Theorem chtub 24937

Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
chtub	|- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( theta ` N ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )

Proof of Theorem chtub

Dummy variables k n x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( ( |_ ` N ) = 2 -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) = ( theta ` 2 ) )
2		2re 11090	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. RR
3		1lt2 11194	. . . . . . . . . . 11 |- 1 < 2
4		rplogcl 24350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> ( log ` 2 ) e. RR+ )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` 2 ) e. RR+
6		elrp 11834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log ` 2 ) e. RR+ <-> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
7	5, 6	mpbi 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) )
8	7	simpli 474	. . . . . . . 8 |- ( log ` 2 ) e. RR
9	8	recni 10052	. . . . . . 7 |- ( log ` 2 ) e. CC
10	9	mulid1i 10042	. . . . . 6 |- ( ( log ` 2 ) x. 1 ) = ( log ` 2 )
11		cht2 24898	. . . . . 6 |- ( theta ` 2 ) = ( log ` 2 )
12	10, 11	eqtr4i 2647	. . . . 5 |- ( ( log ` 2 ) x. 1 ) = ( theta ` 2 )
13	1, 12	syl6reqr 2675	. . . 4 |- ( ( |_ ` N ) = 2 -> ( ( log ` 2 ) x. 1 ) = ( theta ` ( |_ ` N ) ) )
14		chtfl 24875	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) = ( theta ` N ) )
15	14	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) = ( theta ` N ) )
16	13, 15	sylan9eqr 2678	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( ( log ` 2 ) x. 1 ) = ( theta ` N ) )
17		2t2e4 11177	. . . . . . 7 |- ( 2 x. 2 ) = 4
18		df-4 11081	. . . . . . 7 |- 4 = ( 3 + 1 )
19	17, 18	eqtri 2644	. . . . . 6 |- ( 2 x. 2 ) = ( 3 + 1 )
20		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> 2 < N )
21	2	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> 2 e. RR )
22		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> N e. RR )
23	22	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> N e. RR )
24		2pos 11112	. . . . . . . . . 10 |- 0 < 2
25	2, 24	pm3.2i 471	. . . . . . . . 9 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
27		ltmul2 10874	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 2 < N <-> ( 2 x. 2 ) < ( 2 x. N ) ) )
28	21, 23, 26, 27	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 2 < N <-> ( 2 x. 2 ) < ( 2 x. N ) ) )
29	20, 28	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 2 x. 2 ) < ( 2 x. N ) )
30	19, 29	syl5eqbrr 4689	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 3 + 1 ) < ( 2 x. N ) )
31		3re 11094	. . . . . . 7 |- 3 e. RR
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> 3 e. RR )
33		1red 10055	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> 1 e. RR )
34		remulcl 10021	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
35	2, 22, 34	sylancr 695	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
36	35	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
37	32, 33, 36	ltaddsub2d 10628	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( ( 3 + 1 ) < ( 2 x. N ) <-> 1 < ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )
38	30, 37	mpbid 222	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> 1 < ( ( 2 x. N ) - 3 ) )
39		resubcl 10345	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. N ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR )
40	35, 31, 39	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR )
41	40	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR )
42	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
43		ltmul2 10874	. . . . 5 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) ) -> ( 1 < ( ( 2 x. N ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. 1 ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) ) )
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( 1 < ( ( 2 x. N ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. 1 ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) ) )
45	38, 44	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( ( log ` 2 ) x. 1 ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )
46	16, 45	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) = 2 ) -> ( theta ` N ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )
47		chtcl 24835	. . . 4 |- ( N e. RR -> ( theta ` N ) e. RR )
48	47	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( theta ` N ) e. RR )
49		reflcl 12597	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) e. RR )
50	49	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( |_ ` N ) e. RR )
51		remulcl 10021	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. RR /\ ( |_ ` N ) e. RR ) -> ( 2 x. ( |_ ` N ) ) e. RR )
52	2, 50, 51	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` N ) ) e. RR )
53		resubcl 10345	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) e. RR )
54	52, 31, 53	sylancl 694	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) e. RR )
55		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) e. RR )
56	8, 54, 55	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) e. RR )
57	40	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR )
58		remulcl 10021	. . . 4 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) e. RR )
59	8, 57, 58	sylancr 695	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) e. RR )
60	15	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) = ( theta ` N ) )
61		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) )
62		df-3 11080	. . . . . . 7 |- 3 = ( 2 + 1 )
63	62	fveq2i 6194	. . . . . 6 |- ( ZZ>= ` 3 ) = ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) )
64	61, 63	syl6eleqr 2712	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
65		eluzfz2 12349	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( |_ ` N ) e. ( 3 ... ( |_ ` N ) ) )
66		3z 11410	. . . . . . 7 |- 3 e. ZZ
67		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = 3 -> ( 3 ... x ) = ( 3 ... 3 ) )
68	67	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = 3 -> ( A. k e. ( 3 ... x ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> A. k e. ( 3 ... 3 ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
69		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = n -> ( 3 ... x ) = ( 3 ... n ) )
70	69	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = n -> ( A. k e. ( 3 ... x ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
71		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( 3 ... x ) = ( 3 ... ( n + 1 ) ) )
72	71	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( A. k e. ( 3 ... x ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> A. k e. ( 3 ... ( n + 1 ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
73		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = ( |_ ` N ) -> ( 3 ... x ) = ( 3 ... ( |_ ` N ) ) )
74	73	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( x = ( |_ ` N ) -> ( A. k e. ( 3 ... x ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> A. k e. ( 3 ... ( |_ ` N ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
75		6lt8 11216	. . . . . . . . . . 11 |- 6 < 8
76		6re 11101	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. RR
77		6pos 11119	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 6
78	76, 77	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. RR+
79		8re 11105	. . . . . . . . . . . . 13 |- 8 e. RR
80		8pos 11121	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < 8
81	79, 80	elrpii 11835	. . . . . . . . . . . 12 |- 8 e. RR+
82		logltb 24346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 6 e. RR+ /\ 8 e. RR+ ) -> ( 6 < 8 <-> ( log ` 6 ) < ( log ` 8 ) ) )
83	78, 81, 82	mp2an 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( 6 < 8 <-> ( log ` 6 ) < ( log ` 8 ) )
84	75, 83	mpbi 220	. . . . . . . . . 10 |- ( log ` 6 ) < ( log ` 8 )
85	84	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( log ` 6 ) < ( log ` 8 ) )
86		elfz1eq 12352	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> k = 3 )
87	86	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( theta ` k ) = ( theta ` 3 ) )
88		cht3 24899	. . . . . . . . . 10 |- ( theta ` 3 ) = ( log ` 6 )
89	87, 88	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( theta ` k ) = ( log ` 6 ) )
90	86	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. 3 ) )
91	90	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = ( ( 2 x. 3 ) - 3 ) )
92		3cn 11095	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 3 e. CC
93	92	2timesi 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 2 x. 3 ) = ( 3 + 3 )
94	93	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 x. 3 ) - 3 ) = ( ( 3 + 3 ) - 3 )
95	92, 92	pncan3oi 10297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 3 + 3 ) - 3 ) = 3
96	94, 95	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 x. 3 ) - 3 ) = 3
97	91, 96	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = 3 )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. 3 ) )
99		2rp 11837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
100		relogcl 24322	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 2 e. RR+ -> ( log ` 2 ) e. RR )
101	99, 100	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( log ` 2 ) e. RR
102	101	recni 10052	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( log ` 2 ) e. CC
103	102, 92	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( log ` 2 ) x. 3 ) = ( 3 x. ( log ` 2 ) )
104		relogexp 24342	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 3 e. ZZ ) -> ( log ` ( 2 ^ 3 ) ) = ( 3 x. ( log ` 2 ) ) )
105	99, 66, 104	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( log ` ( 2 ^ 3 ) ) = ( 3 x. ( log ` 2 ) )
106	103, 105	eqtr4i 2647	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( log ` 2 ) x. 3 ) = ( log ` ( 2 ^ 3 ) )
107		cu2 12963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
108	107	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . 11 |- ( log ` ( 2 ^ 3 ) ) = ( log ` 8 )
109	106, 108	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( ( log ` 2 ) x. 3 ) = ( log ` 8 )
110	98, 109	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( log ` 8 ) )
111	85, 89, 110	3brtr4d 4685	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 3 ... 3 ) -> ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) )
112	111	rgen 2922	. . . . . . 7 |- A. k e. ( 3 ... 3 ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) )
113		df-2 11079	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 2 = ( 1 + 1 )
114		2div2e1 11150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 / 2 ) = 1
115		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ n )
116	62, 115	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 + 1 ) <_ n )
117		2z 11409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 e. ZZ
118		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> n e. ZZ )
119		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 < n <-> ( 2 + 1 ) <_ n ) )
120	117, 118, 119	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < n <-> ( 2 + 1 ) <_ n ) )
121	116, 120	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < n )
122		eluzelre 11698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> n e. RR )
123		ltdiv1 10887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 2 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( 2 < n <-> ( 2 / 2 ) < ( n / 2 ) ) )
124	2, 25, 123	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. RR -> ( 2 < n <-> ( 2 / 2 ) < ( n / 2 ) ) )
125	122, 124	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 < n <-> ( 2 / 2 ) < ( n / 2 ) ) )
126	121, 125	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 / 2 ) < ( n / 2 ) )
127	114, 126	syl5eqbrr 4689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 < ( n / 2 ) )
128	122	rehalfcld 11279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n / 2 ) e. RR )
129		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. RR
130		ltadd1 10495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1 e. RR /\ ( n / 2 ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( 1 < ( n / 2 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
131	129, 129, 130	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n / 2 ) e. RR -> ( 1 < ( n / 2 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
132	128, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 < ( n / 2 ) <-> ( 1 + 1 ) < ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
133	127, 132	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 + 1 ) < ( ( n / 2 ) + 1 ) )
134	113, 133	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 2 < ( ( n / 2 ) + 1 ) )
135	134	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> 2 < ( ( n / 2 ) + 1 ) )
136		peano2z 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n / 2 ) e. ZZ -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ZZ )
137	136	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ZZ )
138		zltp1le 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 < ( ( n / 2 ) + 1 ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
139	117, 137, 138	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 < ( ( n / 2 ) + 1 ) <-> ( 2 + 1 ) <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
140	135, 139	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 + 1 ) <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) )
141	62, 140	syl5eqbr 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> 3 <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) )
142		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 e. RR )
143		ltle 10126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 1 e. RR /\ ( n / 2 ) e. RR ) -> ( 1 < ( n / 2 ) -> 1 <_ ( n / 2 ) ) )
144	129, 128, 143	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 1 < ( n / 2 ) -> 1 <_ ( n / 2 ) ) )
145	127, 144	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 1 <_ ( n / 2 ) )
146	142, 128, 128, 145	leadd2dd 10642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ ( ( n / 2 ) + ( n / 2 ) ) )
147	122	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> n e. CC )
148	147	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( n / 2 ) + ( n / 2 ) ) = n )
149	146, 148	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ n )
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ n )
151		elfz 12332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) <-> ( 3 <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) /\ ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ n ) ) )
152	66, 151	mp3an2 1412	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) <-> ( 3 <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) /\ ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ n ) ) )
153	136, 118, 152	syl2anr 495	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) <-> ( 3 <_ ( ( n / 2 ) + 1 ) /\ ( ( n / 2 ) + 1 ) <_ n ) ) )
154	141, 150, 153	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) )
155		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( n / 2 ) + 1 ) -> ( theta ` k ) = ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
156		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = ( ( n / 2 ) + 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) )
157	156	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = ( ( n / 2 ) + 1 ) -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) )
158	157	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( n / 2 ) + 1 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) )
159	155, 158	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( ( n / 2 ) + 1 ) -> ( ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
160	159	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
161	154, 160	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
162	128	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n / 2 ) e. CC )
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( n / 2 ) e. CC )
164		2cn 11091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. CC
165		ax-1cn 9994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 1 e. CC
166		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. CC /\ ( n / 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( n / 2 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
167	164, 165, 166	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n / 2 ) e. CC -> ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( n / 2 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
168	163, 167	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) = ( ( 2 x. ( n / 2 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) )
169	147	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> n e. CC )
170		2ne0 11113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 2 =/= 0
171		divcan2 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( n e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0 ) -> ( 2 x. ( n / 2 ) ) = n )
172	164, 170, 171	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. CC -> ( 2 x. ( n / 2 ) ) = n )
173	169, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( n / 2 ) ) = n )
174	164	mulid1i 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 x. 1 ) = 2
175	174	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. 1 ) = 2 )
176	173, 175	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( n / 2 ) ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( n + 2 ) )
177	168, 176	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) = ( n + 2 ) )
178	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) = ( ( n + 2 ) - 3 ) )
179		2p1e3 11151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 + 1 ) = 3
180	92, 164, 165, 179	subaddrii 10370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 3 - 2 ) = 1
181	180	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n - ( 3 - 2 ) ) = ( n - 1 )
182		subsub3 10313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. CC /\ 3 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( n - ( 3 - 2 ) ) = ( ( n + 2 ) - 3 ) )
183	92, 164, 182	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. CC -> ( n - ( 3 - 2 ) ) = ( ( n + 2 ) - 3 ) )
184	169, 183	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( n - ( 3 - 2 ) ) = ( ( n + 2 ) - 3 ) )
185	181, 184	syl5reqr 2671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n + 2 ) - 3 ) = ( n - 1 ) )
186	178, 185	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) = ( n - 1 ) )
187	186	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) )
188	187	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) <-> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) ) )
189	137	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. RR )
190		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. RR -> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) e. RR )
191	189, 190	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) e. RR )
192	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> n e. RR )
193		peano2rem 10348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. RR -> ( n - 1 ) e. RR )
194	192, 193	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( n - 1 ) e. RR )
195		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( n - 1 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) e. RR )
196	101, 194, 195	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) e. RR )
197		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. n ) e. RR )
198	101, 192, 197	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. n ) e. RR )
199	191, 196, 198	ltadd1d 10620	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) <-> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) ) )
200	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( log ` 2 ) e. CC )
201	194	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( n - 1 ) e. CC )
202	200, 201, 169	adddid 10064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( n - 1 ) + n ) ) = ( ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) )
203		adddi 10025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. CC /\ n e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
204	164, 165, 203	mp3an13 1415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. CC -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
205	169, 204	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) )
206	174	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 x. n ) + ( 2 x. 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 )
207	205, 206	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) = ( ( 2 x. n ) + 2 ) )
208	207	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) = ( ( ( 2 x. n ) + 2 ) - 3 ) )
209		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 2 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
210	117, 118, 209	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. n ) e. ZZ )
211	210	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
212	211	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) e. CC )
213		subsub3 10313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 2 x. n ) e. CC /\ 3 e. CC /\ 2 e. CC ) -> ( ( 2 x. n ) - ( 3 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. n ) + 2 ) - 3 ) )
214	92, 164, 213	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 x. n ) e. CC -> ( ( 2 x. n ) - ( 3 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. n ) + 2 ) - 3 ) )
215	212, 214	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) - ( 3 - 2 ) ) = ( ( ( 2 x. n ) + 2 ) - 3 ) )
216	180	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 x. n ) - ( 3 - 2 ) ) = ( ( 2 x. n ) - 1 )
217	169	2timesd 11275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. n ) = ( n + n ) )
218	217	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) - 1 ) = ( ( n + n ) - 1 ) )
219	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> 1 e. CC )
220	169, 169, 219	addsubd 10413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n + n ) - 1 ) = ( ( n - 1 ) + n ) )
221	218, 220	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) - 1 ) = ( ( n - 1 ) + n ) )
222	216, 221	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. n ) - ( 3 - 2 ) ) = ( ( n - 1 ) + n ) )
223	208, 215, 222	3eqtr2rd 2663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n - 1 ) + n ) = ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) )
224	223	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( n - 1 ) + n ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) )
225	202, 224	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) )
226	225	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( ( log ` 2 ) x. ( n - 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) <-> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
227	188, 199, 226	3bitrd 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) <-> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
228		3nn 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 3 e. NN
229		elfzuz 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( 3 ... n ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
230	154, 229	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
231		eluznn 11758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( 3 e. NN /\ ( ( n / 2 ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. NN )
232	228, 230, 231	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n / 2 ) + 1 ) e. NN )
233		chtublem 24936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( n / 2 ) + 1 ) e. NN -> ( theta ` ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 4 ) x. ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) ) ) )
234	232, 233	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 1 ) ) <_ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 4 ) x. ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) ) ) )
235	177	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 1 ) = ( ( n + 2 ) - 1 ) )
236		addsubass 10291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. CC /\ 2 e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( n + 2 ) - 1 ) = ( n + ( 2 - 1 ) ) )
237	164, 165, 236	mp3an23 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. CC -> ( ( n + 2 ) - 1 ) = ( n + ( 2 - 1 ) ) )
238	169, 237	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n + 2 ) - 1 ) = ( n + ( 2 - 1 ) ) )
239		2m1e1 11135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 - 1 ) = 1
240	239	oveq2i 6661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n + ( 2 - 1 ) ) = ( n + 1 )
241	238, 240	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( n + 2 ) - 1 ) = ( n + 1 ) )
242	235, 241	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 1 ) = ( n + 1 ) )
243	242	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 1 ) ) = ( theta ` ( n + 1 ) ) )
244		pncan 10287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( n / 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) = ( n / 2 ) )
245	163, 165, 244	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) = ( n / 2 ) )
246	245	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 4 ) x. ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( log ` 4 ) x. ( n / 2 ) ) )
247		relogexp 24342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. RR+ /\ 2 e. ZZ ) -> ( log ` ( 2 ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` 2 ) ) )
248	99, 117, 247	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( log ` ( 2 ^ 2 ) ) = ( 2 x. ( log ` 2 ) )
249		sq2 12960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
250	249	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( log ` ( 2 ^ 2 ) ) = ( log ` 4 )
251	164, 102	mulcomi 10046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 2 x. ( log ` 2 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. 2 )
252	248, 250, 251	3eqtr3i 2652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( log ` 4 ) = ( ( log ` 2 ) x. 2 )
253	252	oveq1i 6660	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( log ` 4 ) x. ( n / 2 ) ) = ( ( ( log ` 2 ) x. 2 ) x. ( n / 2 ) )
254	164	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> 2 e. CC )
255	200, 254, 163	mulassd 10063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( log ` 2 ) x. 2 ) x. ( n / 2 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. ( n / 2 ) ) ) )
256	253, 255	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 4 ) x. ( n / 2 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. ( n / 2 ) ) ) )
257	173	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( 2 x. ( n / 2 ) ) ) = ( ( log ` 2 ) x. n ) )
258	246, 256, 257	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 4 ) x. ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. n ) )
259	258	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 4 ) x. ( ( ( n / 2 ) + 1 ) - 1 ) ) ) = ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) )
260	234, 243, 259	3brtr3d 4684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) )
261		peano2uz 11741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) )
262		eluzelz 11697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
263	261, 262	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n + 1 ) e. ZZ )
264	263	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n + 1 ) e. RR )
265	264	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( n + 1 ) e. RR )
266		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n + 1 ) e. RR -> ( theta ` ( n + 1 ) ) e. RR )
267	265, 266	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) e. RR )
268	191, 198	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) e. RR )
269		zmulcl 11426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( n + 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
270	117, 263, 269	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. ZZ )
271	270	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. RR )
272		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) e. RR )
273	271, 31, 272	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) e. RR )
274	273	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) e. RR )
275		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) e. RR )
276	101, 274, 275	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) e. RR )
277		lelttr 10128	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( theta ` ( n + 1 ) ) e. RR /\ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) e. RR ) -> ( ( ( theta ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) /\ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
278	267, 268, 276, 277	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( theta ` ( n + 1 ) ) <_ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) /\ ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
279	260, 278	mpand 711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) + ( ( log ` 2 ) x. n ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
280	227, 279	sylbid 230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( ( n / 2 ) + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( ( n / 2 ) + 1 ) ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
281	161, 280	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n / 2 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
282		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> n e. ( 3 ... n ) )
283		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( theta ` k ) = ( theta ` n ) )
284		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k = n -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. n ) )
285	284	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k = n -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = ( ( 2 x. n ) - 3 ) )
286	285	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = n -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) )
287	283, 286	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = n -> ( ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) ) )
288	287	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( 3 ... n ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) ) )
289	282, 288	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) ) )
290	289	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) ) )
291	210	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. n ) e. RR )
292	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 e. RR )
293	122	ltp1d 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> n < ( n + 1 ) )
294	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
295		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. RR /\ ( n + 1 ) e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( 2 x. n ) < ( 2 x. ( n + 1 ) ) ) )
296	122, 264, 294, 295	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( n < ( n + 1 ) <-> ( 2 x. n ) < ( 2 x. ( n + 1 ) ) ) )
297	293, 296	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 x. n ) < ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
298	291, 271, 292, 297	ltsub1dd 10639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 2 x. n ) - 3 ) < ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) )
299		resubcl 10345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 2 x. n ) e. RR /\ 3 e. RR ) -> ( ( 2 x. n ) - 3 ) e. RR )
300	291, 31, 299	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( 2 x. n ) - 3 ) e. RR )
301	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
302		ltmul2 10874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( 2 x. n ) - 3 ) e. RR /\ ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. n ) - 3 ) < ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
303	300, 273, 301, 302	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( ( 2 x. n ) - 3 ) < ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
304	298, 303	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) )
305		chtcl 24835	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. RR -> ( theta ` n ) e. RR )
306	122, 305	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( theta ` n ) e. RR )
307		remulcl 10021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( log ` 2 ) e. RR /\ ( ( 2 x. n ) - 3 ) e. RR ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) e. RR )
308	101, 300, 307	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) e. RR )
309	101, 273, 275	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) e. RR )
310		lttr 10114	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( theta ` n ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) e. RR ) -> ( ( ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
311	306, 308, 309, 310	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) /\ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
312	304, 311	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
313	312	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) -> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
314	118	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> n e. ZZ )
315		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 2 =/= 0 /\ ( n + 1 ) e. ZZ ) -> ( 2 || ( n + 1 ) <-> ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
316	117, 170, 315	mp3an12 1414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( n + 1 ) e. ZZ -> ( 2 || ( n + 1 ) <-> ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
317	263, 316	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 || ( n + 1 ) <-> ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
318		2lt3 11195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 < 3
319	2, 31	ltnlei 10158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 < 3 <-> -. 3 <_ 2 )
320	318, 319	mpbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- -. 3 <_ 2
321		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 2 = ( n + 1 ) -> ( 3 <_ 2 <-> 3 <_ ( n + 1 ) ) )
322	320, 321	mtbii 316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 = ( n + 1 ) -> -. 3 <_ ( n + 1 ) )
323		eluzle 11700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ ( n + 1 ) )
324	261, 323	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> 3 <_ ( n + 1 ) )
325	322, 324	nsyl3 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> -. 2 = ( n + 1 ) )
326	325	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n + 1 ) e. Prime ) -> -. 2 = ( n + 1 ) )
327		uzid 11702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
328	117, 327	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
329		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n + 1 ) e. Prime ) -> ( n + 1 ) e. Prime )
330		dvdsprm 15415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( n + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 || ( n + 1 ) <-> 2 = ( n + 1 ) ) )
331	328, 329, 330	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n + 1 ) e. Prime ) -> ( 2 || ( n + 1 ) <-> 2 = ( n + 1 ) ) )
332	326, 331	mtbird 315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( n + 1 ) e. Prime ) -> -. 2 || ( n + 1 ) )
333	332	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( n + 1 ) e. Prime -> -. 2 || ( n + 1 ) ) )
334	333	con2d 129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 2 || ( n + 1 ) -> -. ( n + 1 ) e. Prime ) )
335	317, 334	sylbird 250	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ -> -. ( n + 1 ) e. Prime ) )
336	335	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> -. ( n + 1 ) e. Prime )
337		chtnprm 24880	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. ZZ /\ -. ( n + 1 ) e. Prime ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) = ( theta ` n ) )
338	314, 336, 337	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) = ( theta ` n ) )
339	338	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) <-> ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
340	313, 339	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( ( theta ` n ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. n ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
341	290, 340	syld 47	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) /\ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
342		zeo 11463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( ( n / 2 ) e. ZZ \/ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
343	118, 342	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( n / 2 ) e. ZZ \/ ( ( n + 1 ) / 2 ) e. ZZ ) )
344	281, 341, 343	mpjaodan 827	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
345		ovex 6678	. . . . . . . . . . 11 |- ( n + 1 ) e. _V
346		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( theta ` k ) = ( theta ` ( n + 1 ) ) )
347		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( n + 1 ) ) )
348	347	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) )
349	348	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) )
350	346, 349	breq12d 4666	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) ) )
351	345, 350	ralsn 4222	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. { ( n + 1 ) } ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> ( theta ` ( n + 1 ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( n + 1 ) ) - 3 ) ) )
352	344, 351	syl6ibr 242	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> A. k e. { ( n + 1 ) } ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
353	352	ancld 576	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) /\ A. k e. { ( n + 1 ) } ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) ) )
354		ralun 3795	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) /\ A. k e. { ( n + 1 ) } ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) -> A. k e. ( ( 3 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) )
355		fzsuc 12388	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( 3 ... ( n + 1 ) ) = ( ( 3 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) )
356	355	raleqdv 3144	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... ( n + 1 ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> A. k e. ( ( 3 ... n ) u. { ( n + 1 ) } ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
357	354, 356	syl5ibr 236	. . . . . . . 8 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) /\ A. k e. { ( n + 1 ) } ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) -> A. k e. ( 3 ... ( n + 1 ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
358	353, 357	syld 47	. . . . . . 7 |- ( n e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( A. k e. ( 3 ... n ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> A. k e. ( 3 ... ( n + 1 ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) ) )
359	66, 68, 70, 72, 74, 112, 358	uzind4i 11750	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> A. k e. ( 3 ... ( |_ ` N ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) )
360		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = ( |_ ` N ) -> ( theta ` k ) = ( theta ` ( |_ ` N ) ) )
361		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( |_ ` N ) -> ( 2 x. k ) = ( 2 x. ( |_ ` N ) ) )
362	361	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( |_ ` N ) -> ( ( 2 x. k ) - 3 ) = ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) )
363	362	oveq2d 6666	. . . . . . . 8 |- ( k = ( |_ ` N ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) = ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) )
364	360, 363	breq12d 4666	. . . . . . 7 |- ( k = ( |_ ` N ) -> ( ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) <-> ( theta ` ( |_ ` N ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) ) )
365	364	rspcv 3305	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` N ) e. ( 3 ... ( |_ ` N ) ) -> ( A. k e. ( 3 ... ( |_ ` N ) ) ( theta ` k ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. k ) - 3 ) ) -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) ) )
366	65, 359, 365	sylc 65	. . . . 5 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 3 ) -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) )
367	64, 366	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( theta ` ( |_ ` N ) ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) )
368	60, 367	eqbrtrrd 4677	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( theta ` N ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) )
369	35	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. N ) e. RR )
370	31	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> 3 e. RR )
371		flle 12600	. . . . . . 7 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) <_ N )
372	371	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( |_ ` N ) <_ N )
373	22	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> N e. RR )
374	25	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
375		lemul2 10876	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` N ) e. RR /\ N e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( |_ ` N ) <_ N <-> ( 2 x. ( |_ ` N ) ) <_ ( 2 x. N ) ) )
376	50, 373, 374, 375	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( |_ ` N ) <_ N <-> ( 2 x. ( |_ ` N ) ) <_ ( 2 x. N ) ) )
377	372, 376	mpbid 222	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( 2 x. ( |_ ` N ) ) <_ ( 2 x. N ) )
378	52, 369, 370, 377	lesub1dd 10643	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) <_ ( ( 2 x. N ) - 3 ) )
379	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) )
380		lemul2 10876	. . . . 5 |- ( ( ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) e. RR /\ ( ( 2 x. N ) - 3 ) e. RR /\ ( ( log ` 2 ) e. RR /\ 0 < ( log ` 2 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) <_ ( ( 2 x. N ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) <_ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) ) )
381	54, 57, 379, 380	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) <_ ( ( 2 x. N ) - 3 ) <-> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) <_ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) ) )
382	378, 381	mpbid 222	. . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. ( |_ ` N ) ) - 3 ) ) <_ ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )
383	48, 56, 59, 368, 382	ltletrd 10197	. 2 |- ( ( ( N e. RR /\ 2 < N ) /\ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) -> ( theta ` N ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )
384	117	a1i 11	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> 2 e. ZZ )
385		flcl 12596	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( |_ ` N ) e. ZZ )
386	385	adantr 481	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( |_ ` N ) e. ZZ )
387		ltle 10126	. . . . . . 7 |- ( ( 2 e. RR /\ N e. RR ) -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
388	2, 387	mpan 706	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( 2 < N -> 2 <_ N ) )
389		flge 12606	. . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. ZZ ) -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ ( |_ ` N ) ) )
390	117, 389	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( N e. RR -> ( 2 <_ N <-> 2 <_ ( |_ ` N ) ) )
391	388, 390	sylibd 229	. . . . 5 |- ( N e. RR -> ( 2 < N -> 2 <_ ( |_ ` N ) ) )
392	391	imp 445	. . . 4 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> 2 <_ ( |_ ` N ) )
393		eluz2 11693	. . . 4 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( |_ ` N ) e. ZZ /\ 2 <_ ( |_ ` N ) ) )
394	384, 386, 392, 393	syl3anbrc 1246	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) )
395		uzp1 11721	. . 3 |- ( ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( |_ ` N ) = 2 \/ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
396	394, 395	syl 17	. 2 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( ( |_ ` N ) = 2 \/ ( |_ ` N ) e. ( ZZ>= ` ( 2 + 1 ) ) ) )
397	46, 383, 396	mpjaodan 827	1 |- ( ( N e. RR /\ 2 < N ) -> ( theta ` N ) < ( ( log ` 2 ) x. ( ( 2 x. N ) - 3 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   u. cun 3572   {csn 4177   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   4c4 11072   6c6 11074   8c8 11076   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   ^cexp 12860   || cdvds 14983   Primecprime 15385   logclog 24301   thetaccht 24817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386  df-pc 15542  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cht 24823

This theorem is referenced by:  bposlem6  25014  chto1ub  25165