Theorem pige3 24269

Description: pi is greater or equal to 3. This proof is based on the geometric observation that a hexagon of unit side length has perimeter 6, which is less than the unit-radius circumcircle, of perimeter 2 pi. We translate this to algebra by looking at the function _e ^ ( _i x ) as x goes from 0 to pi / 3; it moves at unit speed and travels distance 1, hence 1 <_ pi / 3. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
pige3	|- 3 <_ pi

Proof of Theorem pige3

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 11095	. . 3 |- 3 e. CC
2	1	mulid2i 10043	. 2 |- ( 1 x. 3 ) = 3
3		tru 1487	. . . . . 6 |- T.
4		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
5		pirp 24213	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR+
6		3re 11094	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. RR
7		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 3
8	6, 7	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR+
9		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi e. RR+ /\ 3 e. RR+ ) -> ( pi / 3 ) e. RR+ )
10	5, 8, 9	mp2an 708	. . . . . . . . 9 |- ( pi / 3 ) e. RR+
11		rpxr 11840	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 3 ) e. RR+ -> ( pi / 3 ) e. RR* )
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( pi / 3 ) e. RR*
13		rpge0 11845	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 3 ) e. RR+ -> 0 <_ ( pi / 3 ) )
14	10, 13	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- 0 <_ ( pi / 3 )
15		lbicc2 12288	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 3 ) e. RR* /\ 0 <_ ( pi / 3 ) ) -> 0 e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) )
16	4, 12, 14, 15	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) )
17		ubicc2 12289	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( pi / 3 ) e. RR* /\ 0 <_ ( pi / 3 ) ) -> ( pi / 3 ) e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) )
18	4, 12, 14, 17	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- ( pi / 3 ) e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) )
19	16, 18	pm3.2i 471	. . . . . 6 |- ( 0 e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) /\ ( pi / 3 ) e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) )
20		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
21	20	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 0 e. RR )
22		pire 24210	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR
23		3ne0 11115	. . . . . . . . 9 |- 3 =/= 0
24	22, 6, 23	redivcli 10792	. . . . . . . 8 |- ( pi / 3 ) e. RR
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( pi / 3 ) e. RR )
26		efcn 24197	. . . . . . . . 9 |- exp e. ( CC -cn-> CC )
27	26	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( T. -> exp e. ( CC -cn-> CC ) )
28		iccssre 12255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 3 ) e. RR ) -> ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ RR )
29	20, 24, 28	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ RR
30		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . 11 |- RR C_ CC
31	29, 30	sstri 3612	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ CC
32		resmpt 5449	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) |` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( _i x. x ) ) )
33	31, 32	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) |` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( _i x. x ) ) )
34		ssid 3624	. . . . . . . . . . . 12 |- CC C_ CC
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> CC C_ CC )
36		ax-icn 9995	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. CC
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> x e. CC )
38		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( _i e. CC /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
39	36, 37, 38	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( _i x. x ) e. CC )
40		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. x ) )
41	39, 40	fmptd 6385	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) : CC --> CC )
42		cnelprrecn 10029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- CC e. { RR , CC }
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> CC e. { RR , CC } )
44		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> 1 e. CC )
46	43	dvmptid 23720	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> x ) ) = ( x e. CC |-> 1 ) )
47	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> _i e. CC )
48	43, 37, 45, 46, 47	dvmptcmul 23727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) )
49	36	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( _i x. 1 ) = _i
50	49	mpteq2i 4741	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC |-> ( _i x. 1 ) ) = ( x e. CC |-> _i )
51	48, 50	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = ( x e. CC |-> _i ) )
52	51	dmeqd 5326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = dom ( x e. CC |-> _i ) )
53	36	elexi 3213	. . . . . . . . . . . . 13 |- _i e. _V
54		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC |-> _i ) = ( x e. CC |-> _i )
55	53, 54	dmmpti 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- dom ( x e. CC |-> _i ) = CC
56	52, 55	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = CC )
57		dvcn 23684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( CC C_ CC /\ ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) : CC --> CC /\ CC C_ CC ) /\ dom ( CC _D ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) ) = CC ) -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
58	35, 41, 35, 56, 57	syl31anc 1329	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
59		rescncf 22700	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ CC -> ( ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) e. ( CC -cn-> CC ) -> ( ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) |` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) e. ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -cn-> CC ) ) )
60	31, 58, 59	mpsyl 68	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( ( x e. CC |-> ( _i x. x ) ) |` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) e. ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -cn-> CC ) )
61	33, 60	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( _i x. x ) ) e. ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -cn-> CC ) )
62	27, 61	cncfmpt1f 22716	. . . . . . 7 |- ( T. -> ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) e. ( ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -cn-> CC ) )
63		reelprrecn 10028	. . . . . . . . . . 11 |- RR e. { RR , CC }
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> RR e. { RR , CC } )
65		recn 10026	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. RR -> x e. CC )
66		efcl 14813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i x. x ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. x ) ) e. CC )
67	39, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( exp ` ( _i x. x ) ) e. CC )
68	65, 67	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( exp ` ( _i x. x ) ) e. CC )
69		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` ( _i x. x ) ) e. CC /\ _i e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) e. CC )
70	67, 36, 69	sylancl 694	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) e. CC )
71	65, 70	sylan2 491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ x e. RR ) -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) e. CC )
72		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
73	72	cnfldtopon 22586	. . . . . . . . . . . 12 |- ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC )
74		toponmax 20730	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( TopOpen ` ℂfld ) e. (TopOn ` CC ) -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> CC e. ( TopOpen ` ℂfld ) )
76	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> RR C_ CC )
77		df-ss 3588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( RR C_ CC <-> ( RR i^i CC ) = RR )
78	76, 77	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( RR i^i CC ) = RR )
79	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ x e. CC ) -> _i e. CC )
80		efcl 14813	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. CC -> ( exp ` y ) e. CC )
81	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ y e. CC ) -> ( exp ` y ) e. CC )
82		dvef 23743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( CC _D exp ) = exp
83		eff 14812	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- exp : CC --> CC
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
85	84	feqmptd 6249	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> exp = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
86	85	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( CC _D ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) ) )
87	82, 86, 85	3eqtr3a 2680	. . . . . . . . . . . 12 |- ( T. -> ( CC _D ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) ) = ( y e. CC |-> ( exp ` y ) ) )
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( _i x. x ) -> ( exp ` y ) = ( exp ` ( _i x. x ) ) )
89	43, 43, 39, 79, 81, 81, 51, 87, 88, 88	dvmptco 23735	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( CC _D ( x e. CC |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. CC |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
90	72, 64, 75, 78, 67, 70, 89	dvmptres3 23719	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. RR |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
91	29	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) C_ RR )
92	72	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
93		iccntr 22624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR /\ ( pi / 3 ) e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) = ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) )
94	20, 25, 93	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( T. -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) = ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) )
95	64, 68, 71, 90, 91, 92, 72, 94	dvmptres2 23725	. . . . . . . . 9 |- ( T. -> ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) = ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
96	95	dmeqd 5326	. . . . . . . 8 |- ( T. -> dom ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) = dom ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) )
97		ovex 6678	. . . . . . . . 9 |- ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) e. _V
98		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) )
99	97, 98	dmmpti 6023	. . . . . . . 8 |- dom ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) = ( 0 (,) ( pi / 3 ) )
100	96, 99	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( T. -> dom ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) = ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) )
101		1re 10039	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
102	101	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( T. -> 1 e. RR )
103	95	fveq1d 6193	. . . . . . . . . . 11 |- ( T. -> ( ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) ` y ) = ( ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) ` y ) )
104		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( _i x. x ) = ( _i x. y ) )
105	104	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` ( _i x. y ) ) )
106	105	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) = ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) )
107	106, 98, 97	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) -> ( ( x e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) |-> ( ( exp ` ( _i x. x ) ) x. _i ) ) ` y ) = ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) )
108	103, 107	sylan9eq 2676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) ` y ) = ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) )
109	108	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) ` y ) ) = ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) ) )
110		ioossre 12235	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) C_ RR
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( T. -> ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) C_ RR )
112	111	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> y e. RR )
113	112	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> y e. CC )
114		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ y e. CC ) -> ( _i x. y ) e. CC )
115	36, 113, 114	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( _i x. y ) e. CC )
116		efcl 14813	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( _i x. y ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC )
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC )
118		absmul 14034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( exp ` ( _i x. y ) ) e. CC /\ _i e. CC ) -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) x. ( abs ` _i ) ) )
119	117, 36, 118	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( exp ` ( _i x. y ) ) x. _i ) ) = ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) x. ( abs ` _i ) ) )
120		absefi 14926	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = 1 )
121	112, 120	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) = 1 )
122		absi 14026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs ` _i ) = 1
123	122	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` _i ) = 1 )
124	121, 123	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) x. ( abs ` _i ) ) = ( 1 x. 1 ) )
125	44	mulid1i 10042	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
126	124, 125	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( ( abs ` ( exp ` ( _i x. y ) ) ) x. ( abs ` _i ) ) = 1 )
127	109, 119, 126	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) ` y ) ) = 1 )
128		1le1 10655	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 1
129	127, 128	syl6eqbr 4692	. . . . . . 7 |- ( ( T. /\ y e. ( 0 (,) ( pi / 3 ) ) ) -> ( abs ` ( ( RR _D ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ) ` y ) ) <_ 1 )
130	21, 25, 62, 100, 102, 129	dvlip 23756	. . . . . 6 |- ( ( T. /\ ( 0 e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) /\ ( pi / 3 ) e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) ) ) -> ( abs ` ( ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) - ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) ) ) )
131	3, 19, 130	mp2an 708	. . . . 5 |- ( abs ` ( ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) - ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) ) )
132		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = 0 -> ( _i x. x ) = ( _i x. 0 ) )
133		it0e0 11254	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( _i x. 0 ) = 0
134	132, 133	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = 0 -> ( _i x. x ) = 0 )
135	134	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = 0 -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` 0 ) )
136		ef0 14821	. . . . . . . . . . 11 |- ( exp ` 0 ) = 1
137	135, 136	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( x = 0 -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = 1 )
138		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) = ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) )
139		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( exp ` ( _i x. x ) ) e. _V
140	137, 138, 139	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) = 1 )
141	16, 140	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) = 1
142		oveq2 6658	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( pi / 3 ) -> ( _i x. x ) = ( _i x. ( pi / 3 ) ) )
143	142	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( pi / 3 ) -> ( exp ` ( _i x. x ) ) = ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) )
144	143, 138, 139	fvmpt3i 6287	. . . . . . . . 9 |- ( ( pi / 3 ) e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) -> ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) = ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) )
145	18, 144	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) = ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) )
146	141, 145	oveq12i 6662	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) - ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) ) = ( 1 - ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) )
147	24	recni 10052	. . . . . . . . . 10 |- ( pi / 3 ) e. CC
148	36, 147	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 |- ( _i x. ( pi / 3 ) ) e. CC
149		efcl 14813	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i x. ( pi / 3 ) ) e. CC -> ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) e. CC )
150	148, 149	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) e. CC
151		negicn 10282	. . . . . . . . . 10 |- -u _i e. CC
152	151, 147	mulcli 10045	. . . . . . . . 9 |- ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) e. CC
153		efcl 14813	. . . . . . . . 9 |- ( ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) e. CC -> ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) e. CC )
154	152, 153	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) e. CC
155		cosval 14853	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( pi / 3 ) e. CC -> ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) / 2 ) )
156	147, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) / 2 )
157		sincos3rdpi 24268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( sin ` ( pi / 3 ) ) = ( ( sqr ` 3 ) / 2 ) /\ ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( 1 / 2 ) )
158	157	simpri 478	. . . . . . . . . 10 |- ( cos ` ( pi / 3 ) ) = ( 1 / 2 )
159	156, 158	eqtr3i 2646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) / 2 ) = ( 1 / 2 )
160	150, 154	addcli 10044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) e. CC
161		2cn 11091	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
162		2ne0 11113	. . . . . . . . . 10 |- 2 =/= 0
163	160, 44, 161, 162	div11i 10784	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) / 2 ) = ( 1 / 2 ) <-> ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) = 1 )
164	159, 163	mpbi 220	. . . . . . . 8 |- ( ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) + ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) = 1
165	44, 150, 154, 164	subaddrii 10370	. . . . . . 7 |- ( 1 - ( exp ` ( _i x. ( pi / 3 ) ) ) ) = ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) )
166		mulneg12 10468	. . . . . . . . 9 |- ( ( _i e. CC /\ ( pi / 3 ) e. CC ) -> ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) = ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) )
167	36, 147, 166	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) = ( _i x. -u ( pi / 3 ) )
168	167	fveq2i 6194	. . . . . . 7 |- ( exp ` ( -u _i x. ( pi / 3 ) ) ) = ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) )
169	146, 165, 168	3eqtri 2648	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) - ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) ) = ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) )
170	169	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( abs ` ( ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` 0 ) - ( ( x e. ( 0 [,] ( pi / 3 ) ) |-> ( exp ` ( _i x. x ) ) ) ` ( pi / 3 ) ) ) ) = ( abs ` ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) ) )
171	147	absnegi 14139	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u ( pi / 3 ) ) = ( abs ` ( pi / 3 ) )
172		df-neg 10269	. . . . . . . . 9 |- -u ( pi / 3 ) = ( 0 - ( pi / 3 ) )
173	172	fveq2i 6194	. . . . . . . 8 |- ( abs ` -u ( pi / 3 ) ) = ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) )
174	171, 173	eqtr3i 2646	. . . . . . 7 |- ( abs ` ( pi / 3 ) ) = ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) )
175		rprege0 11847	. . . . . . . 8 |- ( ( pi / 3 ) e. RR+ -> ( ( pi / 3 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 3 ) ) )
176		absid 14036	. . . . . . . 8 |- ( ( ( pi / 3 ) e. RR /\ 0 <_ ( pi / 3 ) ) -> ( abs ` ( pi / 3 ) ) = ( pi / 3 ) )
177	10, 175, 176	mp2b 10	. . . . . . 7 |- ( abs ` ( pi / 3 ) ) = ( pi / 3 )
178	174, 177	eqtr3i 2646	. . . . . 6 |- ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) ) = ( pi / 3 )
179	178	oveq2i 6661	. . . . 5 |- ( 1 x. ( abs ` ( 0 - ( pi / 3 ) ) ) ) = ( 1 x. ( pi / 3 ) )
180	131, 170, 179	3brtr3i 4682	. . . 4 |- ( abs ` ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( pi / 3 ) )
181	24	renegcli 10342	. . . . 5 |- -u ( pi / 3 ) e. RR
182		absefi 14926	. . . . 5 |- ( -u ( pi / 3 ) e. RR -> ( abs ` ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) ) ) = 1 )
183	181, 182	ax-mp 5	. . . 4 |- ( abs ` ( exp ` ( _i x. -u ( pi / 3 ) ) ) ) = 1
184	147	mulid2i 10043	. . . 4 |- ( 1 x. ( pi / 3 ) ) = ( pi / 3 )
185	180, 183, 184	3brtr3i 4682	. . 3 |- 1 <_ ( pi / 3 )
186	6, 7	pm3.2i 471	. . . 4 |- ( 3 e. RR /\ 0 < 3 )
187		lemuldiv 10903	. . . 4 |- ( ( 1 e. RR /\ pi e. RR /\ ( 3 e. RR /\ 0 < 3 ) ) -> ( ( 1 x. 3 ) <_ pi <-> 1 <_ ( pi / 3 ) ) )
188	101, 22, 186, 187	mp3an 1424	. . 3 |- ( ( 1 x. 3 ) <_ pi <-> 1 <_ ( pi / 3 ) )
189	185, 188	mpbir 221	. 2 |- ( 1 x. 3 ) <_ pi
190	2, 189	eqbrtrri 4676	1 |- 3 <_ pi

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   T. wtru 1484   e. wcel 1990   i^i cin 3573   C_ wss 3574   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   3c3 11071   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   expce 14792   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746  TopOnctopon 20715   intcnt 20821   -cn->ccncf 22679   _D cdv 23627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

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