Theorem chebbnd1lem3 25160

Description: Lemma for chebbnd1 25161: get a lower bound on π ( N ) / ( N / log ( N ) ) that is independent of N. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	|- M = ( |_ ` ( N / 2 ) )

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem3	|- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 11837	. . . . . 6 |- 2 e. RR+
2		relogcl 24322	. . . . . 6 |- ( 2 e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( log ` 2 ) e. RR
4		1re 10039	. . . . . 6 |- 1 e. RR
5		2re 11090	. . . . . . 7 |- 2 e. RR
6		ere 14819	. . . . . . 7 |- _e e. RR
7	5, 6	remulcli 10054	. . . . . 6 |- ( 2 x. _e ) e. RR
8		2pos 11112	. . . . . . . 8 |- 0 < 2
9		epos 14935	. . . . . . . 8 |- 0 < _e
10	5, 6, 8, 9	mulgt0ii 10170	. . . . . . 7 |- 0 < ( 2 x. _e )
11	7, 10	gt0ne0ii 10564	. . . . . 6 |- ( 2 x. _e ) =/= 0
12	4, 7, 11	redivcli 10792	. . . . 5 |- ( 1 / ( 2 x. _e ) ) e. RR
13	3, 12	resubcli 10343	. . . 4 |- ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) e. RR
14		2ne0 11113	. . . 4 |- 2 =/= 0
15	13, 5, 14	redivcli 10792	. . 3 |- ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) e. RR
16	15	a1i 11	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) e. RR )
17	5	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 e. RR )
18		8re 11105	. . . . . . . 8 |- 8 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 8 e. RR )
20		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N e. RR )
21		2lt8 11220	. . . . . . . . 9 |- 2 < 8
22	5, 18, 21	ltleii 10160	. . . . . . . 8 |- 2 <_ 8
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 <_ 8 )
24		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 8 <_ N )
25	17, 19, 20, 23, 24	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 <_ N )
26		ppinncl 24900	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 2 <_ N ) -> (π ` N ) e. NN )
27	25, 26	syldan 487	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` N ) e. NN )
28	27	nnred 11035	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` N ) e. RR )
29		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . . 10 |- M = ( |_ ` ( N / 2 ) )
30		rehalfcl 11258	. . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( N / 2 ) e. RR )
31	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( N / 2 ) e. RR )
32	31	flcld 12599	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) e. ZZ )
33	29, 32	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. ZZ )
34	33	zred 11482	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. RR )
35		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ M e. RR ) -> ( 2 x. M ) e. RR )
36	5, 34, 35	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. RR )
37	4	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 e. RR )
38		1lt2 11194	. . . . . . . . 9 |- 1 < 2
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 < 2 )
40		2t1e2 11176	. . . . . . . . 9 |- ( 2 x. 1 ) = 2
41		4nn 11187	. . . . . . . . . . . 12 |- 4 e. NN
42		4z 11411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 4 e. ZZ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 e. ZZ )
44		4t2e8 11181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 4 x. 2 ) = 8
45	44, 24	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 4 x. 2 ) <_ N )
46		4re 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 4 e. RR
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 e. RR )
48	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < 2 )
49		lemuldiv 10903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 4 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 4 x. 2 ) <_ N <-> 4 <_ ( N / 2 ) ) )
50	47, 20, 17, 48, 49	syl112anc 1330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 4 x. 2 ) <_ N <-> 4 <_ ( N / 2 ) ) )
51	45, 50	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ ( N / 2 ) )
52		flge 12606	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( N / 2 ) e. RR /\ 4 e. ZZ ) -> ( 4 <_ ( N / 2 ) <-> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
53	31, 42, 52	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 4 <_ ( N / 2 ) <-> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) ) )
54	51, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ ( |_ ` ( N / 2 ) ) )
55	54, 29	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 4 <_ M )
56		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( M e. ( ZZ>= ` 4 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ M e. ZZ /\ 4 <_ M ) )
57	43, 33, 55, 56	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. ( ZZ>= ` 4 ) )
58		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 4 e. NN /\ M e. ( ZZ>= ` 4 ) ) -> M e. NN )
59	41, 57, 58	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. NN )
60	59	nnge1d 11063	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 <_ M )
61		lemul2 10876	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR /\ M e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 1 <_ M <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. M ) ) )
62	37, 34, 17, 48, 61	syl112anc 1330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 1 <_ M <-> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. M ) ) )
63	60, 62	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. 1 ) <_ ( 2 x. M ) )
64	40, 63	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 <_ ( 2 x. M ) )
65	37, 17, 36, 39, 64	ltletrd 10197	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 1 < ( 2 x. M ) )
66	36, 65	rplogcld 24375	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 x. M ) ) e. RR+ )
67	66	rpred 11872	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 x. M ) ) e. RR )
68		2nn 11185	. . . . . 6 |- 2 e. NN
69		nnmulcl 11043	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. NN /\ M e. NN ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
70	68, 59, 69	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. NN )
71	67, 70	nndivred 11069	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) e. RR )
72	28, 71	remulcld 10070	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) e. RR )
73		rehalfcl 11258	. . 3 |- ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) e. RR -> ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) e. RR )
74	72, 73	syl 17	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) e. RR )
75		0red 10041	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 e. RR )
76		8pos 11121	. . . . . . . 8 |- 0 < 8
77	76	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < 8 )
78	75, 19, 20, 77, 24	ltletrd 10197	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < N )
79	20, 78	elrpd 11869	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> N e. RR+ )
80	79	relogcld 24369	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` N ) e. RR )
81	80, 79	rerpdivcld 11903	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) / N ) e. RR )
82	28, 81	remulcld 10070	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR )
83	13	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) e. RR )
84		ppinncl 24900	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. M ) e. RR /\ 2 <_ ( 2 x. M ) ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) e. NN )
85	36, 64, 84	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) e. NN )
86	85	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) e. RR )
87	86, 71	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) e. RR )
88		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) e. RR /\ ( 2 x. M ) e. RR ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) e. RR )
89	13, 36, 88	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) e. RR )
90		4pos 11116	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
91	46, 90	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
92		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 4 e. RR+ /\ M e. ZZ ) -> ( 4 ^ M ) e. RR+ )
93	91, 33, 92	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 4 ^ M ) e. RR+ )
94	59	nnrpd 11870	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. RR+ )
95	93, 94	rpdivcld 11889	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 4 ^ M ) / M ) e. RR+ )
96	95	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( ( 4 ^ M ) / M ) ) e. RR )
97	86, 67	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) e. RR )
98	94	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` M ) e. RR )
99		epr 14936	. . . . . . . . . 10 |- _e e. RR+
100		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. RR /\ _e e. RR+ ) -> ( M / _e ) e. RR )
101	34, 99, 100	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( M / _e ) e. RR )
102	93	relogcld 24369	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 4 ^ M ) ) e. RR )
103	6	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e e. RR )
104		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
105	104	simpri 478	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- _e < 3
106		3lt4 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 < 4
107		3re 11094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 3 e. RR
108	6, 107, 46	lttri 10163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( _e < 3 /\ 3 < 4 ) -> _e < 4 )
109	105, 106, 108	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e < 4
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e < 4 )
111	103, 47, 34, 110, 55	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e < M )
112	103, 34, 111	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e <_ M )
113	6	leidi 10562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- _e <_ _e
114		logdivlt 24367	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( _e e. RR /\ _e <_ _e ) /\ ( M e. RR /\ _e <_ M ) ) -> ( _e < M <-> ( ( log ` M ) / M ) < ( ( log ` _e ) / _e ) ) )
115	6, 113, 114	mpanl12 718	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. RR /\ _e <_ M ) -> ( _e < M <-> ( ( log ` M ) / M ) < ( ( log ` _e ) / _e ) ) )
116	34, 112, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( _e < M <-> ( ( log ` M ) / M ) < ( ( log ` _e ) / _e ) ) )
117	111, 116	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` M ) / M ) < ( ( log ` _e ) / _e ) )
118		loge 24333	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` _e ) = 1
119	118	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( log ` _e ) / _e ) = ( 1 / _e )
120	117, 119	syl6breq 4694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` M ) / M ) < ( 1 / _e ) )
121	6, 9	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( _e e. RR /\ 0 < _e )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( _e e. RR /\ 0 < _e ) )
123	59	nngt0d 11064	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < M )
124	34, 123	jca 554	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( M e. RR /\ 0 < M ) )
125		lt2mul2div 10901	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( log ` M ) e. RR /\ ( _e e. RR /\ 0 < _e ) ) /\ ( 1 e. RR /\ ( M e. RR /\ 0 < M ) ) ) -> ( ( ( log ` M ) x. _e ) < ( 1 x. M ) <-> ( ( log ` M ) / M ) < ( 1 / _e ) ) )
126	98, 122, 37, 124, 125	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` M ) x. _e ) < ( 1 x. M ) <-> ( ( log ` M ) / M ) < ( 1 / _e ) ) )
127	120, 126	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` M ) x. _e ) < ( 1 x. M ) )
128	34	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. CC )
129	128	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 1 x. M ) = M )
130	127, 129	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` M ) x. _e ) < M )
131		ltmuldiv 10896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( log ` M ) e. RR /\ M e. RR /\ ( _e e. RR /\ 0 < _e ) ) -> ( ( ( log ` M ) x. _e ) < M <-> ( log ` M ) < ( M / _e ) ) )
132	98, 34, 122, 131	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` M ) x. _e ) < M <-> ( log ` M ) < ( M / _e ) ) )
133	130, 132	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` M ) < ( M / _e ) )
134	98, 101, 102, 133	ltsub2dd 10640	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 4 ^ M ) ) - ( M / _e ) ) < ( ( log ` ( 4 ^ M ) ) - ( log ` M ) ) )
135	3	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` 2 ) e. CC
136	135	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` 2 ) e. CC )
137	12	recni 10052	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 / ( 2 x. _e ) ) e. CC
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 1 / ( 2 x. _e ) ) e. CC )
139	70	nnrpd 11870	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. RR+ )
140	139	rpcnd 11874	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. CC )
141	136, 138, 140	subdird 10487	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) = ( ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. M ) ) - ( ( 1 / ( 2 x. _e ) ) x. ( 2 x. M ) ) ) )
142	136, 140	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. M ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( log ` 2 ) ) )
143		2z 11409	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. ZZ
144		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( 2 x. M ) e. ZZ )
145	143, 33, 144	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) e. ZZ )
146		relogexp 24342	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. RR+ /\ ( 2 x. M ) e. ZZ ) -> ( log ` ( 2 ^ ( 2 x. M ) ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( log ` 2 ) ) )
147	1, 145, 146	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 ^ ( 2 x. M ) ) ) = ( ( 2 x. M ) x. ( log ` 2 ) ) )
148		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 e. CC )
149	59	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M e. NN0 )
150		2nn0 11309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. NN0
151	150	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 e. NN0 )
152	148, 149, 151	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 ^ ( 2 x. M ) ) = ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) )
153		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
154	153	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 ^ 2 ) ^ M ) = ( 4 ^ M )
155	152, 154	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 ^ ( 2 x. M ) ) = ( 4 ^ M ) )
156	155	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 ^ ( 2 x. M ) ) ) = ( log ` ( 4 ^ M ) ) )
157	142, 147, 156	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. M ) ) = ( log ` ( 4 ^ M ) ) )
158	7	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 x. _e ) e. CC
159	158	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. _e ) e. CC )
160	11	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. _e ) =/= 0 )
161	140, 159, 160	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. _e ) ) = ( ( 1 / ( 2 x. _e ) ) x. ( 2 x. M ) ) )
162	6	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e e. CC
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e e. CC )
164	6, 9	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . 13 |- _e =/= 0
165	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> _e =/= 0 )
166	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 2 =/= 0 )
167	128, 163, 148, 165, 166	divcan5d 10827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 2 x. M ) / ( 2 x. _e ) ) = ( M / _e ) )
168	161, 167	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 1 / ( 2 x. _e ) ) x. ( 2 x. M ) ) = ( M / _e ) )
169	157, 168	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. M ) ) - ( ( 1 / ( 2 x. _e ) ) x. ( 2 x. M ) ) ) = ( ( log ` ( 4 ^ M ) ) - ( M / _e ) ) )
170	141, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) = ( ( log ` ( 4 ^ M ) ) - ( M / _e ) ) )
171	93, 94	relogdivd 24372	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( ( 4 ^ M ) / M ) ) = ( ( log ` ( 4 ^ M ) ) - ( log ` M ) ) )
172	134, 170, 171	3brtr4d 4685	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) < ( log ` ( ( 4 ^ M ) / M ) ) )
173		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- if ( ( 2 x. M ) <_ ( ( 2 x. M ) _C M ) , ( 2 x. M ) , ( ( 2 x. M ) _C M ) ) = if ( ( 2 x. M ) <_ ( ( 2 x. M ) _C M ) , ( 2 x. M ) , ( ( 2 x. M ) _C M ) )
174	173	chebbnd1lem1 25158	. . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` 4 ) -> ( log ` ( ( 4 ^ M ) / M ) ) < ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) )
175	57, 174	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( ( 4 ^ M ) / M ) ) < ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) )
176	89, 96, 97, 172, 175	lttrd 10198	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) < ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) )
177	83, 97, 139	ltmuldivd 11919	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) x. ( 2 x. M ) ) < ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) <-> ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
178	176, 177	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) / ( 2 x. M ) ) )
179	86	recnd 10068	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) e. CC )
180	66	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( log ` ( 2 x. M ) ) e. CC )
181	139	rpcnne0d 11881	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 2 x. M ) e. CC /\ ( 2 x. M ) =/= 0 ) )
182		divass 10703	. . . . . 6 |- ( ( (π ` ( 2 x. M ) ) e. CC /\ ( log ` ( 2 x. M ) ) e. CC /\ ( ( 2 x. M ) e. CC /\ ( 2 x. M ) =/= 0 ) ) -> ( ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) / ( 2 x. M ) ) = ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
183	179, 180, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( log ` ( 2 x. M ) ) ) / ( 2 x. M ) ) = ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
184	178, 183	breqtrd 4679	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
185		flle 12600	. . . . . . . . 9 |- ( ( N / 2 ) e. RR -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) <_ ( N / 2 ) )
186	31, 185	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( |_ ` ( N / 2 ) ) <_ ( N / 2 ) )
187	29, 186	syl5eqbr 4688	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> M <_ ( N / 2 ) )
188		lemuldiv2 10904	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 2 x. M ) <_ N <-> M <_ ( N / 2 ) ) )
189	34, 20, 17, 48, 188	syl112anc 1330	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( 2 x. M ) <_ N <-> M <_ ( N / 2 ) ) )
190	187, 189	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. M ) <_ N )
191		ppiwordi 24888	. . . . . 6 |- ( ( ( 2 x. M ) e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 x. M ) <_ N ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) <_ (π ` N ) )
192	36, 20, 190, 191	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` ( 2 x. M ) ) <_ (π ` N ) )
193	66, 139	rpdivcld 11889	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) e. RR+ )
194	86, 28, 193	lemul1d 11915	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` ( 2 x. M ) ) <_ (π ` N ) <-> ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) <_ ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) ) )
195	192, 194	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` ( 2 x. M ) ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) <_ ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
196	83, 87, 72, 184, 195	ltletrd 10197	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) )
197		ltdiv1 10887	. . . 4 |- ( ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) e. RR /\ ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) <-> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) < ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) ) )
198	83, 72, 17, 48, 197	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) <-> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) < ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) ) )
199	196, 198	mpbid 222	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) < ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) )
200	29	chebbnd1lem2 25159	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) )
201		remulcl 10021	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ ( ( log ` N ) / N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR )
202	5, 81, 201	sylancr 695	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR )
203	27	nngt0d 11064	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> 0 < (π ` N ) )
204		ltmul2 10874	. . . . . 6 |- ( ( ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) e. RR /\ ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR /\ ( (π ` N ) e. RR /\ 0 < (π ` N ) ) ) -> ( ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) <-> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) ) )
205	71, 202, 28, 203, 204	syl112anc 1330	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) < ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) <-> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) ) )
206	200, 205	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( (π ` N ) x. ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) )
207	28	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> (π ` N ) e. CC )
208	81	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( log ` N ) / N ) e. CC )
209	207, 148, 208	mul12d 10245	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` N ) x. ( 2 x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) = ( 2 x. ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) )
210	206, 209	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( 2 x. ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) )
211		ltdivmul 10898	. . . 4 |- ( ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) e. RR /\ ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) <-> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( 2 x. ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) ) )
212	72, 82, 17, 48, 211	syl112anc 1330	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) <-> ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) < ( 2 x. ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) ) ) )
213	210, 212	mpbird 247	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( (π ` N ) x. ( ( log ` ( 2 x. M ) ) / ( 2 x. M ) ) ) / 2 ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) )
214	16, 74, 82, 199, 213	lttrd 10198	1 |- ( ( N e. RR /\ 8 <_ N ) -> ( ( ( log ` 2 ) - ( 1 / ( 2 x. _e ) ) ) / 2 ) < ( (π ` N ) x. ( ( log ` N ) / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   ifcif 4086   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   |_cfl 12591   ^cexp 12860   _C cbc 13089   _eceu 14793   logclog 24301  πcppi 24820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-ppi 24826

This theorem is referenced by:  chebbnd1  25161