Theorem pntlemr 25291

Description: Lemma for pntlemj 25292. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jun-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
pntlem1.r	|- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
pntlem1.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
pntlem1.b	|- ( ph -> B e. RR+ )
pntlem1.l	|- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
pntlem1.d	|- D = ( A + 1 )
pntlem1.f	|- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
pntlem1.u	|- ( ph -> U e. RR+ )
pntlem1.u2	|- ( ph -> U <_ A )
pntlem1.e	|- E = ( U / D )
pntlem1.k	|- K = ( exp ` ( B / E ) )
pntlem1.y	|- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
pntlem1.x	|- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
pntlem1.c	|- ( ph -> C e. RR+ )
pntlem1.w	|- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
pntlem1.z	|- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
pntlem1.m	|- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
pntlem1.n	|- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
pntlem1.U	|- ( ph -> A. z e. ( Y [,) +oo ) ( abs ` ( ( R ` z ) / z ) ) <_ U )
pntlem1.K	|- ( ph -> A. y e. ( X (,) +oo ) E. z e. RR+ ( ( y < z /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) < ( K x. y ) ) /\ A. u e. ( z [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. z ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.o	|- O = ( ( ( |_ ` ( Z / ( K ^ ( J + 1 ) ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / ( K ^ J ) ) ) )
pntlem1.v	|- ( ph -> V e. RR+ )
pntlem1.V	|- ( ph -> ( ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) /\ A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
pntlem1.j	|- ( ph -> J e. ( M..^ N ) )
pntlem1.i	|- I = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) )

Assertion

Ref	Expression
pntlemr	|- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, C   y, z, J   y, u, z, L   y, K, z   z, M   z, O   z, N   u, R, y, z   u, V   z, U   z, W   y, X, z   z, Y   u, a, y, z, E   u, Z, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, a)   A( y, z, u, a)   B( y, z, u, a)   C( y, u, a)   D( y, z, u, a)   R( a)   U( y, u, a)   F( y, z, u, a)   I( y, z, u, a)   J( u, a)   K( u, a)   L( a)   M( y, u, a)   N( y, u, a)   O( y, u, a)   V( y, z, a)   W( y, u, a)   X( u, a)   Y( y, u, a)   Z( y, a)

Proof of Theorem pntlemr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pntlem1.r	. . . . . . . . . . . . 13 |- R = ( a e. RR+ |-> ( (ψ ` a ) - a ) )
2		pntlem1.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A e. RR+ )
3		pntlem1.b	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> B e. RR+ )
4		pntlem1.l	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. ( 0 (,) 1 ) )
5		pntlem1.d	. . . . . . . . . . . . 13 |- D = ( A + 1 )
6		pntlem1.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( ( 1 - ( 1 / D ) ) x. ( ( L / (; 3 2 x. B ) ) / ( D ^ 2 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	pntlemd 25283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( L e. RR+ /\ D e. RR+ /\ F e. RR+ ) )
8	7	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> L e. RR+ )
9		pntlem1.u	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U e. RR+ )
10		pntlem1.u2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U <_ A )
11		pntlem1.e	. . . . . . . . . . . . 13 |- E = ( U / D )
12		pntlem1.k	. . . . . . . . . . . . 13 |- K = ( exp ` ( B / E ) )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12	pntlemc 25284	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( E e. RR+ /\ K e. RR+ /\ ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) ) )
14	13	simp1d 1073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E e. RR+ )
15	8, 14	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR+ )
16		4re 11097	. . . . . . . . . . 11 |- 4 e. RR
17		4pos 11116	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < 4
18	16, 17	elrpii 11835	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. RR+
19		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( L x. E ) e. RR+ /\ 4 e. RR+ ) -> ( ( L x. E ) / 4 ) e. RR+ )
20	15, 18, 19	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 4 ) e. RR+ )
21	20	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 4 ) e. RR )
22		pntlem1.y	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y e. RR+ /\ 1 <_ Y ) )
23		pntlem1.x	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( X e. RR+ /\ Y < X ) )
24		pntlem1.c	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR+ )
25		pntlem1.w	. . . . . . . . . . . 12 |- W = ( ( ( Y + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ^ 2 ) + ( ( ( X x. ( K ^ 2 ) ) ^ 4 ) + ( exp ` ( ( (; 3 2 x. B ) / ( ( U - E ) x. ( L x. ( E ^ 2 ) ) ) ) x. ( ( U x. 3 ) + C ) ) ) ) )
26		pntlem1.z	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Z e. ( W [,) +oo ) )
27	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26	pntlemb 25286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z e. RR+ /\ ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) /\ ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) ) )
28	27	simp1d 1073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Z e. RR+ )
29		pntlem1.v	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V e. RR+ )
30	28, 29	rpdivcld 11889	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Z / V ) e. RR+ )
31	30	rpred 11872	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z / V ) e. RR )
32	21, 31	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) e. RR )
33		pntlem1.i	. . . . . . . . . 10 |- I = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) )
34		fzfid 12772	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) e. Fin )
35	33, 34	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> I e. Fin )
36		hashcl 13147	. . . . . . . . 9 |- ( I e. Fin -> ( # ` I ) e. NN0 )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` I ) e. NN0 )
38	37	nn0red 11352	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( # ` I ) e. RR )
39	32	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) e. CC )
40		1rp 11836	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR+
41		rpaddcl 11854	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR+ )
42	40, 15, 41	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR+ )
43	42, 29	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR+ )
44	28, 43	rpdivcld 11889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR+ )
45	44	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR )
46		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. RR )
47	45, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. RR )
48	47	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. CC )
49		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 1 e. CC )
50	39, 48, 49	add32d 10263	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) + 1 ) = ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
51		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) e. RR -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) e. RR )
52	32, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) e. RR )
53	52, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) e. RR )
54		reflcl 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z / V ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. RR )
55	31, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. RR )
56		peano2re 10209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( |_ ` ( Z / V ) ) e. RR -> ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) e. RR )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) e. RR )
58	15	rphalfcld 11884	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 2 ) e. RR+ )
59	58, 30	rpmulcld 11888	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) e. RR+ )
60	59	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) e. RR )
61	60, 45	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) e. RR )
62		rpdivcl 11856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 4 e. RR+ /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
63	18, 15, 62	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR+ )
64	63	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. RR )
65	28	rpsqrtcld 14150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR+ )
66	65	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) e. RR )
67	27	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) /\ ( ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) + 2 ) <_ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) /\ ( ( U x. 3 ) + C ) <_ ( ( ( U - E ) x. ( ( L x. ( E ^ 2 ) ) / (; 3 2 x. B ) ) ) x. ( log ` Z ) ) ) )
68	67	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
69	43	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) e. RR )
70	13	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> K e. RR+ )
71		pntlem1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> J e. ( M..^ N ) )
72		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ZZ )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> J e. ZZ )
74	73	peano2zd 11485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ZZ )
75	70, 74	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) e. RR+ )
76	75	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) e. RR )
77		pntlem1.V	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) /\ A. u e. ( V [,] ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ( abs ` ( ( R ` u ) / u ) ) <_ E ) )
78	77	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( K ^ J ) < V /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) ) )
79	78	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K x. ( K ^ J ) ) )
80	70	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> K e. CC )
81	70, 73	rpexpcld 13032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> ( K ^ J ) e. RR+ )
82	81	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( K ^ J ) e. CC )
83	80, 82	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( K x. ( K ^ J ) ) = ( ( K ^ J ) x. K ) )
84		pntlem1.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- M = ( ( |_ ` ( ( log ` X ) / ( log ` K ) ) ) + 1 )
85		pntlem1.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- N = ( |_ ` ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 2 ) )
86	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 84, 85	pntlemg 25287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( ( log ` Z ) / ( log ` K ) ) / 4 ) <_ ( N - M ) ) )
87	86	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> M e. NN )
88		elfzouz 12474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( J e. ( M..^ N ) -> J e. ( ZZ>= ` M ) )
89	71, 88	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` M ) )
90		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( M e. NN /\ J e. ( ZZ>= ` M ) ) -> J e. NN )
91	87, 89, 90	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> J e. NN )
92	91	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> J e. NN0 )
93	80, 92	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) = ( ( K ^ J ) x. K ) )
94	83, 93	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( K x. ( K ^ J ) ) = ( K ^ ( J + 1 ) ) )
95	79, 94	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( K ^ ( J + 1 ) ) )
96	69, 76, 95	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( K ^ ( J + 1 ) ) )
97		fzofzp1 12565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( J e. ( M..^ N ) -> ( J + 1 ) e. ( M ... N ) )
98	71, 97	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( J + 1 ) e. ( M ... N ) )
99	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 22, 23, 24, 25, 26, 84, 85	pntlemh 25288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( J + 1 ) e. ( M ... N ) ) -> ( X < ( K ^ ( J + 1 ) ) /\ ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
100	98, 99	mpdan 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( X < ( K ^ ( J + 1 ) ) /\ ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) ) )
101	100	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( K ^ ( J + 1 ) ) <_ ( sqr ` Z ) )
102	69, 76, 66, 96, 101	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( sqr ` Z ) )
103	69, 66, 65	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <_ ( sqr ` Z ) <-> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) ) )
104	102, 103	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) )
105	28	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) )
106		remsqsqrt 13997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( sqr ` Z ) ) = Z )
108	104, 107	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ Z )
109	28	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Z e. RR )
110	66, 109, 43	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( ( sqr ` Z ) x. ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ Z <-> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
111	108, 110	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
112	29	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> V e. CC )
113	112	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 1 x. V ) = V )
114		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 e. RR )
115	42	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR )
116		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. RR
117		ltaddrp 11867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 1 e. RR /\ ( L x. E ) e. RR+ ) -> 1 < ( 1 + ( L x. E ) ) )
118	116, 15, 117	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < ( 1 + ( L x. E ) ) )
119	114, 115, 29, 118	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 1 x. V ) < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) )
120	113, 119	eqbrtrrd 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> V < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) )
121	29, 43, 28	ltdiv2d 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( V < ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) <-> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) < ( Z / V ) ) )
122	120, 121	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) < ( Z / V ) )
123	45, 31, 122	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( Z / V ) )
124	66, 45, 31, 111, 123	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( sqr ` Z ) <_ ( Z / V ) )
125	64, 66, 31, 68, 124	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) <_ ( Z / V ) )
126	64, 31, 31, 125	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) <_ ( ( Z / V ) + ( Z / V ) ) )
127	30	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( Z / V ) e. CC )
128	127	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( Z / V ) ) = ( ( Z / V ) + ( Z / V ) ) )
129	126, 128	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) <_ ( 2 x. ( Z / V ) ) )
130	31, 64	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) e. RR )
131		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 e. RR
132		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 2 e. RR /\ ( Z / V ) e. RR ) -> ( 2 x. ( Z / V ) ) e. RR )
133	131, 31, 132	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 2 x. ( Z / V ) ) e. RR )
134	130, 133, 20	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) <_ ( 2 x. ( Z / V ) ) <-> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) <_ ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 2 x. ( Z / V ) ) ) ) )
135	129, 134	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) <_ ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 2 x. ( Z / V ) ) ) )
136	20	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 4 ) e. CC )
137	63	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 4 / ( L x. E ) ) e. CC )
138	136, 127, 137	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) )
139	15	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( L x. E ) e. CC /\ ( L x. E ) =/= 0 ) )
140		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 e. RR+ -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
141	18, 140	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) )
142		divcan6 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( L x. E ) =/= 0 ) /\ ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 4 / ( L x. E ) ) ) = 1 )
143	139, 141, 142	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 4 / ( L x. E ) ) ) = 1 )
144	143	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) )
145	138, 144	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( Z / V ) + ( 4 / ( L x. E ) ) ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) )
146		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 2 e. CC )
147	136, 146, 127	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. 2 ) x. ( Z / V ) ) = ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 2 x. ( Z / V ) ) ) )
148	15	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( L x. E ) e. CC )
149		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 e. RR+
150		rpcnne0 11850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. RR+ -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
151	149, 150	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) )
152		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) / 2 ) = ( ( L x. E ) / ( 2 x. 2 ) ) )
153	148, 151, 151, 152	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) / 2 ) = ( ( L x. E ) / ( 2 x. 2 ) ) )
154		2t2e4 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 2 ) = 4
155	154	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( L x. E ) / ( 2 x. 2 ) ) = ( ( L x. E ) / 4 )
156	153, 155	syl6req 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 4 ) = ( ( ( L x. E ) / 2 ) / 2 ) )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. 2 ) = ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) / 2 ) x. 2 ) )
158	148	halfcld 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 2 ) e. CC )
159	151	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 2 =/= 0 )
160	158, 146, 159	divcan1d 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) / 2 ) x. 2 ) = ( ( L x. E ) / 2 ) )
161	157, 160	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. 2 ) = ( ( L x. E ) / 2 ) )
162	161	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. 2 ) x. ( Z / V ) ) = ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) )
163	147, 162	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( 2 x. ( Z / V ) ) ) = ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) )
164	135, 145, 163	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) <_ ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) )
165		flle 12600	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
166	45, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) <_ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) )
167	52, 47, 60, 45, 164, 166	le2addd 10646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) <_ ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
168	58	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 2 ) e. RR )
169	42	rprecred 11883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) e. RR )
170	168, 169	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) e. RR )
171	15	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( L x. E ) e. RR )
172	14	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> E e. RR )
173	8	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> L e. RR )
174		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( L e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
175	4, 174	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( 0 < L /\ L < 1 ) )
176	175	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> L < 1 )
177	173, 114, 14, 176	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( L x. E ) < ( 1 x. E ) )
178	14	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E e. CC )
179	178	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 1 x. E ) = E )
180	177, 179	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( L x. E ) < E )
181	13	simp3d 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( E e. ( 0 (,) 1 ) /\ 1 < K /\ ( U - E ) e. RR+ ) )
182	181	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> E e. ( 0 (,) 1 ) )
183		eliooord 12233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( E e. ( 0 (,) 1 ) -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
184	182, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( 0 < E /\ E < 1 ) )
185	184	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> E < 1 )
186	171, 172, 114, 180, 185	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( L x. E ) < 1 )
187	171, 114, 114, 186	ltadd2dd 10196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) < ( 1 + 1 ) )
188		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 = ( 1 + 1 )
189	187, 188	syl6breqr 4695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 )
190	42	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 + ( L x. E ) ) ) )
191	131	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 2 e. RR )
192		2pos 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
193	192	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> 0 < 2 )
194	15	rpregt0d 11878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( L x. E ) e. RR /\ 0 < ( L x. E ) ) )
195		ltdiv2 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. RR /\ 0 < ( 1 + ( L x. E ) ) ) /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) /\ ( ( L x. E ) e. RR /\ 0 < ( L x. E ) ) ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 <-> ( ( L x. E ) / 2 ) < ( ( L x. E ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
196	190, 191, 193, 194, 195	syl121anc 1331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) < 2 <-> ( ( L x. E ) / 2 ) < ( ( L x. E ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
197	189, 196	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 2 ) < ( ( L x. E ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) )
198	42	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC )
199	42	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 ) )
200		divsubdir 10721	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) - 1 ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
201	198, 49, 199, 200	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) - 1 ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
202		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
203		pncan2 10288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 e. CC /\ ( L x. E ) e. CC ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) - 1 ) = ( L x. E ) )
204	202, 148, 203	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) - 1 ) = ( L x. E ) )
205	204	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) - 1 ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( ( L x. E ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) )
206		divid 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 ) -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = 1 )
207	199, 206	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = 1 )
208	207	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
209	201, 205, 208	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( 1 - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
210	197, 209	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 2 ) < ( 1 - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
211	168, 169, 114	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) < 1 <-> ( ( L x. E ) / 2 ) < ( 1 - ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) ) )
212	210, 211	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) < 1 )
213	170, 114, 30, 212	ltmul1dd 11927	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) x. ( Z / V ) ) < ( 1 x. ( Z / V ) ) )
214		reccl 10692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 ) -> ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) e. CC )
215	199, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) e. CC )
216	158, 215, 127	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) x. ( Z / V ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) x. ( Z / V ) ) ) )
217	198, 112	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) = ( V x. ( 1 + ( L x. E ) ) ) )
218	217	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) = ( Z / ( V x. ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
219	28	rpcnd 11874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> Z e. CC )
220	29	rpcnne0d 11881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( V e. CC /\ V =/= 0 ) )
221		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Z e. CC /\ ( V e. CC /\ V =/= 0 ) /\ ( ( 1 + ( L x. E ) ) e. CC /\ ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 ) ) -> ( ( Z / V ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( Z / ( V x. ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
222	219, 220, 199, 221	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Z / V ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( Z / ( V x. ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) )
223	42	rpne0d 11877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 + ( L x. E ) ) =/= 0 )
224	127, 198, 223	divrec2d 10805	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( Z / V ) / ( 1 + ( L x. E ) ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) x. ( Z / V ) ) )
225	218, 222, 224	3eqtr2d 2662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) = ( ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) x. ( Z / V ) ) )
226	225	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) x. ( Z / V ) ) ) )
227	216, 226	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) + ( 1 / ( 1 + ( L x. E ) ) ) ) x. ( Z / V ) ) = ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) )
228	127	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( 1 x. ( Z / V ) ) = ( Z / V ) )
229	213, 227, 228	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 2 ) x. ( Z / V ) ) + ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) < ( Z / V ) )
230	53, 61, 31, 167, 229	lelttrd 10195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) < ( Z / V ) )
231		fllep1 12602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z / V ) e. RR -> ( Z / V ) <_ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) )
232	31, 231	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Z / V ) <_ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) )
233	53, 31, 57, 230, 232	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + 1 ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) < ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) )
234	50, 233	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) + 1 ) < ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) )
235	32, 47	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) e. RR )
236	235, 55, 114	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) < ( |_ ` ( Z / V ) ) <-> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) + 1 ) < ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) )
237	234, 236	mpbird 247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) < ( |_ ` ( Z / V ) ) )
238	32, 47, 55	ltaddsubd 10627	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) + ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) < ( |_ ` ( Z / V ) ) <-> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) < ( ( |_ ` ( Z / V ) ) - ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) ) )
239	237, 238	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) < ( ( |_ ` ( Z / V ) ) - ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
240	31	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. ZZ )
241		fzval3 12536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( |_ ` ( Z / V ) ) e. ZZ -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) )
242	240, 241	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ... ( |_ ` ( Z / V ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) )
243	33, 242	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> I = ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) )
244	243	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` I ) = ( # ` ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) ) )
245		flword2 12614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) e. RR /\ ( Z / V ) e. RR /\ ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) <_ ( Z / V ) ) -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
246	45, 31, 123, 245	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
247		eluzp1p1 11713	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( |_ ` ( Z / V ) ) e. ( ZZ>= ` ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) -> ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
248	246, 247	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
249		hashfzo 13216	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) -> ( # ` ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) - ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
250	248, 249	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( # ` ( ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 )..^ ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) ) ) = ( ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) - ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) )
251	55	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` ( Z / V ) ) e. CC )
252	251, 48, 49	pnpcan2d 10430	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` ( Z / V ) ) + 1 ) - ( ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) + 1 ) ) = ( ( |_ ` ( Z / V ) ) - ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
253	244, 250, 252	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( # ` I ) = ( ( |_ ` ( Z / V ) ) - ( |_ ` ( Z / ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) ) ) ) )
254	239, 253	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) < ( # ` I ) )
255	32, 38, 254	ltled 10185	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) <_ ( # ` I ) )
256	21, 38, 30	lemuldivd 11921	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( Z / V ) ) <_ ( # ` I ) <-> ( ( L x. E ) / 4 ) <_ ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) ) )
257	255, 256	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 4 ) <_ ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) )
258	29	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> V e. RR )
259	69, 76, 66, 95, 101	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( 1 + ( L x. E ) ) x. V ) < ( sqr ` Z ) )
260	258, 69, 66, 120, 259	lttrd 10198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> V < ( sqr ` Z ) )
261	258, 66, 260	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> V <_ ( sqr ` Z ) )
262	29	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( V e. RR /\ 0 <_ V ) )
263	65	rprege0d 11879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) )
264		le2sq 12938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( V e. RR /\ 0 <_ V ) /\ ( ( sqr ` Z ) e. RR /\ 0 <_ ( sqr ` Z ) ) ) -> ( V <_ ( sqr ` Z ) <-> ( V ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
265	262, 263, 264	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V <_ ( sqr ` Z ) <-> ( V ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) ) )
266	261, 265	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V ^ 2 ) <_ ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) )
267		resqrtth 13996	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z e. RR /\ 0 <_ Z ) -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
268	105, 267	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( sqr ` Z ) ^ 2 ) = Z )
269	266, 268	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( V ^ 2 ) <_ Z )
270		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. ZZ
271		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( V e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( V ^ 2 ) e. RR+ )
272	29, 270, 271	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( V ^ 2 ) e. RR+ )
273	272	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( V ^ 2 ) e. RR )
274	273, 109, 28	lemul2d 11916	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( V ^ 2 ) <_ Z <-> ( Z x. ( V ^ 2 ) ) <_ ( Z x. Z ) ) )
275	269, 274	mpbid 222	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z x. ( V ^ 2 ) ) <_ ( Z x. Z ) )
276	219	sqvald 13005	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z ^ 2 ) = ( Z x. Z ) )
277	275, 276	breqtrrd 4681	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Z x. ( V ^ 2 ) ) <_ ( Z ^ 2 ) )
278	109	resqcld 13035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Z ^ 2 ) e. RR )
279	109, 278, 272	lemuldivd 11921	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Z x. ( V ^ 2 ) ) <_ ( Z ^ 2 ) <-> Z <_ ( ( Z ^ 2 ) / ( V ^ 2 ) ) ) )
280	277, 279	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Z <_ ( ( Z ^ 2 ) / ( V ^ 2 ) ) )
281	29	rpne0d 11877	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> V =/= 0 )
282	219, 112, 281	sqdivd 13021	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Z / V ) ^ 2 ) = ( ( Z ^ 2 ) / ( V ^ 2 ) ) )
283	280, 282	breqtrrd 4681	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Z <_ ( ( Z / V ) ^ 2 ) )
284		rpexpcl 12879	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Z / V ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( ( Z / V ) ^ 2 ) e. RR+ )
285	30, 270, 284	sylancl 694	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Z / V ) ^ 2 ) e. RR+ )
286	28, 285	logled 24373	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Z <_ ( ( Z / V ) ^ 2 ) <-> ( log ` Z ) <_ ( log ` ( ( Z / V ) ^ 2 ) ) ) )
287	283, 286	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) <_ ( log ` ( ( Z / V ) ^ 2 ) ) )
288		relogexp 24342	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Z / V ) e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( log ` ( ( Z / V ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
289	30, 270, 288	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( ( Z / V ) ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
290	287, 289	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) <_ ( 2 x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
291	28	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR )
292	30	relogcld 24369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( log ` ( Z / V ) ) e. RR )
293		ledivmul 10899	. . . . . . 7 |- ( ( ( log ` Z ) e. RR /\ ( log ` ( Z / V ) ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( ( log ` Z ) / 2 ) <_ ( log ` ( Z / V ) ) <-> ( log ` Z ) <_ ( 2 x. ( log ` ( Z / V ) ) ) ) )
294	291, 292, 191, 193, 293	syl112anc 1330	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / 2 ) <_ ( log ` ( Z / V ) ) <-> ( log ` Z ) <_ ( 2 x. ( log ` ( Z / V ) ) ) ) )
295	290, 294	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / 2 ) <_ ( log ` ( Z / V ) ) )
296	20	rprege0d 11879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( L x. E ) / 4 ) ) )
297	38, 30	rerpdivcld 11903	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) e. RR )
298	27	simp2d 1074	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1 < Z /\ _e <_ ( sqr ` Z ) /\ ( sqr ` Z ) <_ ( Z / Y ) ) )
299	298	simp1d 1073	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 < Z )
300	109, 299	rplogcld 24375	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. RR+ )
301	300	rphalfcld 11884	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( log ` Z ) / 2 ) e. RR+ )
302	301	rprege0d 11879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( log ` Z ) / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` Z ) / 2 ) ) )
303		lemul12a 10881	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( L x. E ) / 4 ) ) /\ ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) e. RR ) /\ ( ( ( ( log ` Z ) / 2 ) e. RR /\ 0 <_ ( ( log ` Z ) / 2 ) ) /\ ( log ` ( Z / V ) ) e. RR ) ) -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) <_ ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) /\ ( ( log ` Z ) / 2 ) <_ ( log ` ( Z / V ) ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) <_ ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) ) )
304	296, 297, 302, 292, 303	syl22anc 1327	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 4 ) <_ ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) /\ ( ( log ` Z ) / 2 ) <_ ( log ` ( Z / V ) ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) <_ ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) ) )
305	257, 295, 304	mp2and 715	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) <_ ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
306	300	rpcnd 11874	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` Z ) e. CC )
307		8nn 11191	. . . . . . . 8 |- 8 e. NN
308		nnrp 11842	. . . . . . . 8 |- ( 8 e. NN -> 8 e. RR+ )
309	307, 308	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- 8 e. RR+
310		rpcnne0 11850	. . . . . . 7 |- ( 8 e. RR+ -> ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) )
311	309, 310	mp1i 13	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) )
312		div23 10704	. . . . . 6 |- ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( log ` Z ) e. CC /\ ( 8 e. CC /\ 8 =/= 0 ) ) -> ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / 8 ) = ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) )
313	148, 306, 311, 312	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / 8 ) = ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) )
314		divmuldiv 10725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( L x. E ) e. CC /\ ( log ` Z ) e. CC ) /\ ( ( 4 e. CC /\ 4 =/= 0 ) /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) ) ) -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) = ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / ( 4 x. 2 ) ) )
315	148, 306, 141, 151, 314	syl22anc 1327	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) = ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / ( 4 x. 2 ) ) )
316		4t2e8 11181	. . . . . . 7 |- ( 4 x. 2 ) = 8
317	316	oveq2i 6661	. . . . . 6 |- ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / ( 4 x. 2 ) ) = ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / 8 )
318	315, 317	syl6req 2673	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) x. ( log ` Z ) ) / 8 ) = ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) )
319	313, 318	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) = ( ( ( L x. E ) / 4 ) x. ( ( log ` Z ) / 2 ) ) )
320	38	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( # ` I ) e. CC )
321	292	recnd 10068	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` ( Z / V ) ) e. CC )
322	30	rpcnne0d 11881	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Z / V ) e. CC /\ ( Z / V ) =/= 0 ) )
323		divass 10703	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` I ) e. CC /\ ( log ` ( Z / V ) ) e. CC /\ ( ( Z / V ) e. CC /\ ( Z / V ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( # ` I ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) / ( Z / V ) ) = ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) )
324		div23 10704	. . . . . 6 |- ( ( ( # ` I ) e. CC /\ ( log ` ( Z / V ) ) e. CC /\ ( ( Z / V ) e. CC /\ ( Z / V ) =/= 0 ) ) -> ( ( ( # ` I ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) / ( Z / V ) ) = ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
325	323, 324	eqtr3d 2658	. . . . 5 |- ( ( ( # ` I ) e. CC /\ ( log ` ( Z / V ) ) e. CC /\ ( ( Z / V ) e. CC /\ ( Z / V ) =/= 0 ) ) -> ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
326	320, 321, 322, 325	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) = ( ( ( # ` I ) / ( Z / V ) ) x. ( log ` ( Z / V ) ) ) )
327	305, 319, 326	3brtr4d 4685	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) )
328		rpdivcl 11856	. . . . . . 7 |- ( ( ( L x. E ) e. RR+ /\ 8 e. RR+ ) -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
329	15, 309, 328	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( L x. E ) / 8 ) e. RR+ )
330	329, 300	rpmulcld 11888	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR+ )
331	330	rpred 11872	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) e. RR )
332	292, 30	rerpdivcld 11903	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) e. RR )
333	38, 332	remulcld 10070	. . . 4 |- ( ph -> ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) e. RR )
334	181	simp3d 1075	. . . 4 |- ( ph -> ( U - E ) e. RR+ )
335	331, 333, 334	lemul2d 11916	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) <_ ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) <-> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) ) )
336	327, 335	mpbid 222	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ ( ( U - E ) x. ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )
337	334	rpcnd 11874	. . 3 |- ( ph -> ( U - E ) e. CC )
338	332	recnd 10068	. . 3 |- ( ph -> ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) e. CC )
339	337, 320, 338	mul12d 10245	. 2 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( # ` I ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) = ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )
340	336, 339	breqtrd 4679	1 |- ( ph -> ( ( U - E ) x. ( ( ( L x. E ) / 8 ) x. ( log ` Z ) ) ) <_ ( ( # ` I ) x. ( ( U - E ) x. ( ( log ` ( Z / V ) ) / ( Z / V ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   +oocpnf 10071   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   8c8 11076   NN0cn0 11292   ZZcz 11377  ;cdc 11493   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   [,)cico 12177   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465   |_cfl 12591   ^cexp 12860   #chash 13117   sqrcsqrt 13973   abscabs 13974   expce 14792   _eceu 14793   logclog 24301  ψcchp 24819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303

This theorem is referenced by:  pntlemj  25292