Theorem dchrvmasumiflem1 25190

Description: Lemma for dchrvmasumif 25192. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	|- Z = (ℤ/nℤ ` N )
rpvmasum.l	|- L = ( ZRHom ` Z )
rpvmasum.a	|- ( ph -> N e. NN )
rpvmasum.g	|- G = (DChr ` N )
rpvmasum.d	|- D = ( Base ` G )
rpvmasum.1	|- .1. = ( 0g ` G )
dchrisum.b	|- ( ph -> X e. D )
dchrisum.n1	|- ( ph -> X =/= .1. )
dchrvmasumif.f	|- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
dchrvmasumif.c	|- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasumif.s	|- ( ph -> seq 1 ( + , F ) ~~> S )
dchrvmasumif.1	|- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) )
dchrvmasumif.g	|- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( ( log ` a ) / a ) ) )
dchrvmasumif.e	|- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
dchrvmasumif.t	|- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
dchrvmasumif.2	|- ( ph -> A. y e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` y ) / y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
dchrvmasumiflem1	|- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) ) e. O(1) )

Distinct variable groups:   x, k, y, .1.   x, d, y, C   k, d, F, x, y   a, d, k, x, y   E, d, x, y   k, K, y   k, N, x, y   ph, d, k, x   T, d, x, y   S, d, k, x, y   k, Z, x, y   D, k, x, y   L, a, d, k, x, y   X, a, d, k, x, y

Allowed substitution hints:   ph( y, a)   C( k, a)   D( a, d)   S( a)   T( k, a)   .1. ( a, d)   E( k, a)   F( a)   G( x, y, k, a, d)   K( x, a, d)   N( a, d)   Z( a, d)

Proof of Theorem dchrvmasumiflem1

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpvmasum.z	. 2 |- Z = (ℤ/nℤ ` N )
2		rpvmasum.l	. 2 |- L = ( ZRHom ` Z )
3		rpvmasum.a	. 2 |- ( ph -> N e. NN )
4		rpvmasum.g	. 2 |- G = (DChr ` N )
5		rpvmasum.d	. 2 |- D = ( Base ` G )
6		rpvmasum.1	. 2 |- .1. = ( 0g ` G )
7		dchrisum.b	. 2 |- ( ph -> X e. D )
8		dchrisum.n1	. 2 |- ( ph -> X =/= .1. )
9		fzfid 12772	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( 1 ... ( |_ ` m ) ) e. Fin )
10		simpl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ph )
11		elfznn 12370	. . . . 5 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) -> k e. NN )
12	7	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> X e. D )
13		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. ZZ )
15	4, 1, 5, 2, 12, 14	dchrzrhcl 24970	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
16	10, 11, 15	syl2an 494	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
17		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> m e. RR+ )
18	11	nnrpd 11870	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) -> k e. RR+ )
19		ifcl 4130	. . . . . . . 8 |- ( ( m e. RR+ /\ k e. RR+ ) -> if ( S = 0 , m , k ) e. RR+ )
20	17, 18, 19	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> if ( S = 0 , m , k ) e. RR+ )
21	20	relogcld 24369	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) e. RR )
22	11	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> k e. NN )
23	21, 22	nndivred 11069	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) e. CC )
25	16, 24	mulcld 10060	. . 3 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
26	9, 25	fsumcl 14464	. 2 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
27		fveq2 6191	. . . 4 |- ( m = ( x / d ) -> ( |_ ` m ) = ( |_ ` ( x / d ) ) )
28	27	oveq2d 6666	. . 3 |- ( m = ( x / d ) -> ( 1 ... ( |_ ` m ) ) = ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) )
29		ifeq1 4090	. . . . . . 7 |- ( m = ( x / d ) -> if ( S = 0 , m , k ) = if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) )
30	29	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( m = ( x / d ) -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) = ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) )
31	30	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) = ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) )
32	31	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( m = ( x / d ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) ) )
33	32	adantr 481	. . 3 |- ( ( m = ( x / d ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) ) )
34	28, 33	sumeq12rdv 14438	. 2 |- ( m = ( x / d ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) ) )
35		dchrvmasumif.c	. . 3 |- ( ph -> C e. ( 0 [,) +oo ) )
36		dchrvmasumif.e	. . 3 |- ( ph -> E e. ( 0 [,) +oo ) )
37	35, 36	ifcld 4131	. 2 |- ( ph -> if ( S = 0 , C , E ) e. ( 0 [,) +oo ) )
38		0cn 10032	. . 3 |- 0 e. CC
39		dchrvmasumif.t	. . . 4 |- ( ph -> seq 1 ( + , K ) ~~> T )
40		climcl 14230	. . . 4 |- ( seq 1 ( + , K ) ~~> T -> T e. CC )
41	39, 40	syl 17	. . 3 |- ( ph -> T e. CC )
42		ifcl 4130	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ T e. CC ) -> if ( S = 0 , 0 , T ) e. CC )
43	38, 41, 42	sylancr 695	. 2 |- ( ph -> if ( S = 0 , 0 , T ) e. CC )
44		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
45		1zzd 11408	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
46		nncn 11028	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. CC )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. CC )
48		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k =/= 0 )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k =/= 0 )
50	15, 47, 49	divcld 10801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) e. CC )
51		dchrvmasumif.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = k -> ( L ` a ) = ( L ` k ) )
53	52	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> ( X ` ( L ` a ) ) = ( X ` ( L ` k ) ) )
54		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( a = k -> a = k )
55	53, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = k -> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
56	55	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) / a ) ) = ( k e. NN |-> ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
57	51, 56	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- F = ( k e. NN |-> ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
58	50, 57	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F : NN --> CC )
59		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
60	58, 59	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. CC )
61	44, 45, 60	serf 12829	. . . . . . . 8 |- ( ph -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
62	61	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
63		3re 11094	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR
64		elicopnf 12269	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. RR -> ( m e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ 3 <_ m ) ) )
65	63, 64	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( m e. ( 3 [,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ 3 <_ m ) ) )
66	65	simprbda 653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> m e. RR )
67		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 1 e. RR )
68	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 3 e. RR )
69		1le3 11244	. . . . . . . . . . 11 |- 1 <_ 3
70	69	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 1 <_ 3 )
71	65	simplbda 654	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 3 <_ m )
72	67, 68, 66, 70, 71	letrd 10194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 1 <_ m )
73		flge1nn 12622	. . . . . . . . 9 |- ( ( m e. RR /\ 1 <_ m ) -> ( |_ ` m ) e. NN )
74	66, 72, 73	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` m ) e. NN )
75	74	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( |_ ` m ) e. NN )
76	62, 75	ffvelrnd 6360	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) e. CC )
77	76	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) e. RR )
78		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ph )
79		0red 10041	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 0 e. RR )
80		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 3
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 0 < 3 )
82	79, 68, 66, 81, 71	ltletrd 10197	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 0 < m )
83	66, 82	elrpd 11869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> m e. RR+ )
84	78, 83	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( ph /\ m e. RR+ ) )
85		elrege0 12278	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( C e. RR /\ 0 <_ C ) )
86	85	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( C e. ( 0 [,) +oo ) -> C e. RR )
87	35, 86	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. RR )
88		rerpdivcl 11861	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. RR /\ m e. RR+ ) -> ( C / m ) e. RR )
89	87, 88	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( C / m ) e. RR )
90	84, 89	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( C / m ) e. RR )
91	90	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( C / m ) e. RR )
92	83	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( log ` m ) e. RR )
93	66, 72	logge0d 24376	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> 0 <_ ( log ` m ) )
94	92, 93	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( ( log ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` m ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( ( log ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` m ) ) )
96		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( S = 0 -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - 0 ) )
97	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> seq 1 ( + , F ) : NN --> CC )
98	97, 74	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) e. CC )
99	98	subid1d 10381	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - 0 ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) )
100	96, 99	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) )
101	100	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) = ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) )
102		1re 10039	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
103		elicopnf 12269	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. RR -> ( m e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m ) ) )
104	102, 103	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 [,) +oo ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m ) )
105	66, 72, 104	sylanbrc 698	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> m e. ( 1 [,) +oo ) )
106		dchrvmasumif.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) )
108		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = m -> ( |_ ` y ) = ( |_ ` m ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = m -> ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) )
110	109	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = m -> ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) = ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) )
111	110	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) )
112		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> ( C / y ) = ( C / m ) )
113	111, 112	breq12d 4666	. . . . . . . . 9 |- ( y = m -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) <_ ( C / m ) ) )
114	113	rspcv 3305	. . . . . . . 8 |- ( m e. ( 1 [,) +oo ) -> ( A. y e. ( 1 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` y ) ) - S ) ) <_ ( C / y ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) <_ ( C / m ) ) )
115	105, 107, 114	sylc 65	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) <_ ( C / m ) )
116	115	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) - S ) ) <_ ( C / m ) )
117	101, 116	eqbrtrrd 4677	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) <_ ( C / m ) )
118		lemul2a 10878	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) e. RR /\ ( C / m ) e. RR /\ ( ( log ` m ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` m ) ) ) /\ ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) <_ ( C / m ) ) -> ( ( log ` m ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) <_ ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
119	77, 91, 95, 117, 118	syl31anc 1329	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( ( log ` m ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) <_ ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
120		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( S = 0 -> if ( S = 0 , m , k ) = m )
121	120	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( S = 0 -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) = ( log ` m ) )
122	121	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S = 0 -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) = ( ( log ` m ) / k ) )
123	122	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) = ( ( log ` m ) / k ) )
124	123	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` m ) / k ) ) )
125	16	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
126		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. RR+ -> ( log ` m ) e. RR )
127	126	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( log ` m ) e. RR )
128	127	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( log ` m ) e. CC )
129	128	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( log ` m ) e. CC )
130	11	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> k e. NN )
131	130	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> k e. CC )
132	130	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> k =/= 0 )
133	125, 129, 131, 132	div12d 10837	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` m ) / k ) ) = ( ( log ` m ) x. ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
134	124, 133	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( log ` m ) x. ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
135	134	sumeq2dv 14433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( log ` m ) x. ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
136		iftrue 4092	. . . . . . . . . . 11 |- ( S = 0 -> if ( S = 0 , 0 , T ) = 0 )
137	136	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( S = 0 -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - 0 ) )
138	26	subid1d 10381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - 0 ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) )
139	137, 138	sylan9eqr 2678	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) )
140		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) e. _V
141	55, 51, 140	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( F ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
142	22, 141	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
143	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> F : NN --> CC )
144	143, 11, 59	syl2an 494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( F ` k ) e. CC )
145	142, 144	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) e. CC )
146	9, 128, 145	fsummulc2 14516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( ( log ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( log ` m ) x. ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
147	146	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( ( log ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) = sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( log ` m ) x. ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
148	135, 139, 147	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = ( ( log ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
149	84, 148	sylan 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = ( ( log ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) )
150	84, 142	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( F ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) )
151	74, 44	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( |_ ` m ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
152	78, 11, 50	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) e. CC )
153	150, 151, 152	fsumser 14461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) )
154	153	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) = ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) )
155	154	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( ( log ` m ) x. sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) / k ) ) = ( ( log ` m ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) )
156	149, 155	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = ( ( log ` m ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) )
157	156	fveq2d 6195	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) = ( abs ` ( ( log ` m ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) )
158	126	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( log ` m ) e. RR )
159	158	recnd 10068	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( log ` m ) e. CC )
160	84, 159	sylan 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( log ` m ) e. CC )
161	160, 76	absmuld 14193	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( ( log ` m ) x. ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) = ( ( abs ` ( log ` m ) ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) )
162	92, 93	absidd 14161	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( log ` m ) ) = ( log ` m ) )
163	162	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( ( abs ` ( log ` m ) ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) = ( ( log ` m ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) )
164	163	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( ( abs ` ( log ` m ) ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) = ( ( log ` m ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) )
165	157, 161, 164	3eqtrd 2660	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) = ( ( log ` m ) x. ( abs ` ( seq 1 ( + , F ) ` ( |_ ` m ) ) ) ) )
166		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( S = 0 -> if ( S = 0 , C , E ) = C )
167	166	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> if ( S = 0 , C , E ) = C )
168	167	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
169	87	recnd 10068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. CC )
170	169	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> C e. CC )
171		rpcnne0 11850	. . . . . . . 8 |- ( m e. RR+ -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
172	171	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( m e. CC /\ m =/= 0 ) )
173		div12 10707	. . . . . . 7 |- ( ( C e. CC /\ ( log ` m ) e. CC /\ ( m e. CC /\ m =/= 0 ) ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
174	170, 159, 172, 173	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( C x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
175	168, 174	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ S = 0 ) -> ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
176	84, 175	sylan 488	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( ( log ` m ) x. ( C / m ) ) )
177	119, 165, 176	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S = 0 ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
178		dchrvmasumif.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` y ) / y ) ) )
179	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) )
180	179	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( y = m -> ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) )
181	180	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( y = m -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) )
182		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> ( log ` y ) = ( log ` m ) )
183		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( y = m -> y = m )
184	182, 183	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( y = m -> ( ( log ` y ) / y ) = ( ( log ` m ) / m ) )
185	184	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( y = m -> ( E x. ( ( log ` y ) / y ) ) = ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
186	181, 185	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( y = m -> ( ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` y ) / y ) ) <-> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) ) )
187	186	rspccva 3308	. . . . . 6 |- ( ( A. y e. ( 3 [,) +oo ) ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` y ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` y ) / y ) ) /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
188	178, 187	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
189	188	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) <_ ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
190		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = k -> ( log ` a ) = ( log ` k ) )
191	190, 54	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = k -> ( ( log ` a ) / a ) = ( ( log ` k ) / k ) )
192	53, 191	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( a = k -> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( ( log ` a ) / a ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
193		dchrvmasumif.g	. . . . . . . . . 10 |- K = ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( ( log ` a ) / a ) ) )
194		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) e. _V
195	192, 193, 194	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( k e. NN -> ( K ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
196	11, 195	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) -> ( K ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
197		ifnefalse 4098	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S =/= 0 -> if ( S = 0 , m , k ) = k )
198	197	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S =/= 0 -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) = ( log ` k ) )
199	198	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 |- ( S =/= 0 -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) = ( ( log ` k ) / k ) )
200	199	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( S =/= 0 -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
201	200	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
202	201	eqcomd 2628	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) )
203	196, 202	sylan9eqr 2678	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( K ` k ) = ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) )
204	151	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( |_ ` m ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
205		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. RR+ )
206	205	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR+ )
207	206	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. RR )
208	207	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( log ` k ) e. CC )
209	208, 47, 49	divcld 10801	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( log ` k ) / k ) e. CC )
210	15, 209	mulcld 10060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) e. CC )
211	192	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. NN |-> ( ( X ` ( L ` a ) ) x. ( ( log ` a ) / a ) ) ) = ( k e. NN |-> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
212	193, 211	eqtri 2644	. . . . . . . . . . 11 |- K = ( k e. NN |-> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` k ) / k ) ) )
213	210, 212	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K : NN --> CC )
214	213	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> K : NN --> CC )
215		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( K : NN --> CC /\ k e. NN ) -> ( K ` k ) e. CC )
216	214, 11, 215	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( K ` k ) e. CC )
217	203, 216	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
218	203, 204, 217	fsumser 14461	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) )
219		ifnefalse 4098	. . . . . . 7 |- ( S =/= 0 -> if ( S = 0 , 0 , T ) = T )
220	219	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> if ( S = 0 , 0 , T ) = T )
221	218, 220	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) = ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) )
222	221	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) = ( abs ` ( ( seq 1 ( + , K ) ` ( |_ ` m ) ) - T ) ) )
223		ifnefalse 4098	. . . . . 6 |- ( S =/= 0 -> if ( S = 0 , C , E ) = E )
224	223	adantl 482	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> if ( S = 0 , C , E ) = E )
225	224	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) = ( E x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
226	189, 222, 225	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) /\ S =/= 0 ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
227	177, 226	pm2.61dane 2881	. 2 |- ( ( ph /\ m e. ( 3 [,) +oo ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( if ( S = 0 , C , E ) x. ( ( log ` m ) / m ) ) )
228		fzfid 12772	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 ... 2 ) e. Fin )
229	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> X e. D )
230		elfzelz 12342	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 1 ... 2 ) -> k e. ZZ )
231	230	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k e. ZZ )
232	4, 1, 5, 2, 229, 231	dchrzrhcl 24970	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
233	232	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) e. RR )
234	63, 80	elrpii 11835	. . . . . . 7 |- 3 e. RR+
235		relogcl 24322	. . . . . . 7 |- ( 3 e. RR+ -> ( log ` 3 ) e. RR )
236	234, 235	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( log ` 3 ) e. RR
237		elfznn 12370	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 1 ... 2 ) -> k e. NN )
238	237	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k e. NN )
239		nndivre 11056	. . . . . 6 |- ( ( ( log ` 3 ) e. RR /\ k e. NN ) -> ( ( log ` 3 ) / k ) e. RR )
240	236, 238, 239	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` 3 ) / k ) e. RR )
241	233, 240	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) e. RR )
242	228, 241	fsumrecl 14465	. . 3 |- ( ph -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) e. RR )
243	43	abscld 14175	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) e. RR )
244	242, 243	readdcld 10069	. 2 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) e. RR )
245		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ph )
246	63	rexri 10097	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR*
247		elico2 12237	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ 3 e. RR* ) -> ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) ) )
248	102, 246, 247	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) <-> ( m e. RR /\ 1 <_ m /\ m < 3 ) )
249	248	simp1bi 1076	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m e. RR )
250	249	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> m e. RR )
251		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 e. RR )
252		1red 10055	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 1 e. RR )
253		0lt1 10550	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 1
254	253	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 < 1 )
255	248	simp2bi 1077	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> 1 <_ m )
256	255	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 1 <_ m )
257	251, 252, 250, 254, 256	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 0 < m )
258	250, 257	elrpd 11869	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> m e. RR+ )
259	245, 258	jca 554	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( ph /\ m e. RR+ ) )
260	43	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> if ( S = 0 , 0 , T ) e. CC )
261	26, 260	subcld 10392	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) e. CC )
262	259, 261	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) e. CC )
263	262	abscld 14175	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) e. RR )
264	259, 26	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
265	264	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
266	243	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) e. RR )
267	265, 266	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) e. RR )
268	242	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) e. RR )
269	268, 266	readdcld 10069	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) e. RR )
270	26, 260	abs2dif2d 14197	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) )
271	259, 270	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) )
272	25	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
273	9, 272	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
274	259, 273	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
275	9, 25	fsumabs 14533	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
276	259, 275	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
277		fzfid 12772	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( 1 ... 2 ) e. Fin )
278	232	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( X ` ( L ` k ) ) e. CC )
279	17	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> m e. RR+ )
280	237	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k e. NN )
281	280	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k e. RR+ )
282	279, 281	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> if ( S = 0 , m , k ) e. RR+ )
283	282	relogcld 24369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) e. RR )
284	283, 280	nndivred 11069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) e. RR )
285	284	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) e. CC )
286	278, 285	mulcld 10060	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
287	286	abscld 14175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
288	277, 287	fsumrecl 14465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
289	259, 288	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
290		fzfid 12772	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( 1 ... 2 ) e. Fin )
291	259, 286	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. CC )
292	291	abscld 14175	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
293	291	absge0d 14183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
294	250	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( |_ ` m ) e. ZZ )
295		2z 11409	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. ZZ
296	295	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 2 e. ZZ )
297	248	simp3bi 1078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ( 1 [,) 3 ) -> m < 3 )
298	297	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> m < 3 )
299		3z 11410	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 3 e. ZZ
300		fllt 12607	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( m e. RR /\ 3 e. ZZ ) -> ( m < 3 <-> ( |_ ` m ) < 3 ) )
301	250, 299, 300	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( m < 3 <-> ( |_ ` m ) < 3 ) )
302	298, 301	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( |_ ` m ) < 3 )
303		df-3 11080	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 = ( 2 + 1 )
304	302, 303	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( |_ ` m ) < ( 2 + 1 ) )
305		rpre 11839	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m e. RR+ -> m e. RR )
306	305	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> m e. RR )
307	306	flcld 12599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( |_ ` m ) e. ZZ )
308		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( |_ ` m ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` m ) <_ 2 <-> ( |_ ` m ) < ( 2 + 1 ) ) )
309	307, 295, 308	sylancl 694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( ( |_ ` m ) <_ 2 <-> ( |_ ` m ) < ( 2 + 1 ) ) )
310	259, 309	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( ( |_ ` m ) <_ 2 <-> ( |_ ` m ) < ( 2 + 1 ) ) )
311	304, 310	mpbird 247	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( |_ ` m ) <_ 2 )
312		eluz2 11693	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` m ) ) <-> ( ( |_ ` m ) e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ ( |_ ` m ) <_ 2 ) )
313	294, 296, 311, 312	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` m ) ) )
314		fzss2 12381	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` ( |_ ` m ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` m ) ) C_ ( 1 ... 2 ) )
315	313, 314	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( 1 ... ( |_ ` m ) ) C_ ( 1 ... 2 ) )
316	290, 292, 293, 315	fsumless 14528	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
317	241	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) e. RR )
318	278, 285	absmuld 14193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
319	259, 318	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) = ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) )
320	259, 284	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) e. RR )
321	259, 283	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) e. RR )
322		log1 24332	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 1 ) = 0
323		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( 1 ... 2 ) -> 1 <_ k )
324		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = if ( S = 0 , m , k ) -> ( 1 <_ m <-> 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) ) )
325		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = if ( S = 0 , m , k ) -> ( 1 <_ k <-> 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) ) )
326	324, 325	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 <_ m /\ 1 <_ k ) -> 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) )
327	256, 323, 326	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) )
328		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR+
329		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR+ /\ if ( S = 0 , m , k ) e. RR+ ) -> ( 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) ) )
330	328, 282, 329	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) ) )
331	259, 330	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( 1 <_ if ( S = 0 , m , k ) <-> ( log ` 1 ) <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) ) )
332	327, 331	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` 1 ) <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) )
333	322, 332	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) )
334	281	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( k e. RR /\ 0 < k ) )
335	259, 334	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( k e. RR /\ 0 < k ) )
336		divge0 10892	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) e. RR /\ 0 <_ ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) ) /\ ( k e. RR /\ 0 < k ) ) -> 0 <_ ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) )
337	321, 333, 335, 336	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) )
338	320, 337	absidd 14161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) = ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) )
339	338, 320	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. RR )
340	240	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` 3 ) / k ) e. RR )
341	233	adantlr 751	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) e. RR )
342	278	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) )
343	341, 342	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) ) )
344	259, 343	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) ) )
345	297	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> m < 3 )
346	280	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k e. RR )
347		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
348	347	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 2 e. RR )
349	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 3 e. RR )
350		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... 2 ) -> k <_ 2 )
351	350	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k <_ 2 )
352		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 < 3
353	352	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> 2 < 3 )
354	346, 348, 349, 351, 353	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k < 3 )
355	259, 354	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> k < 3 )
356		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = if ( S = 0 , m , k ) -> ( m < 3 <-> if ( S = 0 , m , k ) < 3 ) )
357		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = if ( S = 0 , m , k ) -> ( k < 3 <-> if ( S = 0 , m , k ) < 3 ) )
358	356, 357	ifboth 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( m < 3 /\ k < 3 ) -> if ( S = 0 , m , k ) < 3 )
359	345, 355, 358	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> if ( S = 0 , m , k ) < 3 )
360	282	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> if ( S = 0 , m , k ) e. RR )
361		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( if ( S = 0 , m , k ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) < 3 -> if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 ) )
362	360, 63, 361	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) < 3 -> if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 ) )
363	259, 362	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) < 3 -> if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 ) )
364	359, 363	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 )
365		logleb 24349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( if ( S = 0 , m , k ) e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 <-> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) ) )
366	282, 234, 365	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 <-> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) ) )
367	259, 366	sylan 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( if ( S = 0 , m , k ) <_ 3 <-> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) ) )
368	364, 367	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) )
369	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( log ` 3 ) e. RR )
370	283, 369, 281	lediv1d 11918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. RR+ ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) <-> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) <_ ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
371	259, 370	sylan 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) <_ ( log ` 3 ) <-> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) <_ ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
372	368, 371	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) <_ ( ( log ` 3 ) / k ) )
373	338, 372	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / k ) )
374		lemul2a 10878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) e. RR /\ ( ( log ` 3 ) / k ) e. RR /\ ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) ) ) /\ ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) <_ ( ( log ` 3 ) / k ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
375	339, 340, 344, 373, 374	syl31anc 1329	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( abs ` ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
376	319, 375	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) /\ k e. ( 1 ... 2 ) ) -> ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
377	290, 292, 317, 376	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
378	274, 289, 268, 316, 377	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( abs ` ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
379	265, 274, 268, 276, 378	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) )
380	26	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) e. RR )
381	242	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) e. RR )
382	260	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) e. RR )
383	380, 381, 382	leadd1d 10621	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. RR+ ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) ) )
384	259, 383	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) <_ sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) <-> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) ) )
385	379, 384	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( ( abs ` sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) )
386	263, 267, 269, 271, 385	letrd 10194	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. ( 1 [,) 3 ) ) -> ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) )
387	386	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. m e. ( 1 [,) 3 ) ( abs ` ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` m ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , m , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) <_ ( sum_ k e. ( 1 ... 2 ) ( ( abs ` ( X ` ( L ` k ) ) ) x. ( ( log ` 3 ) / k ) ) + ( abs ` if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) )
388	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 26, 34, 37, 43, 227, 244, 387	dchrvmasumlem3 25188	1 |- ( ph -> ( x e. RR+ |-> sum_ d e. ( 1 ... ( |_ ` x ) ) ( ( ( X ` ( L ` d ) ) x. ( ( mmu ` d ) / d ) ) x. ( sum_ k e. ( 1 ... ( |_ ` ( x / d ) ) ) ( ( X ` ( L ` k ) ) x. ( ( log ` if ( S = 0 , ( x / d ) , k ) ) / k ) ) - if ( S = 0 , 0 , T ) ) ) ) e. O(1) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   C_ wss 3574   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   [,)cico 12177   ...cfz 12326   |_cfl 12591   seqcseq 12801   abscabs 13974   ~~> cli 14215   O(1)co1 14217   sum_csu 14416   Basecbs 15857   0gc0g 16100   ZRHomczrh 19848  ℤ/nℤczn 19851   logclog 24301   mmucmu 24821  DChrcdchr 24957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-ec 7744  df-qs 7748  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-o1 14221  df-lo1 14222  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-prm 15386  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-qus 16169  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-nsg 17592  df-eqg 17593  df-ghm 17658  df-cntz 17750  df-od 17948  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-dvr 18683  df-rnghom 18715  df-drng 18749  df-subrg 18778  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-lidl 19174  df-rsp 19175  df-2idl 19232  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-zring 19819  df-zrh 19852  df-zn 19855  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304  df-em 24719  df-mu 24827  df-dchr 24958

This theorem is referenced by:  dchrvmasumiflem2  25191