Theorem fourierswlem 40447

Description: The Fourier series for the square wave F converges to Y, a simpler expression for this special case. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierswlem.t	|- T = ( 2 x. pi )
fourierswlem.f	|- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
fourierswlem.x	|- X e. RR
fourierswlem.y	|- Y = if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) )

Assertion

Ref	Expression
fourierswlem	|- Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 )

Distinct variable groups:   x, T   x, X

Allowed substitution hints:   F( x)   Y( x)

Proof of Theorem fourierswlem

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> 2 || ( X / pi ) )
2		2z 11409	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. ZZ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> 2 e. ZZ )
4		fourierswlem.x	. . . . . . . . . . . . . 14 |- X e. RR
5		pirp 24213	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi e. RR+
6		mod0 12675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR /\ pi e. RR+ ) -> ( ( X mod pi ) = 0 <-> ( X / pi ) e. ZZ ) )
7	4, 5, 6	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X mod pi ) = 0 <-> ( X / pi ) e. ZZ )
8	7	biimpi 206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> ( X / pi ) e. ZZ )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( X / pi ) e. ZZ )
10		divides 14985	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( X / pi ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( X / pi ) <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) )
11	3, 9, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( 2 || ( X / pi ) <-> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) )
12	1, 11	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) )
13		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> 2 e. CC )
14		picn 24211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi e. CC
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> pi e. CC )
16		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> k e. CC )
17	13, 15, 16	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( ( 2 x. pi ) x. k ) = ( 2 x. ( pi x. k ) ) )
18	15, 16	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> ( pi x. k ) e. CC )
19	13, 18	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. ( pi x. k ) ) = ( ( pi x. k ) x. 2 ) )
20	17, 19	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( ( 2 x. pi ) x. k ) = ( ( pi x. k ) x. 2 ) )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( 2 x. pi ) x. k ) = ( ( pi x. k ) x. 2 ) )
22	15, 16, 13	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( ( pi x. k ) x. 2 ) = ( pi x. ( k x. 2 ) ) )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( pi x. k ) x. 2 ) = ( pi x. ( k x. 2 ) ) )
24		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k x. 2 ) = ( X / pi ) -> ( k x. 2 ) = ( X / pi ) )
25	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k x. 2 ) = ( X / pi ) -> ( X / pi ) = ( k x. 2 ) )
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( X / pi ) = ( k x. 2 ) )
27	4	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- X e. CC
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> X e. CC )
29	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> pi e. CC )
30	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> k e. CC )
31		2cnd 11093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> 2 e. CC )
32	30, 31	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( k x. 2 ) e. CC )
33		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- pi e. RR
34		pipos 24212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < pi
35	33, 34	gt0ne0ii 10564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- pi =/= 0
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> pi =/= 0 )
37	28, 29, 32, 36	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( X / pi ) = ( k x. 2 ) <-> ( pi x. ( k x. 2 ) ) = X ) )
38	26, 37	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( pi x. ( k x. 2 ) ) = X )
39	21, 23, 38	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> X = ( ( 2 x. pi ) x. k ) )
40		fourierswlem.t	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- T = ( 2 x. pi )
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> T = ( 2 x. pi ) )
42	39, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( X / T ) = ( ( ( 2 x. pi ) x. k ) / ( 2 x. pi ) ) )
43	13, 15	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. pi ) e. CC )
44		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 =/= 0
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> 2 =/= 0 )
46	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> pi =/= 0 )
47	13, 15, 45, 46	mulne0d 10679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. pi ) =/= 0 )
48	16, 43, 47	divcan3d 10806	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. pi ) x. k ) / ( 2 x. pi ) ) = k )
49	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( ( 2 x. pi ) x. k ) / ( 2 x. pi ) ) = k )
50	42, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( X / T ) = k )
51		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> k e. ZZ )
52	50, 51	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) ) -> ( X / T ) e. ZZ )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) = ( X / pi ) -> ( X / T ) e. ZZ ) )
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) = ( X / pi ) -> ( X / T ) e. ZZ ) ) )
55	54	rexlimdv 3030	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( E. k e. ZZ ( k x. 2 ) = ( X / pi ) -> ( X / T ) e. ZZ ) )
56	12, 55	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( X / T ) e. ZZ )
57		2re 11090	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
58	57, 33	remulcli 10054	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. pi ) e. RR
59	40, 58	eqeltri 2697	. . . . . . . . . 10 |- T e. RR
60		2pos 11112	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
61	57, 33, 60, 34	mulgt0ii 10170	. . . . . . . . . . 11 |- 0 < ( 2 x. pi )
62	61, 40	breqtrri 4680	. . . . . . . . . 10 |- 0 < T
63	59, 62	elrpii 11835	. . . . . . . . 9 |- T e. RR+
64		mod0 12675	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. RR /\ T e. RR+ ) -> ( ( X mod T ) = 0 <-> ( X / T ) e. ZZ ) )
65	4, 63, 64	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) = 0 <-> ( X / T ) e. ZZ )
66	56, 65	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( X mod T ) = 0 )
67	66	orcd 407	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ 2 || ( X / pi ) ) -> ( ( X mod T ) = 0 \/ ( X mod T ) = pi ) )
68		odd2np1 15065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X / pi ) e. ZZ -> ( -. 2 || ( X / pi ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) )
69	7, 68	sylbi 207	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> ( -. 2 || ( X / pi ) <-> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) )
70	69	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. 2 || ( X / pi ) ) -> E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) )
71	13, 16	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. k ) e. CC )
72	71	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( 2 x. k ) e. CC )
73		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> 1 e. CC )
74	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> pi e. CC )
75	72, 73, 74	adddird 10065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) x. pi ) = ( ( ( 2 x. k ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) )
76	13, 16	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. k ) = ( k x. 2 ) )
77	76	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( ( 2 x. k ) x. pi ) = ( ( k x. 2 ) x. pi ) )
78	16, 13, 15	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. 2 ) x. pi ) = ( k x. ( 2 x. pi ) ) )
79	40	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. pi ) = T
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ZZ -> ( 2 x. pi ) = T )
81	80	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> ( k x. ( 2 x. pi ) ) = ( k x. T ) )
82	77, 78, 81	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( ( 2 x. k ) x. pi ) = ( k x. T ) )
83	14	mulid2i 10043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1 x. pi ) = pi
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( 1 x. pi ) = pi )
85	82, 84	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. k ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( k x. T ) + pi ) )
86	85	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) x. pi ) + ( 1 x. pi ) ) = ( ( k x. T ) + pi ) )
87	40, 43	syl5eqel 2705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ZZ -> T e. CC )
88	16, 87	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ZZ -> ( k x. T ) e. CC )
89	88, 15	addcomd 10238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( ( k x. T ) + pi ) = ( pi + ( k x. T ) ) )
90	89	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( k x. T ) + pi ) = ( pi + ( k x. T ) ) )
91	75, 86, 90	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( pi + ( k x. T ) ) = ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) x. pi ) )
92		peano2cn 10208	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 x. k ) e. CC -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
93	71, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ZZ -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
94	93, 15	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) x. pi ) = ( pi x. ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) x. pi ) = ( pi x. ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) )
96		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) )
97	96	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) -> ( X / pi ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( X / pi ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) )
99	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> X e. CC )
100	93	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( 2 x. k ) + 1 ) e. CC )
101	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> pi =/= 0 )
102	99, 74, 100, 101	divmuld 10823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( X / pi ) = ( ( 2 x. k ) + 1 ) <-> ( pi x. ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = X ) )
103	98, 102	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( pi x. ( ( 2 x. k ) + 1 ) ) = X )
104	91, 95, 103	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> X = ( pi + ( k x. T ) ) )
105	104	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( X mod T ) = ( ( pi + ( k x. T ) ) mod T ) )
106		modcyc 12705	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( pi e. RR /\ T e. RR+ /\ k e. ZZ ) -> ( ( pi + ( k x. T ) ) mod T ) = ( pi mod T ) )
107	33, 63, 106	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ZZ -> ( ( pi + ( k x. T ) ) mod T ) = ( pi mod T ) )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( ( pi + ( k x. T ) ) mod T ) = ( pi mod T ) )
109	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> pi e. RR )
110	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> T e. RR+ )
111		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0 e. RR
112	111, 33, 34	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 <_ pi
113	112	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> 0 <_ pi )
114		2timesgt 39500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi e. RR+ -> pi < ( 2 x. pi ) )
115	5, 114	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi < ( 2 x. pi )
116	115, 40	breqtrri 4680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- pi < T
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> pi < T )
118		modid 12695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( pi e. RR /\ T e. RR+ ) /\ ( 0 <_ pi /\ pi < T ) ) -> ( pi mod T ) = pi )
119	109, 110, 113, 117, 118	syl22anc 1327	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( pi mod T ) = pi )
120	105, 108, 119	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ZZ /\ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) ) -> ( X mod T ) = pi )
121	120	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) -> ( X mod T ) = pi ) )
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. 2 || ( X / pi ) ) -> ( k e. ZZ -> ( ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) -> ( X mod T ) = pi ) ) )
123	122	rexlimdv 3030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. 2 || ( X / pi ) ) -> ( E. k e. ZZ ( ( 2 x. k ) + 1 ) = ( X / pi ) -> ( X mod T ) = pi ) )
124	70, 123	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. 2 || ( X / pi ) ) -> ( X mod T ) = pi )
125	124	olcd 408	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. 2 || ( X / pi ) ) -> ( ( X mod T ) = 0 \/ ( X mod T ) = pi ) )
126	67, 125	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> ( ( X mod T ) = 0 \/ ( X mod T ) = pi ) )
127		0xr 10086	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
128	33	rexri 10097	. . . . . . . 8 |- pi e. RR*
129		iocgtlb 39724	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) ) -> 0 < ( X mod T ) )
130	127, 128, 129	mp3an12 1414	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> 0 < ( X mod T ) )
131	130	gt0ne0d 10592	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> ( X mod T ) =/= 0 )
132	131	neneqd 2799	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> -. ( X mod T ) = 0 )
133		pm2.53 388	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod T ) = 0 \/ ( X mod T ) = pi ) -> ( -. ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) = pi ) )
134	133	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( X mod T ) = 0 \/ ( X mod T ) = pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) = pi )
135	126, 132, 134	syl2anr 495	. . . 4 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) -> ( X mod T ) = pi )
136	127	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> 0 e. RR* )
137	128	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> pi e. RR* )
138		modcl 12672	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ T e. RR+ ) -> ( X mod T ) e. RR )
139	4, 63, 138	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X mod T ) e. RR
140	139	rexri 10097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X mod T ) e. RR*
141	140	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> ( X mod T ) e. RR* )
142		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X mod T ) = pi -> ( X mod T ) = pi )
143	34, 142	syl5breqr 4691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> 0 < ( X mod T ) )
144	33	eqlei2 10148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> ( X mod T ) <_ pi )
145	136, 137, 141, 143, 144	eliocd 39730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X mod T ) = pi -> ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) )
146	145	iftrued 4094	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X mod T ) = pi -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = 1 )
147	146	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = pi ) -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = 1 )
148		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> ( x mod T ) = ( X mod T ) )
149	148	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = X -> ( ( x mod T ) < pi <-> ( X mod T ) < pi ) )
150	149	ifbid 4108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
151		fourierswlem.f	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( x e. RR |-> if ( ( x mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
152		1ex 10035	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. _V
153		negex 10279	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u 1 e. _V
154	152, 153	ifex 4156	. . . . . . . . . . . . 13 |- if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) e. _V
155	150, 151, 154	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. RR -> ( F ` X ) = if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) )
156	4, 155	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( F ` X ) = if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 )
157	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X mod T ) < pi -> ( X mod T ) e. RR )
158		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X mod T ) < pi -> ( X mod T ) < pi )
159	157, 158	ltned 10173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X mod T ) < pi -> ( X mod T ) =/= pi )
160	159	necon2bi 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X mod T ) = pi -> -. ( X mod T ) < pi )
161	160	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X mod T ) = pi -> if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
162	156, 161	syl5eq 2668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X mod T ) = pi -> ( F ` X ) = -u 1 )
163	162	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( F ` X ) = -u 1 )
164	147, 163	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) = ( 1 + -u 1 ) )
165		1pneg1e0 11129	. . . . . . . 8 |- ( 1 + -u 1 ) = 0
166	164, 165	syl6eq 2672	. . . . . . 7 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) = 0 )
167	166	oveq1d 6665	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
168	167	adantll 750	. . . . 5 |- ( ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) = ( 0 / 2 ) )
169		2cn 11091	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
170	169, 44	div0i 10759	. . . . . 6 |- ( 0 / 2 ) = 0
171	170	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) /\ ( X mod T ) = pi ) -> ( 0 / 2 ) = 0 )
172		fourierswlem.y	. . . . . . 7 |- Y = if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) )
173		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) ) = 0 )
174	172, 173	syl5req 2669	. . . . . 6 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> 0 = Y )
175	174	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) /\ ( X mod T ) = pi ) -> 0 = Y )
176	168, 171, 175	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) /\ ( X mod T ) = pi ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
177	135, 176	mpdan 702	. . 3 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod pi ) = 0 ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
178		iftrue 4092	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = 1 )
179	178	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = 1 )
180	139	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( X mod T ) e. RR )
181	33	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> pi e. RR )
182		iocleub 39725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0 e. RR* /\ pi e. RR* /\ ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) ) -> ( X mod T ) <_ pi )
183	127, 128, 182	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> ( X mod T ) <_ pi )
184	183	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( X mod T ) <_ pi )
185		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. CC
186	185, 14	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 1 x. pi ) = ( pi x. 1 )
187	83, 186	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- pi = ( pi x. 1 )
188	187	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi + ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) = ( ( pi x. 1 ) + ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
189	169, 14	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. pi ) = ( pi x. 2 )
190	40, 189	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- T = ( pi x. 2 )
191	190	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) = ( ( pi x. 2 ) x. ( |_ ` ( X / T ) ) )
192	111, 62	gtneii 10149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- T =/= 0
193	4, 59, 192	redivcli 10792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X / T ) e. RR
194		flcl 12596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( X / T ) e. RR -> ( |_ ` ( X / T ) ) e. ZZ )
195	193, 194	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( |_ ` ( X / T ) ) e. ZZ
196		zcn 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( |_ ` ( X / T ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( X / T ) ) e. CC )
197	195, 196	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( |_ ` ( X / T ) ) e. CC
198	14, 169, 197	mulassi 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( pi x. 2 ) x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) = ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) )
199	191, 198	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) = ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) )
200	199	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) = ( pi + ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
201	169, 197	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. CC
202	14, 185, 201	adddii 10050	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) = ( ( pi x. 1 ) + ( pi x. ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
203	188, 200, 202	3eqtr4ri 2655	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) = ( pi + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) )
204	203	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) = ( pi + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
205		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( pi = ( X mod T ) -> pi = ( X mod T ) )
206		modval 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. RR /\ T e. RR+ ) -> ( X mod T ) = ( X - ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
207	4, 63, 206	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( X mod T ) = ( X - ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) )
208	205, 207	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi = ( X mod T ) -> pi = ( X - ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
209	208	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( pi + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) = ( ( X - ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
210	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi = ( X mod T ) -> X e. CC )
211	59	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- T e. CC
212	211, 197	mulcli 10045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. CC
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. CC )
214	210, 213	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( ( X - ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) + ( T x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) = X )
215	204, 209, 214	3eqtrrd 2661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi = ( X mod T ) -> X = ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) )
216	215	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( X / pi ) = ( ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) / pi ) )
217	185, 201	addcli 10044	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) e. CC
218	217, 14, 35	divcan3i 10771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( pi x. ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) ) / pi ) = ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) )
219	216, 218	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( X / pi ) = ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) )
220		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. ZZ
221		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` ( X / T ) ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. ZZ )
222	2, 195, 221	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. ZZ
223		zaddcl 11417	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1 e. ZZ /\ ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) e. ZZ ) -> ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) e. ZZ )
224	220, 222, 223	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) e. ZZ
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( 1 + ( 2 x. ( |_ ` ( X / T ) ) ) ) e. ZZ )
226	219, 225	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . 11 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( X / pi ) e. ZZ )
227	226, 7	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( pi = ( X mod T ) -> ( X mod pi ) = 0 )
228	227	necon3bi 2820	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( X mod pi ) = 0 -> pi =/= ( X mod T ) )
229	228	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> pi =/= ( X mod T ) )
230	180, 181, 184, 229	leneltd 10191	. . . . . . 7 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( X mod T ) < pi )
231		iftrue 4092	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) < pi -> if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
232	156, 231	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) < pi -> ( F ` X ) = 1 )
233	230, 232	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( F ` X ) = 1 )
234	179, 233	oveq12d 6668	. . . . 5 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) = ( 1 + 1 ) )
235	234	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) = ( ( 1 + 1 ) / 2 ) )
236		1p1e2 11134	. . . . . . 7 |- ( 1 + 1 ) = 2
237	236	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = ( 2 / 2 )
238		2div2e1 11150	. . . . . 6 |- ( 2 / 2 ) = 1
239	237, 238	eqtr2i 2645	. . . . 5 |- 1 = ( ( 1 + 1 ) / 2 )
240	233, 239	syl6req 2673	. . . 4 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( ( 1 + 1 ) / 2 ) = ( F ` X ) )
241		iffalse 4095	. . . . . 6 |- ( -. ( X mod pi ) = 0 -> if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
242	172, 241	syl5req 2669	. . . . 5 |- ( -. ( X mod pi ) = 0 -> ( F ` X ) = Y )
243	242	adantl 482	. . . 4 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> ( F ` X ) = Y )
244	235, 240, 243	3eqtrrd 2661	. . 3 |- ( ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod pi ) = 0 ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
245	177, 244	pm2.61dan 832	. 2 |- ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
246	131	necon2bi 2824	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) = 0 -> -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) )
247	246	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) = 0 -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
248		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) = 0 )
249	248, 34	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) < pi )
250	249	iftrued 4094	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) = 0 -> if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = 1 )
251	156, 250	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( F ` X ) = 1 )
252	247, 251	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) = ( -u 1 + 1 ) )
253	252	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) = ( ( -u 1 + 1 ) / 2 ) )
254		neg1cn 11124	. . . . . . . . 9 |- -u 1 e. CC
255	185, 254, 165	addcomli 10228	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 + 1 ) = 0
256	255	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 + 1 ) / 2 ) = ( 0 / 2 )
257	256, 170	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 + 1 ) / 2 ) = 0
258	257	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( ( -u 1 + 1 ) / 2 ) = 0 )
259	40	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( X / T ) = ( X / ( 2 x. pi ) )
260		2cnne0 11242	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 )
261	14, 35	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. CC /\ pi =/= 0 )
262		divdiv1 10736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) /\ ( pi e. CC /\ pi =/= 0 ) ) -> ( ( X / 2 ) / pi ) = ( X / ( 2 x. pi ) ) )
263	27, 260, 261, 262	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X / 2 ) / pi ) = ( X / ( 2 x. pi ) )
264	27, 169, 14, 44, 35	divdiv32i 10780	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( X / 2 ) / pi ) = ( ( X / pi ) / 2 )
265	259, 263, 264	3eqtr2i 2650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X / T ) = ( ( X / pi ) / 2 )
266	265	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( X / T ) ) = ( 2 x. ( ( X / pi ) / 2 ) )
267	27, 14, 35	divcli 10767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X / pi ) e. CC
268	267, 169, 44	divcan2i 10768	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 x. ( ( X / pi ) / 2 ) ) = ( X / pi )
269	266, 268	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . 10 |- ( X / pi ) = ( 2 x. ( X / T ) )
270	2	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X / T ) e. ZZ -> 2 e. ZZ )
271		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X / T ) e. ZZ -> ( X / T ) e. ZZ )
272	270, 271	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X / T ) e. ZZ -> ( 2 x. ( X / T ) ) e. ZZ )
273	269, 272	syl5eqel 2705	. . . . . . . . 9 |- ( ( X / T ) e. ZZ -> ( X / pi ) e. ZZ )
274	65, 273	sylbi 207	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( X / pi ) e. ZZ )
275	274, 7	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( X mod pi ) = 0 )
276	275	iftrued 4094	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) = 0 -> if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) ) = 0 )
277	172, 276	syl5req 2669	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) = 0 -> 0 = Y )
278	253, 258, 277	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ( X mod T ) = 0 -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
279	278	adantl 482	. . 3 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ ( X mod T ) = 0 ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
280	128	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> pi e. RR* )
281	59	rexri 10097	. . . . . 6 |- T e. RR*
282	281	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> T e. RR* )
283	139	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) e. RR )
284		pm4.56 516	. . . . . . . 8 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) <-> -. ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
285	284	biimpi 206	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> -. ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
286		olc 399	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
287	286	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ ( X mod T ) = 0 ) -> ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
288	127	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> 0 e. RR* )
289	128	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> pi e. RR* )
290	140	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) e. RR* )
291		0red 10041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( X mod T ) = 0 -> 0 e. RR )
292	139	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) e. RR )
293		modge0 12678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( X e. RR /\ T e. RR+ ) -> 0 <_ ( X mod T ) )
294	4, 63, 293	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 <_ ( X mod T )
295	294	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( X mod T ) = 0 -> 0 <_ ( X mod T ) )
296		neqne 2802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) =/= 0 )
297	291, 292, 295, 296	leneltd 10191	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( X mod T ) = 0 -> 0 < ( X mod T ) )
298	297	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> 0 < ( X mod T ) )
299		simpl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) <_ pi )
300	288, 289, 290, 298, 299	eliocd 39730	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) )
301	300	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X mod T ) <_ pi /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
302	287, 301	pm2.61dan 832	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) <_ pi -> ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) \/ ( X mod T ) = 0 ) )
303	285, 302	nsyl 135	. . . . . 6 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> -. ( X mod T ) <_ pi )
304	33	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> pi e. RR )
305	304, 283	ltnled 10184	. . . . . 6 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( pi < ( X mod T ) <-> -. ( X mod T ) <_ pi ) )
306	303, 305	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> pi < ( X mod T ) )
307		modlt 12679	. . . . . . 7 |- ( ( X e. RR /\ T e. RR+ ) -> ( X mod T ) < T )
308	4, 63, 307	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( X mod T ) < T
309	308	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) < T )
310	280, 282, 283, 306, 309	eliood 39720	. . . 4 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) )
311	127	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> 0 e. RR* )
312	33	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> pi e. RR )
313	140	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( X mod T ) e. RR* )
314		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . 10 |- ( ( pi e. RR* /\ T e. RR* /\ ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) ) -> pi < ( X mod T ) )
315	128, 281, 314	mp3an12 1414	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> pi < ( X mod T ) )
316	311, 312, 313, 315	gtnelioc 39712	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) )
317	316	iffalsed 4097	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
318	139	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( X mod T ) e. RR )
319	312, 318, 315	ltnsymd 10186	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> -. ( X mod T ) < pi )
320	319	iffalsed 4097	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> if ( ( X mod T ) < pi , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
321	156, 320	syl5eq 2668	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( F ` X ) = -u 1 )
322	317, 321	oveq12d 6668	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) = ( -u 1 + -u 1 ) )
323	322	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) = ( ( -u 1 + -u 1 ) / 2 ) )
324		df-2 11079	. . . . . . . . . 10 |- 2 = ( 1 + 1 )
325	324	negeqi 10274	. . . . . . . . 9 |- -u 2 = -u ( 1 + 1 )
326	185, 185	negdii 10365	. . . . . . . . 9 |- -u ( 1 + 1 ) = ( -u 1 + -u 1 )
327	325, 326	eqtr2i 2645	. . . . . . . 8 |- ( -u 1 + -u 1 ) = -u 2
328	327	oveq1i 6660	. . . . . . 7 |- ( ( -u 1 + -u 1 ) / 2 ) = ( -u 2 / 2 )
329		divneg 10719	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( 2 / 2 ) = ( -u 2 / 2 ) )
330	169, 169, 44, 329	mp3an 1424	. . . . . . 7 |- -u ( 2 / 2 ) = ( -u 2 / 2 )
331	238	negeqi 10274	. . . . . . 7 |- -u ( 2 / 2 ) = -u 1
332	328, 330, 331	3eqtr2i 2650	. . . . . 6 |- ( ( -u 1 + -u 1 ) / 2 ) = -u 1
333	332	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( ( -u 1 + -u 1 ) / 2 ) = -u 1 )
334	172	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> Y = if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) ) )
335	312, 318	ltnled 10184	. . . . . . . . 9 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> ( pi < ( X mod T ) <-> -. ( X mod T ) <_ pi ) )
336	315, 335	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> -. ( X mod T ) <_ pi )
337	248, 112	syl6eqbr 4692	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X mod T ) = 0 -> ( X mod T ) <_ pi )
338	337	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) <_ pi )
339	126	orcanai 952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) = pi )
340	339, 144	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X mod pi ) = 0 /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> ( X mod T ) <_ pi )
341	338, 340	pm2.61dan 832	. . . . . . . 8 |- ( ( X mod pi ) = 0 -> ( X mod T ) <_ pi )
342	336, 341	nsyl 135	. . . . . . 7 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> -. ( X mod pi ) = 0 )
343	342	iffalsed 4097	. . . . . 6 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> if ( ( X mod pi ) = 0 , 0 , ( F ` X ) ) = ( F ` X ) )
344	334, 343, 321	3eqtrrd 2661	. . . . 5 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> -u 1 = Y )
345	323, 333, 344	3eqtrrd 2661	. . . 4 |- ( ( X mod T ) e. ( pi (,) T ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
346	310, 345	syl 17	. . 3 |- ( ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) /\ -. ( X mod T ) = 0 ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
347	279, 346	pm2.61dan 832	. 2 |- ( -. ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) -> Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 ) )
348	245, 347	pm2.61i 176	1 |- Y = ( ( if ( ( X mod T ) e. ( 0 (,] pi ) , 1 , -u 1 ) + ( F ` X ) ) / 2 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   ZZcz 11377   RR+crp 11832   (,)cioo 12175   (,]cioc 12176   |_cfl 12591   mod cmo 12668   picpi 14797   || cdvds 14983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631

This theorem is referenced by:  fouriersw  40448