Theorem cxpsqrtlem 24448

Description: Lemma for cxpsqrt 24449. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cxpsqrtlem	|- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( _i x. ( sqr ` A ) ) e. RR )

Proof of Theorem cxpsqrtlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 9995	. . 3 |- _i e. CC
2		sqrtcl 14101	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( sqr ` A ) e. CC )
3	2	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( sqr ` A ) e. CC )
4		mulcl 10020	. . 3 |- ( ( _i e. CC /\ ( sqr ` A ) e. CC ) -> ( _i x. ( sqr ` A ) ) e. CC )
5	1, 3, 4	sylancr 695	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( _i x. ( sqr ` A ) ) e. CC )
6		imval 13847	. . . 4 |- ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) e. CC -> ( Im ` ( _i x. ( sqr ` A ) ) ) = ( Re ` ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Im ` ( _i x. ( sqr ` A ) ) ) = ( Re ` ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) ) )
8		ine0 10465	. . . . . 6 |- _i =/= 0
9		divcan3 10711	. . . . . 6 |- ( ( ( sqr ` A ) e. CC /\ _i e. CC /\ _i =/= 0 ) -> ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) = ( sqr ` A ) )
10	1, 8, 9	mp3an23 1416	. . . . 5 |- ( ( sqr ` A ) e. CC -> ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) = ( sqr ` A ) )
11	3, 10	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) = ( sqr ` A ) )
12	11	fveq2d 6195	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( ( _i x. ( sqr ` A ) ) / _i ) ) = ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
13		halfre 11246	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR
14	13	recni 10052	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 / 2 ) e. CC
15		logcl 24315	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( log ` A ) e. CC )
16		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( log ` A ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) e. CC )
17	14, 15, 16	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) e. CC )
18	17	recld 13934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	reefcld 14818	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
20	17	imcld 13935	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) e. RR )
21	20	recoscld 14874	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
22	18	rpefcld 14835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
23	22	rpge0d 11876	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) )
24		immul2 13877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. RR /\ ( log ` A ) e. CC ) -> ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
25	13, 15, 24	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) = ( ( 1 / 2 ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
26	15	imcld 13935	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
27	26	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
28		mulcom 10022	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / 2 ) e. CC /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
29	14, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( 1 / 2 ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
30	25, 29	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) = ( ( Im ` ( log ` A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) )
31		logimcl 24316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
32	31	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) )
33		pire 24210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- pi e. RR
34	33	renegcli 10342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. RR
35		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u pi e. RR /\ ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
36	34, 26, 35	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( -u pi < ( Im ` ( log ` A ) ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
37	32, 36	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
38	31	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
39	34, 33	elicc2i 12239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi [,] pi ) <-> ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) )
40	26, 37, 38, 39	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi [,] pi ) )
41		halfgt0 11248	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < ( 1 / 2 )
42	13, 41	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 / 2 ) e. RR+
43	33	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- pi e. CC
44		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
45		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 =/= 0
46		divneg 10719	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( pi e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> -u ( pi / 2 ) = ( -u pi / 2 ) )
47	43, 44, 45, 46	mp3an 1424	. . . . . . . . . . . . . 14 |- -u ( pi / 2 ) = ( -u pi / 2 )
48	34	recni 10052	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u pi e. CC
49	48, 44, 45	divreci 10770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u pi / 2 ) = ( -u pi x. ( 1 / 2 ) )
50	47, 49	eqtr2i 2645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -u pi x. ( 1 / 2 ) ) = -u ( pi / 2 )
51	43, 44, 45	divreci 10770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi / 2 ) = ( pi x. ( 1 / 2 ) )
52	51	eqcomi 2631	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( pi x. ( 1 / 2 ) ) = ( pi / 2 )
53	34, 33, 42, 50, 52	iccdili 12311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. ( -u pi [,] pi ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
54	40, 53	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( Im ` ( log ` A ) ) x. ( 1 / 2 ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
55	30, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) )
56		cosq14ge0 24263	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) e. ( -u ( pi / 2 ) [,] ( pi / 2 ) ) -> 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) )
58	19, 21, 23, 57	mulge0d 10604	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) )
59		cxpef 24411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 /\ ( 1 / 2 ) e. CC ) -> ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = ( exp ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) )
60	14, 59	mp3an3 1413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = ( exp ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) )
61		efeul 14892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( exp ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) )
62	17, 61	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( exp ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) )
63	60, 62	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) = ( Re ` ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) ) )
65	21	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. CC )
66	20	resincld 14873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
67	66	recnd 10068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. CC )
68		mulcl 10020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( _i e. CC /\ ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) e. CC ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) e. CC )
69	1, 67, 68	sylancr 695	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) e. CC )
70	65, 69	addcld 10059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) e. CC )
71	19, 70	remul2d 13967	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) ) )
72	21, 66	crred 13971	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) = ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) )
73	72	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( Re ` ( ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) + ( _i x. ( sin ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) )
74	64, 71, 73	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) = ( ( exp ` ( Re ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) x. ( cos ` ( Im ` ( ( 1 / 2 ) x. ( log ` A ) ) ) ) ) )
75	58, 74	breqtrrd 4681	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) -> 0 <_ ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) )
76	75	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> 0 <_ ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) )
77		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) )
78	77	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) = ( Re ` -u ( sqr ` A ) ) )
79	3	renegd 13949	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` -u ( sqr ` A ) ) = -u ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
80	78, 79	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( A ^c ( 1 / 2 ) ) ) = -u ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
81	76, 80	breqtrd 4679	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> 0 <_ -u ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
82	3	recld 13934	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( sqr ` A ) ) e. RR )
83	82	le0neg1d 10599	. . . . 5 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) <_ 0 <-> 0 <_ -u ( Re ` ( sqr ` A ) ) ) )
84	81, 83	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( sqr ` A ) ) <_ 0 )
85		sqrtrege0 14105	. . . . 5 |- ( A e. CC -> 0 <_ ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
86	85	ad2antrr 762	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> 0 <_ ( Re ` ( sqr ` A ) ) )
87		0re 10040	. . . . 5 |- 0 e. RR
88		letri3 10123	. . . . 5 |- ( ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) = 0 <-> ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( Re ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
89	82, 87, 88	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) = 0 <-> ( ( Re ` ( sqr ` A ) ) <_ 0 /\ 0 <_ ( Re ` ( sqr ` A ) ) ) ) )
90	84, 86, 89	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Re ` ( sqr ` A ) ) = 0 )
91	7, 12, 90	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( Im ` ( _i x. ( sqr ` A ) ) ) = 0 )
92	5, 91	reim0bd 13940	1 |- ( ( ( A e. CC /\ A =/= 0 ) /\ ( A ^c ( 1 / 2 ) ) = -u ( sqr ` A ) ) -> ( _i x. ( sqr ` A ) ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   _ici 9938   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   -ucneg 10267   / cdiv 10684   2c2 11070   [,]cicc 12178   Recre 13837   Imcim 13838   sqrcsqrt 13973   expce 14792   sincsin 14794   cosccos 14795   picpi 14797   logclog 24301   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  cxpsqrt  24449