ` k ) =/= 0 )
54	39, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... N ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
55	54	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( A ` k ) =/= 0 )
56	52, 55	logcld 24317	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( log ` ( A ` k ) ) e. CC )
57	50, 56	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ k e. ( 1 ... N ) ) -> ( B ` k ) e. CC )
58	33, 34, 35, 36, 38, 57	telfsumo 14534	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) )
59		nnz 11399	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
60		fzoval 12471	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1..^ N ) = ( 1 ... ( N - 1 ) ) )
62	61	sumeq1d 14431	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1..^ N ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
63	58, 62	eqtr3d 2658	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) )
64		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( N - 1 ) ) e. Fin )
65		elfznn 12370	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. NN )
66	65	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> j e. NN )
67	2	stirlinglem2 40292	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( A ` j ) e. RR+ )
68	67	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` j ) ) e. RR )
69		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n j
70	9, 69	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( A ` j )
71	7, 70	nffv 6198	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( log ` ( A ` j ) )
72		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
73	72	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
74	69, 71, 73, 14	fvmptf 6301	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN /\ ( log ` ( A ` j ) ) e. RR ) -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
75	68, 74	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) = ( log ` ( A ` j ) ) )
76	75, 68	eqeltrd 2701	. . . . . . 7 |- ( j e. NN -> ( B ` j ) e. RR )
77	66, 76	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` j ) e. RR )
78		peano2nn 11032	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
79	2	stirlinglem2 40292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( A ` ( j + 1 ) ) e. RR+ )
81	80	relogcld 24369	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
82		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( j + 1 )
83	9, 82	nffv 6198	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( A ` ( j + 1 ) )
84	7, 83	nffv 6198	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( log ` ( A ` n ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
87	82, 84, 86, 14	fvmptf 6301	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( j + 1 ) e. NN /\ ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
88	78, 81, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) = ( log ` ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
89	88, 81	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( j e. NN -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
90	65, 89	syl 17	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
91	90	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( B ` ( j + 1 ) ) e. RR )
92	77, 91	resubcld 10458	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
93	64, 92	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) e. RR )
94	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / 4 ) e. RR )
95	65	nnred 11035	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. RR )
96		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. RR )
97	95, 96	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
98	95, 97	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
99	95	recnd 10068	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j e. CC )
100		1cnd 10056	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> 1 e. CC )
101	99, 100	addcld 10059	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
102	65	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> j =/= 0 )
103	78	nnne0d 11065	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) =/= 0 )
104	65, 103	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
105	99, 101, 102, 104	mulne0d 10679	. . . . . . . 8 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
106	98, 105	rereccld 10852	. . . . . . 7 |- ( j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
107	106	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
108	94, 107	remulcld 10070	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
109	64, 108	fsumrecl 14465	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) e. RR )
110		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( 2 x. i ) + 1 ) ) x. ( ( 1 / ( ( 2 x. j ) + 1 ) ) ^ ( 2 x. i ) ) ) )
111		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) ) = ( i e. NN |-> ( ( 1 / ( ( ( 2 x. j ) + 1 ) ^ 2 ) ) ^ i ) )
112	2, 14, 110, 111	stirlinglem10 40300	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
113	66, 112	syl 17	. . . . 5 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
114	64, 92, 108, 113	fsumle 14531	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
115	64, 107	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
116		1red 10055	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 1 e. RR )
117		4pos 11116	. . . . . . . . 9 |- 0 < 4
118	29, 117	elrpii 11835	. . . . . . . 8 |- 4 e. RR+
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. RR+ )
120		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 e. RR )
121		0lt1 10550	. . . . . . . . 9 |- 0 < 1
122	121	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 1 )
123	120, 116, 122	ltled 10185	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 0 <_ 1 )
124	116, 119, 123	divge0d 11912	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> 0 <_ ( 1 / 4 ) )
125		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ZZ>= ` N ) = ( ZZ>= ` N )
126		eluznn 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. NN )
127		stirlinglem12.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) )
128	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> F = ( n e. NN |-> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) ) )
129		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> n = j )
130	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
131	129, 130	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( n x. ( n + 1 ) ) = ( j x. ( j + 1 ) ) )
132	131	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. NN /\ n = j ) -> ( 1 / ( n x. ( n + 1 ) ) ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
133		id 22	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> j e. NN )
134		nnre 11027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. RR )
135		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. RR )
136	134, 135	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. RR )
137	134, 136	remulcld 10070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
138		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j e. CC )
139		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN -> 1 e. CC )
140	138, 139	addcld 10059	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. CC )
141		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN -> j =/= 0 )
142	138, 140, 141, 103	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
143	137, 142	rereccld 10852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
144	128, 132, 133, 143	fvmptd 6288	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
145	126, 144	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
146	126	nnred 11035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR )
147		1red 10055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. RR )
148	146, 147	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR )
149	146, 148	remulcld 10070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR )
150	146	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. CC )
151		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	addcld 10059	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. CC )
153	126	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j =/= 0 )
154	126, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
155	150, 152, 153, 154	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
156	149, 155	rereccld 10852	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
157		seqeq1 12804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) = seq 1 ( + , F ) )
158	127	trireciplem 14594	. . . . . . . . . . . . . 14 |- seq 1 ( + , F ) ~~> 1
159		climrel 14223	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Rel ~~>
160	159	releldmi 5362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( seq 1 ( + , F ) ~~> 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
161	158, 160	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N = 1 -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
162	157, 161	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N = 1 -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
163	162	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
164		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. NN )
165		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> -. N = 1 )
166		elnn1uz2 11765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
167	164, 166	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
168	167	ord 392	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( -. N = 1 -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
169	165, 168	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> N e. ( ZZ>= ` 2 ) )
170		uz2m1nn 11763	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> ( N - 1 ) e. NN )
172		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( N e. NN -> N e. CC )
173	172	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N e. CC )
174		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> 1 e. CC )
175	173, 174	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
176	175	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> N = ( ( N - 1 ) + 1 ) )
177	176	seqeq1d 12807	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) = seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) )
178		nnuz 11723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
179		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> ( N - 1 ) e. NN )
180	143	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j e. NN -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
181	144, 180	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j e. NN -> ( F ` j ) e. CC )
182	181	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N - 1 ) e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) e. CC )
183	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
184	178, 179, 182, 183	clim2ser 14385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N - 1 ) e. NN -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
185	184	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq ( ( N - 1 ) + 1 ) ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
186	177, 185	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) )
187	159	releldmi 5362	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( seq N ( + , F ) ~~> ( 1 - ( seq 1 ( + , F ) ` ( N - 1 ) ) ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
188	186, 187	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ ( N - 1 ) e. NN ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
189	164, 171, 188	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ -. N = 1 ) -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
190	163, 189	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> seq N ( + , F ) e. dom ~~> )
191	125, 59, 145, 156, 190	isumrecl 14496	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. RR )
192	126	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> j e. RR+ )
193	192	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ j )
194	146, 193	ge0p1rpd 11902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j + 1 ) e. RR+ )
195	192, 194	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. RR+ )
196	123	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ 1 )
197	147, 195, 196	divge0d 11912	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( ZZ>= ` N ) ) -> 0 <_ ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
198	125, 59, 145, 156, 190, 197	isumge0 14497	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> 0 <_ sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
199	120, 191, 115, 198	leadd2dd 10642	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) <_ ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
200	115	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
201	200	addid1d 10236	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
202	201	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + 0 ) )
203		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. NN )
204	144	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
205	138	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j e. CC )
206		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> 1 e. CC )
207	205, 206	addcld 10059	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) e. CC )
208	205, 207	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) e. CC )
209	141	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> j =/= 0 )
210	103	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j + 1 ) =/= 0 )
211	205, 207, 209, 210	mulne0d 10679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( j x. ( j + 1 ) ) =/= 0 )
212	208, 211	reccld 10794	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. NN /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
213	158, 160	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> seq 1 ( + , F ) e. dom ~~> )
214	178, 125, 203, 204, 212, 213	isumsplit 14572	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) + sum_ j e. ( ZZ>= ` N ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
215	199, 202, 214	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
216		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> 1 e. ZZ )
217	144	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( F ` j ) = ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) )
218	180	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ j e. NN ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
219	158	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> seq 1 ( + , F ) ~~> 1 )
220	178, 216, 217, 218, 219	isumclim 14488	. . . . . . . 8 |- ( T. -> sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1 )
221	220	trud 1493	. . . . . . 7 |- sum_ j e. NN ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) = 1
222	215, 221	syl6breq 4694	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) <_ 1 )
223	115, 116, 32, 124, 222	lemul2ad 10964	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) )
224		4cn 11098	. . . . . . . 8 |- 4 e. CC
225	224	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 e. CC )
226	117	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> 0 < 4 )
227	226	gt0ne0d 10592	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> 4 =/= 0 )
228	225, 227	reccld 10794	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( 1 / 4 ) e. CC )
229	107	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN /\ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) -> ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) e. CC )
230	64, 228, 229	fsummulc2 14516	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) = sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) )
231	228	mulid1d 10057	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( 1 / 4 ) x. 1 ) = ( 1 / 4 ) )
232	223, 230, 231	3brtr3d 4684	. . . 4 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( 1 / 4 ) x. ( 1 / ( j x. ( j + 1 ) ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
233	93, 109, 32, 114, 232	letrd 10194	. . 3 |- ( N e. NN -> sum_ j e. ( 1 ... ( N - 1 ) ) ( ( B ` j ) - ( B ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
234	63, 233	eqbrtrd 4675	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( B ` N ) ) <_ ( 1 / 4 ) )
235	18, 28, 32, 234	subled 10630	1 |- ( N e. NN -> ( ( B ` 1 ) - ( 1 / 4 ) ) <_ ( B ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   4c4 11072   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   seqcseq 12801   ^cexp 12860   !cfa 13060   sqrcsqrt 13973   ~~> cli 14215   sum_csu 14416   _eceu 14793   logclog 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-ulm 24131  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  stirlinglem13  40303