Theorem cosordlem 24277

Description: Lemma for cosord 24278. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cosord.1	|- ( ph -> A e. ( 0 [,] pi ) )
cosord.2	|- ( ph -> B e. ( 0 [,] pi ) )
cosord.3	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
cosordlem	|- ( ph -> ( cos ` B ) < ( cos ` A ) )

Proof of Theorem cosordlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosord.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. ( 0 [,] pi ) )
2		0re 10040	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
3		pire 24210	. . . . . . . 8 |- pi e. RR
4	2, 3	elicc2i 12239	. . . . . . 7 |- ( B e. ( 0 [,] pi ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ pi ) )
5	1, 4	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( B e. RR /\ 0 <_ B /\ B <_ pi ) )
6	5	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
7	6	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
8		cosord.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. ( 0 [,] pi ) )
9	2, 3	elicc2i 12239	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 [,] pi ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
10	8, 9	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A e. RR /\ 0 <_ A /\ A <_ pi ) )
11	10	simp1d 1073	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
12	11	recnd 10068	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
13		subcos 14905	. . . 4 |- ( ( B e. CC /\ A e. CC ) -> ( ( cos ` A ) - ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) ) )
14	7, 12, 13	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( cos ` A ) - ( cos ` B ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) ) )
15		2re 11090	. . . . 5 |- 2 e. RR
16		2pos 11112	. . . . 5 |- 0 < 2
17	15, 16	elrpii 11835	. . . 4 |- 2 e. RR+
18	6, 11	readdcld 10069	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B + A ) e. RR )
19	18	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B + A ) / 2 ) e. RR )
20	19	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) e. RR )
21	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
22	10	simp2d 1074	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
23		cosord.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A < B )
24	21, 11, 6, 22, 23	lelttrd 10195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < B )
25		addgtge0 10516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( B e. RR /\ A e. RR ) /\ ( 0 < B /\ 0 <_ A ) ) -> 0 < ( B + A ) )
26	6, 11, 24, 22, 25	syl22anc 1327	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B + A ) )
27		divgt0 10891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B + A ) e. RR /\ 0 < ( B + A ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( B + A ) / 2 ) )
28	15, 16, 27	mpanr12 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B + A ) e. RR /\ 0 < ( B + A ) ) -> 0 < ( ( B + A ) / 2 ) )
29	18, 26, 28	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( B + A ) / 2 ) )
30	3	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> pi e. RR )
31	11, 6, 6, 23	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B + A ) < ( B + B ) )
32	7	2timesd 11275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( 2 x. B ) = ( B + B ) )
33	31, 32	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B + A ) < ( 2 x. B ) )
34	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 2 e. RR )
35	16	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 < 2 )
36		ltdivmul 10898	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B + A ) e. RR /\ B e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( B + A ) / 2 ) < B <-> ( B + A ) < ( 2 x. B ) ) )
37	18, 6, 34, 35, 36	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( B + A ) / 2 ) < B <-> ( B + A ) < ( 2 x. B ) ) )
38	33, 37	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B + A ) / 2 ) < B )
39	5	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B <_ pi )
40	19, 6, 30, 38, 39	ltletrd 10197	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B + A ) / 2 ) < pi )
41		0xr 10086	. . . . . . . . 9 |- 0 e. RR*
42	3	rexri 10097	. . . . . . . . 9 |- pi e. RR*
43		elioo2 12216	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( B + A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( B + A ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( B + A ) / 2 ) /\ ( ( B + A ) / 2 ) < pi ) ) )
44	41, 42, 43	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B + A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( B + A ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( B + A ) / 2 ) /\ ( ( B + A ) / 2 ) < pi ) )
45	19, 29, 40, 44	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B + A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) )
46		sinq12gt0 24259	. . . . . . 7 |- ( ( ( B + A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) )
47	45, 46	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) )
48	20, 47	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ph -> ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) e. RR+ )
49	6, 11	resubcld 10458	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B - A ) e. RR )
50	49	rehalfcld 11279	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) e. RR )
51	50	resincld 14873	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) e. RR )
52	11, 6	posdifd 10614	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A < B <-> 0 < ( B - A ) ) )
53	23, 52	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 < ( B - A ) )
54		divgt0 10891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> 0 < ( ( B - A ) / 2 ) )
55	15, 16, 54	mpanr12 721	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ 0 < ( B - A ) ) -> 0 < ( ( B - A ) / 2 ) )
56	49, 53, 55	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 < ( ( B - A ) / 2 ) )
57		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . 10 |- ( pi e. RR -> ( pi / 2 ) e. RR )
58	3, 57	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( pi / 2 ) e. RR )
59	6, 11	subge02d 10619	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> ( B - A ) <_ B ) )
60	22, 59	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( B - A ) <_ B )
61	49, 6, 30, 60, 39	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B - A ) <_ pi )
62		lediv1 10888	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ pi e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( B - A ) <_ pi <-> ( ( B - A ) / 2 ) <_ ( pi / 2 ) ) )
63	49, 30, 34, 35, 62	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B - A ) <_ pi <-> ( ( B - A ) / 2 ) <_ ( pi / 2 ) ) )
64	61, 63	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) <_ ( pi / 2 ) )
65		pirp 24213	. . . . . . . . . 10 |- pi e. RR+
66		rphalflt 11860	. . . . . . . . . 10 |- ( pi e. RR+ -> ( pi / 2 ) < pi )
67	65, 66	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( pi / 2 ) < pi )
68	50, 58, 30, 64, 67	lelttrd 10195	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) < pi )
69		elioo2 12216	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* ) -> ( ( ( B - A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( B - A ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( B - A ) / 2 ) /\ ( ( B - A ) / 2 ) < pi ) ) )
70	41, 42, 69	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( ( B - A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) <-> ( ( ( B - A ) / 2 ) e. RR /\ 0 < ( ( B - A ) / 2 ) /\ ( ( B - A ) / 2 ) < pi ) )
71	50, 56, 68, 70	syl3anbrc 1246	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( B - A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) )
72		sinq12gt0 24259	. . . . . . 7 |- ( ( ( B - A ) / 2 ) e. ( 0 (,) pi ) -> 0 < ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 < ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) )
74	51, 73	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ph -> ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) e. RR+ )
75	48, 74	rpmulcld 11888	. . . 4 |- ( ph -> ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) e. RR+ )
76		rpmulcl 11855	. . . 4 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) e. RR+ ) -> ( 2 x. ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) ) e. RR+ )
77	17, 75, 76	sylancr 695	. . 3 |- ( ph -> ( 2 x. ( ( sin ` ( ( B + A ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( B - A ) / 2 ) ) ) ) e. RR+ )
78	14, 77	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( ( cos ` A ) - ( cos ` B ) ) e. RR+ )
79	6	recoscld 14874	. . 3 |- ( ph -> ( cos ` B ) e. RR )
80	11	recoscld 14874	. . 3 |- ( ph -> ( cos ` A ) e. RR )
81		difrp 11868	. . 3 |- ( ( ( cos ` B ) e. RR /\ ( cos ` A ) e. RR ) -> ( ( cos ` B ) < ( cos ` A ) <-> ( ( cos ` A ) - ( cos ` B ) ) e. RR+ ) )
82	79, 80, 81	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( cos ` B ) < ( cos ` A ) <-> ( ( cos ` A ) - ( cos ` B ) ) e. RR+ ) )
83	78, 82	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( cos ` B ) < ( cos ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   2c2 11070   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,]cicc 12178   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  cosord  24278