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Theorem log2cnv 24671

Description: Using the Taylor series for arctan

, produce a rapidly convergent series for

. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
log2cnv.1

**Assertion**
Ref	Expression
log2cnv

Proof of Theorem log2cnv Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11722	. . . 4
2		0zd 11389	. . . 4
3		2cn 11091	. . . . . 6
4		ax-icn 9995	. . . . . 6
5		ine0 10465	. . . . . 6
6	3, 4, 5	divcli 10767	. . . . 5
7	6	a1i 11	. . . 4
8		3cn 11095	. . . . . . 7
9		3ne0 11115	. . . . . . 7
10	4, 8, 9	divcli 10767	. . . . . 6
11		absdiv 14035	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
12	4, 8, 9, 11	mp3an 1424	. . . . . . . 8
13		absi 14026	. . . . . . . . 9
14		3re 11094	. . . . . . . . . 10
15		0re 10040	. . . . . . . . . . 11
16		3pos 11114	. . . . . . . . . . 11
17	15, 14, 16	ltleii 10160	. . . . . . . . . 10
18		absid 14036	. . . . . . . . . 10 $/\$
19	14, 17, 18	mp2an 708	. . . . . . . . 9
20	13, 19	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
21	12, 20	eqtri 2644	. . . . . . 7
22		1lt3 11196	. . . . . . . 8
23		recgt1 10919	. . . . . . . . 9 $/\$
24	14, 16, 23	mp2an 708	. . . . . . . 8
25	22, 24	mpbi 220	. . . . . . 7
26	21, 25	eqbrtri 4674	. . . . . 6
27		eqid 2622	. . . . . . 7
28	27	atantayl3 24666	. . . . . 6 $/\$ arctan
29	10, 26, 28	mp2an 708	. . . . 5 arctan
30	29	a1i 11	. . . 4 arctan
31		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12
33	32	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11
34	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
35	34, 33	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9
36	31, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
37		ovex 6678	. . . . . . . 8
38	36, 27, 37	fvmpt 6282	. . . . . . 7
39	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
40	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12
42		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . 14
43		nn0mulcl 11329	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
44	42, 43	mpan 706	. . . . . . . . . . . . 13
45		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . 13
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . 12
47	39, 40, 41, 46	expdivd 13022	. . . . . . . . . . 11
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10
49		neg1cn 11124	. . . . . . . . . . . 12
50		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
51	49, 50	mpan 706	. . . . . . . . . . 11
52		expcl 12878	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
53	4, 46, 52	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
54		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . 13
55		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
56	54, 46, 55	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
57	56	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
58	56	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
59	51, 53, 57, 58	divassd 10836	. . . . . . . . . 10
60		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
61	4, 44, 60	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
62		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
63	4, 42, 62	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16
64		i2 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
65	64	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
66	63, 65	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
68	61, 67	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13
69	68	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12
70	51, 51, 39	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12
71	49	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16
72		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16
73	71, 72, 72	expaddd 13010	. . . . . . . . . . . . . . 15
74		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
75	49, 42, 74	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
76		neg1sqe1 12959	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
77	76	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
78	75, 77	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
80	79	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16
82		nn0z 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
83		1exp 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16
85	78, 81, 84	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . 15
86	73, 85	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . 14
87	86	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
88	4	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . 13
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12
90	69, 70, 89	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
92	48, 59, 91	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . 9
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . 8
94		expcl 12878	. . . . . . . . . 10 $/\$
95	10, 46, 94	sylancr 695	. . . . . . . . 9
96		nn0p1nn 11332	. . . . . . . . . . 11
97	44, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10
98	97	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
99	97	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9
100	51, 95, 98, 99	divassd 10836	. . . . . . . 8
101	39, 57, 98, 58, 99	divdiv1d 10832	. . . . . . . 8
102	93, 100, 101	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7
103	57, 98	mulcomd 10061	. . . . . . . 8
104	103	oveq2d 6666	. . . . . . 7
105	38, 102, 104	3eqtrd 2660	. . . . . 6
106	97, 56	nnmulcld 11068	. . . . . . . 8
107	106	nncnd 11036	. . . . . . 7
108	106	nnne0d 11065	. . . . . . 7
109	39, 107, 108	divcld 10801	. . . . . 6
110	105, 109	eqeltrd 2701	. . . . 5
111	110	adantl 482	. . . 4 $/\$
112	33	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
113		oveq2 6658	. . . . . . . . 9
114	112, 113	oveq12d 6668	. . . . . . . 8
115	114	oveq2d 6666	. . . . . . 7
116		log2cnv.1	. . . . . . 7
117		ovex 6678	. . . . . . 7
118	115, 116, 117	fvmpt 6282	. . . . . 6
119		expp1 12867	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
120	8, 44, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14
121		expmul 12905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
122	8, 42, 121	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . 16
123		sq3 12961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
124	123	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . 16
125	122, 124	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . 15
126	125	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14
127		9nn 11192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
128		nnexpcl 12873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
129	127, 128	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . 16
130	129	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . 15
131		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
132	130, 8, 131	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14
133	120, 126, 132	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13
134	90, 133	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12
135	48, 59, 134	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . 11
136	135	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10
137		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
138	54, 129, 137	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12
139	138	nncnd 11036	. . . . . . . . . . 11
140	138	nnne0d 11065	. . . . . . . . . . 11
141	39, 139, 98, 140, 99	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . 10
142	136, 100, 141	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9
143	40, 130, 98	mul32d 10246	. . . . . . . . . 10
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9
145	38, 142, 144	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8
146	145	oveq2d 6666	. . . . . . 7
147		nnmulcl 11043	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
148	54, 97, 147	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11
149	148, 129	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . 10
150	149	nncnd 11036	. . . . . . . . 9
151	149	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9
152	39, 150, 151	divcld 10801	. . . . . . . 8
153		mulcom 10022	. . . . . . . 8 $/\$
154	152, 6, 153	sylancl 694	. . . . . . 7
155	3	a1i 11	. . . . . . . 8
156	5	a1i 11	. . . . . . . 8
157	155, 39, 150, 156, 151	dmdcand 10830	. . . . . . 7
158	146, 154, 157	3eqtr2d 2662	. . . . . 6
159	118, 158	eqtr4d 2659	. . . . 5
160	159	adantl 482	. . . 4 $/\$
161	1, 2, 7, 30, 111, 160	isermulc2 14388	. . 3 arctan
162	161	trud 1493	. 2 arctan
163		bndatandm 24656	. . . . . . . 8 $/\$ arctan
164	10, 26, 163	mp2an 708	. . . . . . 7 arctan
165		atanval 24611	. . . . . . 7 arctan arctan
166	164, 165	ax-mp 5	. . . . . 6 arctan
167		df-4 11081	. . . . . . . . . . . . 13
168	167	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
169		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . 13
170	8, 169, 8, 9	divdiri 10782	. . . . . . . . . . . 12
171	8, 9	dividi 10758	. . . . . . . . . . . . 13
172	171	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
173	168, 170, 172	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11
174	169, 8, 9	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12
175	169, 174	subnegi 10360	. . . . . . . . . . 11
176		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
177	169, 8, 9, 176	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13
178		ixi 10656	. . . . . . . . . . . . . 14
179	178	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13
180	4, 4, 8, 9	divassi 10781	. . . . . . . . . . . . 13
181	177, 179, 180	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . 12
182	181	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
183	173, 175, 182	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . 10
184	183	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9
185	8, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
186		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
187	8, 169, 185, 186	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . 12
188		3m1e2 11137	. . . . . . . . . . . . 13
189	188	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
190	171	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
191	187, 189, 190	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . 11
192	169, 174	negsubi 10359	. . . . . . . . . . 11
193	181	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11
194	191, 192, 193	3eqtr2ri 2651	. . . . . . . . . 10
195	194	fveq2i 6194	. . . . . . . . 9
196	184, 195	oveq12i 6662	. . . . . . . 8
197		4re 11097	. . . . . . . . . . 11
198		4pos 11116	. . . . . . . . . . 11
199	197, 198	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10
200	14, 16	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10
201		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 $/\$
202	199, 200, 201	mp2an 708	. . . . . . . . 9
203		2rp 11837	. . . . . . . . . 10
204		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 $/\$
205	203, 200, 204	mp2an 708	. . . . . . . . 9
206		relogdiv 24339	. . . . . . . . 9 $/\$
207	202, 205, 206	mp2an 708	. . . . . . . 8
208		4cn 11098	. . . . . . . . . . 11
209		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . 11 $/\$
210		divcan7 10734	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
211	208, 209, 185, 210	mp3an 1424	. . . . . . . . . 10
212		4d2e2 11184	. . . . . . . . . 10
213	211, 212	eqtri 2644	. . . . . . . . 9
214	213	fveq2i 6194	. . . . . . . 8
215	196, 207, 214	3eqtr2i 2650	. . . . . . 7
216	215	oveq2i 6661	. . . . . 6
217	166, 216	eqtri 2644	. . . . 5 arctan
218	217	oveq2i 6661	. . . 4 arctan
219		2ne0 11113	. . . . . 6
220	4, 3, 219	divcli 10767	. . . . 5
221		logcl 24315	. . . . . 6 $/\$
222	3, 219, 221	mp2an 708	. . . . 5
223	6, 220, 222	mulassi 10049	. . . 4
224	218, 223	eqtr4i 2647	. . 3 arctan
225		divcan6 10732	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$
226	3, 219, 4, 5, 225	mp4an 709	. . . 4
227	226	oveq1i 6660	. . 3
228	222	mulid2i 10043	. . 3
229	224, 227, 228	3eqtri 2648	. 2 arctan
230	162, 229	breqtri 4678	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wb 196 $/\$ wa 384

wceq 1483

wtru 1484

wcel 1990

wne 2794 class class class wbr 4653

cmpt 4729

cdm 5114

cfv 5888 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

ci 9938

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

cn 11020

c2 11070

c3 11071

c4 11072

c9 11077

cn0 11292

cz 11377

crp 11832

cseq 12801

cexp 12860

cabs 13974

cli 14215

clog 24301 arctancatan 24591

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-inf2 8538 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014 ax-addf 10015 ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-fal 1489 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-iin 4523 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-se 5074 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-isom 5897 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-of 6897 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-supp 7296 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-2o 7561 df-oadd 7564 df-er 7742 df-map 7859 df-pm 7860 df-ixp 7909 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-fsupp 8276 df-fi 8317 df-sup 8348 df-inf 8349 df-oi 8415 df-card 8765 df-cda 8990 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-5 11082 df-6 11083 df-7 11084 df-8 11085 df-9 11086 df-n0 11293 df-xnn0 11364 df-z 11378 df-dec 11494 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ioo 12179 df-ioc 12180 df-ico 12181 df-icc 12182 df-fz 12327 df-fzo 12466 df-fl 12593 df-mod 12669 df-seq 12802 df-exp 12861 df-fac 13061 df-bc 13090 df-hash 13118 df-shft 13807 df-cj 13839 df-re 13840 df-im 13841 df-sqrt 13975 df-abs 13976 df-limsup 14202 df-clim 14219 df-rlim 14220 df-sum 14417 df-ef 14798 df-sin 14800 df-cos 14801 df-tan 14802 df-pi 14803 df-dvds 14984 df-struct 15859 df-ndx 15860 df-slot 15861 df-base 15863 df-sets 15864 df-ress 15865 df-plusg 15954 df-mulr 15955 df-starv 15956 df-sca 15957 df-vsca 15958 df-ip 15959 df-tset 15960 df-ple 15961 df-ds 15964 df-unif 15965 df-hom 15966 df-cco 15967 df-rest 16083 df-topn 16084 df-0g 16102 df-gsum 16103 df-topgen 16104 df-pt 16105 df-prds 16108 df-xrs 16162 df-qtop 16167 df-imas 16168 df-xps 16170 df-mre 16246 df-mrc 16247 df-acs 16249 df-mgm 17242 df-sgrp 17284 df-mnd 17295 df-submnd 17336 df-mulg 17541 df-cntz 17750 df-cmn 18195 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-met 19740 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-cnfld 19747 df-top 20699 df-topon 20716 df-topsp 20737 df-bases 20750 df-cld 20823 df-ntr 20824 df-cls 20825 df-nei 20902 df-lp 20940 df-perf 20941 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-haus 21119 df-cmp 21190 df-tx 21365 df-hmeo 21558 df-fil 21650 df-fm 21742 df-flim 21743 df-flf 21744 df-xms 22125 df-ms 22126 df-tms 22127 df-cncf 22681 df-limc 23630 df-dv 23631 df-ulm 24131 df-log 24303 df-atan 24594

This theorem is referenced by: log2tlbnd 24672

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