Theorem aaliou3lem2 24098

Description: Lemma for aaliou3 24106. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
aaliou3lem.a	|- G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
aaliou3lem.b	|- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )

Assertion

Ref	Expression
aaliou3lem2	|- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   F, c   A, a, c   B, a, c   G, a

Allowed substitution hints:   F( a)   G( c)

Proof of Theorem aaliou3lem2

Dummy variables b d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluznn 11758	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> B e. NN )
2		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( a = B -> ( ! ` a ) = ( ! ` B ) )
3	2	negeqd 10275	. . . . . . 7 |- ( a = B -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` B ) )
4	3	oveq2d 6666	. . . . . 6 |- ( a = B -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
5		aaliou3lem.b	. . . . . 6 |- F = ( a e. NN |-> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) )
6		ovex 6678	. . . . . 6 |- ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. _V
7	4, 5, 6	fvmpt 6282	. . . . 5 |- ( B e. NN -> ( F ` B ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
8	1, 7	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) = ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) )
9		2rp 11837	. . . . 5 |- 2 e. RR+
10	1	nnnn0d 11351	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> B e. NN0 )
11		faccl 13070	. . . . . . . 8 |- ( B e. NN0 -> ( ! ` B ) e. NN )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` B ) e. NN )
13	12	nnzd 11481	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` B ) e. ZZ )
14	13	znegcld 11484	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` B ) e. ZZ )
15		rpexpcl 12879	. . . . 5 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` B ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. RR+ )
16	9, 14, 15	sylancr 695	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` B ) ) e. RR+ )
17	8, 16	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. RR+ )
18	17	rpred 11872	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. RR )
19	17	rpgt0d 11875	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 < ( F ` B ) )
20		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = A -> ( F ` b ) = ( F ` A ) )
21		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = A -> ( G ` b ) = ( G ` A ) )
22	20, 21	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( b = A -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) )
23	22	imbi2d 330	. . . 4 |- ( b = A -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) ) )
24		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
25		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = d -> ( G ` b ) = ( G ` d ) )
26	24, 25	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( b = d -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) )
27	26	imbi2d 330	. . . 4 |- ( b = d -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) ) )
28		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( F ` b ) = ( F ` ( d + 1 ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( G ` b ) = ( G ` ( d + 1 ) ) )
30	28, 29	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) )
31	30	imbi2d 330	. . . 4 |- ( b = ( d + 1 ) -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
32		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( F ` b ) = ( F ` B ) )
33		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( G ` b ) = ( G ` B ) )
34	32, 33	breq12d 4666	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( F ` b ) <_ ( G ` b ) <-> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) )
35	34	imbi2d 330	. . . 4 |- ( b = B -> ( ( A e. NN -> ( F ` b ) <_ ( G ` b ) ) <-> ( A e. NN -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
36		nnnn0 11299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN -> A e. NN0 )
37		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. NN0 -> ( ! ` A ) e. NN )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. NN )
39	38	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( ! ` A ) e. ZZ )
40	39	znegcld 11484	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> -u ( ! ` A ) e. ZZ )
41		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` A ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
42	9, 40, 41	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
43	42	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR )
44	43	leidd 10594	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) <_ ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
45		nncn 11028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. NN -> A e. CC )
46	45	subidd 10380	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> ( A - A ) = 0 )
47	46	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) )
48		halfcn 11247	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / 2 ) e. CC
49		exp0 12864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 / 2 ) e. CC -> ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1 )
50	48, 49	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1 / 2 ) ^ 0 ) = 1
51	47, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) = 1 )
52	51	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 1 ) )
53	42	rpcnd 11874	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC )
54	53	mulid1d 10057	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. 1 ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
55	52, 54	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
56	44, 55	breqtrrd 4681	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
57		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( a = A -> ( ! ` a ) = ( ! ` A ) )
58	57	negeqd 10275	. . . . . . . 8 |- ( a = A -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` A ) )
59	58	oveq2d 6666	. . . . . . 7 |- ( a = A -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
60		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. _V
61	59, 5, 60	fvmpt 6282	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) = ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) )
62		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
63		uzid 11702	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. ( ZZ>= ` A ) )
64		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( c = A -> ( c - A ) = ( A - A ) )
65	64	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( c = A -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) )
66	65	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( c = A -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
67		aaliou3lem.a	. . . . . . . 8 |- G = ( c e. ( ZZ>= ` A ) |-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) )
68		ovex 6678	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) e. _V
69	66, 67, 68	fvmpt 6282	. . . . . . 7 |- ( A e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` A ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
70	62, 63, 69	3syl 18	. . . . . 6 |- ( A e. NN -> ( G ` A ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( A - A ) ) ) )
71	56, 61, 70	3brtr4d 4685	. . . . 5 |- ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) )
72	71	a1i 11	. . . 4 |- ( A e. ZZ -> ( A e. NN -> ( F ` A ) <_ ( G ` A ) ) )
73		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. NN )
74	73	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. NN0 )
75		faccl 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( d e. NN0 -> ( ! ` d ) e. NN )
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. NN )
77	76	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. ZZ )
78	77	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` d ) e. ZZ )
79		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR+ /\ -u ( ! ` d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR+ )
80	9, 78, 79	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR+ )
81	80	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR )
82	80	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
83		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. NN )
84	83	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. NN0 )
85	84, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` A ) e. NN )
86	85	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` A ) e. ZZ )
87	86	znegcld 11484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` A ) e. ZZ )
88	9, 87, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. RR+ )
89		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 / 2 ) e. RR
90		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 < ( 1 / 2 )
91	89, 90	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
92		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> d e. ZZ )
93		zsubcl 11419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( d e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( d - A ) e. ZZ )
94	92, 62, 93	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d - A ) e. ZZ )
95		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR+ /\ ( d - A ) e. ZZ ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. RR+ )
96	91, 94, 95	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. RR+ )
97	88, 96	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR+ )
98	97	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR )
99	81, 82, 98	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) )
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) )
101	92	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. ZZ )
102	78, 101	zmulcld 11488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ )
103		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR+ )
104	9, 102, 103	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR+ )
105	104	rpred 11872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR )
106	104	rpge0d 11876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
107	89	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 / 2 ) e. RR )
108	105, 106, 107	jca31 557	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
109	108	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) )
110		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
111	76	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` d ) e. CC )
112	101	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> d e. CC )
113	111, 112	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) = -u ( ( ! ` d ) x. d ) )
114	76, 73	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ! ` d ) x. d ) e. NN )
115	114	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) )
116		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. RR
117	114	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ! ` d ) x. d ) e. RR )
118		leneg 10531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( ! ` d ) x. d ) e. RR ) -> ( 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) <-> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
119	116, 117, 118	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 <_ ( ( ! ` d ) x. d ) <-> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
120	115, 119	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 )
121	113, 120	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 )
122		neg1z 11413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u 1 e. ZZ
123		eluz 11701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ /\ -u 1 e. ZZ ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <-> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
124	102, 122, 123	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <-> ( -u ( ! ` d ) x. d ) <_ -u 1 ) )
125	121, 124	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
126		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
127		1le2 11241	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 <_ 2
128		leexp2a 12916	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
129	126, 127, 128	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u 1 e. ( ZZ>= ` ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
130	125, 129	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 2 ^ -u 1 ) )
131		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
132		expn1 12870	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 e. CC -> ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 ) )
133	131, 132	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ -u 1 ) = ( 1 / 2 )
134	130, 133	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) )
136		lemul12a 10881	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) /\ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
137	136	3impia 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. RR ) /\ ( ( ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) /\ ( 1 / 2 ) e. RR ) /\ ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) /\ ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) <_ ( 1 / 2 ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
138	100, 109, 110, 135, 137	syl112anc 1330	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) /\ ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
139	138	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
140		facp1 13065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. NN0 -> ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
141	74, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
142	141	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` ( d + 1 ) ) = -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
143		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
144		addcom 10222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( d e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( d + 1 ) = ( 1 + d ) )
145	112, 143, 144	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) = ( 1 + d ) )
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) )
147		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( d e. CC -> ( d + 1 ) e. CC )
148	112, 147	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) e. CC )
149	111, 148	mulneg1d 10483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) )
150	78	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` d ) e. CC )
151		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151, 112	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) = ( ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
153	150	mulid1d 10057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) = -u ( ! ` d ) )
154	153	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( -u ( ! ` d ) x. 1 ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
155	152, 154	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( -u ( ! ` d ) x. ( 1 + d ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
156	146, 149, 155	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ( ! ` d ) x. ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
157	142, 156	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> -u ( ! ` ( d + 1 ) ) = ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
159		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
160		expaddz 12904	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( -u ( ! ` d ) e. ZZ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
161	159, 160	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u ( ! ` d ) e. ZZ /\ ( -u ( ! ` d ) x. d ) e. ZZ ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
162	78, 102, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) + ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
163	158, 162	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) )
164	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> A e. CC )
165	112, 151, 164	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( d + 1 ) - A ) = ( ( d - A ) + 1 ) )
166	165	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) )
167		uznn0sub 11719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( d - A ) e. NN0 )
168	167	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d - A ) e. NN0 )
169		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( d - A ) e. NN0 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
170	48, 168, 169	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d - A ) + 1 ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
171	166, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) = ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
172	171	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
173	88	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) e. CC )
174	96	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) e. CC )
175	48	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( 1 / 2 ) e. CC )
176	173, 174, 175	mulassd 10063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
177	172, 176	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) = ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
178	163, 177	breq12d 4666	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) <-> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) x. ( 2 ^ ( -u ( ! ` d ) x. d ) ) ) <_ ( ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) x. ( 1 / 2 ) ) ) )
179	139, 178	sylibrd 249	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) ) )
180		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = d -> ( ! ` a ) = ( ! ` d ) )
181	180	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = d -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` d ) )
182	181	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = d -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
183		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) e. _V
184	182, 5, 183	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( d e. NN -> ( F ` d ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
185	73, 184	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` d ) = ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) )
186		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = d -> ( c - A ) = ( d - A ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = d -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) )
188	187	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( c = d -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
189		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) e. _V
190	188, 67, 189	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` d ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
191	190	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` d ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) )
192	185, 191	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) <-> ( 2 ^ -u ( ! ` d ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( d - A ) ) ) ) )
193	73	peano2nnd 11037	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( d + 1 ) e. NN )
194		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( ! ` a ) = ( ! ` ( d + 1 ) ) )
195	194	negeqd 10275	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = ( d + 1 ) -> -u ( ! ` a ) = -u ( ! ` ( d + 1 ) ) )
196	195	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( d + 1 ) -> ( 2 ^ -u ( ! ` a ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
197		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) e. _V
198	196, 5, 197	fvmpt 6282	. . . . . . . . 9 |- ( ( d + 1 ) e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
199	193, 198	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) = ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) )
200		peano2uz 11741	. . . . . . . . . 10 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( d + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) )
201		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( c - A ) = ( ( d + 1 ) - A ) )
202	201	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) = ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) )
203	202	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . 11 |- ( c = ( d + 1 ) -> ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( c - A ) ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
204		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) e. _V
205	203, 67, 204	fvmpt 6282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( d + 1 ) e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
206	200, 205	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
207	206	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` ( d + 1 ) ) = ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) )
208	199, 207	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) <-> ( 2 ^ -u ( ! ` ( d + 1 ) ) ) <_ ( ( 2 ^ -u ( ! ` A ) ) x. ( ( 1 / 2 ) ^ ( ( d + 1 ) - A ) ) ) ) )
209	179, 192, 208	3imtr4d 283	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ d e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) )
210	209	expcom 451	. . . . 5 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A e. NN -> ( ( F ` d ) <_ ( G ` d ) -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
211	210	a2d 29	. . . 4 |- ( d e. ( ZZ>= ` A ) -> ( ( A e. NN -> ( F ` d ) <_ ( G ` d ) ) -> ( A e. NN -> ( F ` ( d + 1 ) ) <_ ( G ` ( d + 1 ) ) ) ) )
212	23, 27, 31, 35, 72, 211	uzind4 11746	. . 3 |- ( B e. ( ZZ>= ` A ) -> ( A e. NN -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) )
213	212	impcom 446	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) <_ ( G ` B ) )
214		0xr 10086	. . 3 |- 0 e. RR*
215	67	aaliou3lem1 24097	. . 3 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( G ` B ) e. RR )
216		elioc2 12236	. . 3 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( G ` B ) e. RR ) -> ( ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
217	214, 215, 216	sylancr 695	. 2 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) <-> ( ( F ` B ) e. RR /\ 0 < ( F ` B ) /\ ( F ` B ) <_ ( G ` B ) ) ) )
218	18, 19, 213, 217	mpbir3and 1245	1 |- ( ( A e. NN /\ B e. ( ZZ>= ` A ) ) -> ( F ` B ) e. ( 0 (,] ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,]cioc 12176   ^cexp 12860   !cfa 13060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-ioc 12180  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061

This theorem is referenced by:  aaliou3lem3  24099