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Theorem discr 13001

Description: If a quadratic polynomial with real coefficients is nonnegative for all values, then its discriminant is nonpositive. (Contributed by NM, 10-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
discr.1
discr.2
discr.3
discr.4	$/\$

**Assertion**
Ref	Expression
discr

Distinct variable groups:

**Proof of Theorem discr**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		discr.2	. . . . . . . . . 10
2	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 $/\$
3		resqcl 12931	. . . . . . . . 9
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 $/\$
5	4	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
6		4re 11097	. . . . . . . . 9
7		discr.1	. . . . . . . . . . 11
8	7	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
9		discr.3	. . . . . . . . . . 11
10	9	adantr 481	. . . . . . . . . 10 $/\$
11	8, 10	remulcld 10070	. . . . . . . . 9 $/\$
12		remulcl 10021	. . . . . . . . 9 $/\$
13	6, 11, 12	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
14	13	recnd 10068	. . . . . . 7 $/\$
15		4pos 11116	. . . . . . . . . 10
16	6, 15	elrpii 11835	. . . . . . . . 9
17		simpr 477	. . . . . . . . . 10 $/\$
18	8, 17	elrpd 11869	. . . . . . . . 9 $/\$
19		rpmulcl 11855	. . . . . . . . 9 $/\$
20	16, 18, 19	sylancr 695	. . . . . . . 8 $/\$
21	20	rpcnd 11874	. . . . . . 7 $/\$
22	20	rpne0d 11877	. . . . . . 7 $/\$
23	5, 14, 21, 22	divsubdird 10840	. . . . . 6 $/\$
24	11	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
25	8	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
26		4cn 11098	. . . . . . . . . 10
27	26	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
28	18	rpne0d 11877	. . . . . . . . 9 $/\$
29		4ne0 11117	. . . . . . . . . 10
30	29	a1i 11	. . . . . . . . 9 $/\$
31	24, 25, 27, 28, 30	divcan5d 10827	. . . . . . . 8 $/\$
32	10	recnd 10068	. . . . . . . . 9 $/\$
33	32, 25, 28	divcan3d 10806	. . . . . . . 8 $/\$
34	31, 33	eqtrd 2656	. . . . . . 7 $/\$
35	34	oveq2d 6666	. . . . . 6 $/\$
36	23, 35	eqtrd 2656	. . . . 5 $/\$
37	4, 20	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . 11 $/\$
38	37	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 $/\$
39	38	2timesd 11275	. . . . . . . . 9 $/\$
40		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . 13
41	40	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . 12
42		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
43	42, 42, 25	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
44	41, 43	syl5eqr 2670	. . . . . . . . . . 11 $/\$
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 $/\$
46	42, 5, 21, 22	divassd 10836	. . . . . . . . . 10 $/\$
47		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . 13
48		rpmulcl 11855	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
49	47, 18, 48	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
50	49	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . 11 $/\$
51	49	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . 11 $/\$
52		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . 12
53	52	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 $/\$
54	5, 50, 42, 51, 53	divcan5d 10827	. . . . . . . . . 10 $/\$
55	45, 46, 54	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . 9 $/\$
56	39, 55	eqtr3d 2658	. . . . . . . 8 $/\$
57	2, 49	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
58	57	renegcld 10457	. . . . . . . . . . 11 $/\$
59		discr.4	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
60	59	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
63	62	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
64		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
65	63, 64	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
66	65	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
67	66	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
68	67	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
69	58, 61, 68	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$
70	57	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
71		sqneg 12923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
73	2	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
74		sqdiv 12928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
75	73, 50, 51, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
76		sqval 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
77	50, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
78	50, 42, 25	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
79	42, 25, 42	mul32d 10246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
80	79, 41	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
81	80	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$
82	77, 78, 81	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
83	82	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
84	72, 75, 83	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
85	5, 21, 25, 22, 28	divdiv1d 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
86	84, 85	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
87	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
88	38, 25, 28	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
89	87, 88	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
90	73, 70	mulneg2d 10484	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
91		sqval 12922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
92	73, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
93	92	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
94	73, 73, 50, 51	divassd 10836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
95	93, 94	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
96	95	negeqd 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
97	90, 96	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	89, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	4, 49	rerpdivcld 11903	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
100	99	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
101	38, 100	negsubd 10398	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
102	98, 101	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
103	102	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . 11 $/\$
104	38, 32, 100	addsubd 10413	. . . . . . . . . . 11 $/\$
105	103, 104	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . 10 $/\$
106	69, 105	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 $/\$
107	37, 10	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 $/\$
108	107, 99	subge0d 10617	. . . . . . . . 9 $/\$
109	106, 108	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$
110	56, 109	eqbrtrd 4675	. . . . . . 7 $/\$
111	37, 10, 37	leadd2d 10622	. . . . . . 7 $/\$
112	110, 111	mpbird 247	. . . . . 6 $/\$
113	37, 10	suble0d 10618	. . . . . 6 $/\$
114	112, 113	mpbird 247	. . . . 5 $/\$
115	36, 114	eqbrtrd 4675	. . . 4 $/\$
116	4, 13	resubcld 10458	. . . . 5 $/\$
117		0red 10041	. . . . 5 $/\$
118	116, 117, 20	ledivmuld 11925	. . . 4 $/\$
119	115, 118	mpbid 222	. . 3 $/\$
120	21	mul01d 10235	. . 3 $/\$
121	119, 120	breqtrd 4679	. 2 $/\$
122	9	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
123	122	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
124		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	122, 125	ltnegd 10605	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	123, 126	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		df-neg 10269	. . . . . . . . . 10
129	127, 128	syl6breq 4694	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
130	125	renegcld 10457	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
131		0red 10041	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
132	130, 122, 131	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
133	129, 132	mpbird 247	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
134	133	expr 643	. . . . . . 7 $/\$
135	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
136		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
137	130, 135, 136	redivcld 10853	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
138	60	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
139		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16
140	139	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15
141		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . 15
142	140, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14
143	142	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13
144	143	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . 12
145	144	rspcv 3305	. . . . . . . . . . 11
146	137, 138, 145	sylc 65	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
148	147	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
149	137	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
150		sqcl 12925	. . . . . . . . . . . . . . . 16
151	149, 150	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
152	151	mul02d 10234	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
153	148, 152	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
154	130	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
155	135	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
156	154, 155, 136	divcan2d 10803	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
157	153, 156	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
158	154	addid2d 10237	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
159	157, 158	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
160	159	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
161	146, 160	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
162		0re 10040	. . . . . . . . . 10
163	130, 122	readdcld 10069	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
164		lenlt 10116	. . . . . . . . . 10 $/\$
165	162, 163, 164	sylancr 695	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
166	161, 165	mpbid 222	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
167	166	expr 643	. . . . . . 7 $/\$
168	134, 167	pm2.65d 187	. . . . . 6 $/\$
169		nne 2798	. . . . . 6
170	168, 169	sylib 208	. . . . 5 $/\$
171	170	sq0id 12957	. . . 4 $/\$
172		simpr 477	. . . . . . . 8 $/\$
173	172	oveq1d 6665	. . . . . . 7 $/\$
174	9	recnd 10068	. . . . . . . . 9
175	174	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$
176	175	mul02d 10234	. . . . . . 7 $/\$
177	173, 176	eqtr3d 2658	. . . . . 6 $/\$
178	177	oveq2d 6666	. . . . 5 $/\$
179	26	mul01i 10226	. . . . 5
180	178, 179	syl6eq 2672	. . . 4 $/\$
181	171, 180	oveq12d 6668	. . 3 $/\$
182		0m0e0 11130	. . . 4
183		0le0 11110	. . . 4
184	182, 183	eqbrtri 4674	. . 3
185	181, 184	syl6eqbr 4692	. 2 $/\$
186		eqid 2622	. . . 4
187	7, 1, 9, 59, 186	discr1 13000	. . 3
188		leloe 10124	. . . 4 $/\$ $\/$
189	162, 7, 188	sylancr 695	. . 3 $\/$
190	187, 189	mpbid 222	. 2 $\/$
191	121, 185, 190	mpjaodan 827	1

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wn 3

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384

wceq 1483

wcel 1990

wne 2794

wral 2912

cif 4086 class class class wbr 4653 (class class class)co 6650

cc 9934

cr 9935

cc0 9936

c1 9937

caddc 9939

cmul 9941

clt 10074

cle 10075

cmin 10266

cneg 10267

cdiv 10684

c2 11070

c4 11072

crp 11832

cexp 12860

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-er 7742 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-3 11080 df-4 11081 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-rp 11833 df-seq 12802 df-exp 12861

This theorem is referenced by: csbren 23182 normlem6 27972

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