Theorem fproddiv 14691

Description: The quotient of two finite products. (Contributed by Scott Fenton, 15-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodmul.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodmul.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
fprodmul.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
fproddiv.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C =/= 0 )

Assertion

Ref	Expression
fproddiv	|- ( ph -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hints:   B( k)   C( k)

Proof of Theorem fproddiv

Dummy variables f m n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1div1e1 10717	. . . . 5 |- ( 1 / 1 ) = 1
2	1	eqcomi 2631	. . . 4 |- 1 = ( 1 / 1 )
3		prodeq1 14639	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B / C ) = prod_ k e. (/) ( B / C ) )
4		prod0 14673	. . . . 5 |- prod_ k e. (/) ( B / C ) = 1
5	3, 4	syl6eq 2672	. . . 4 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B / C ) = 1 )
6		prodeq1 14639	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = prod_ k e. (/) B )
7		prod0 14673	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) B = 1
8	6, 7	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A B = 1 )
9		prodeq1 14639	. . . . . 6 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = prod_ k e. (/) C )
10		prod0 14673	. . . . . 6 |- prod_ k e. (/) C = 1
11	9, 10	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A C = 1 )
12	8, 11	oveq12d 6668	. . . 4 |- ( A = (/) -> ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) = ( 1 / 1 ) )
13	2, 5, 12	3eqtr4a 2682	. . 3 |- ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) )
14	13	a1i 11	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) ) )
15		simprl 794	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. NN )
16		nnuz 11723	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
17	15, 16	syl6eleq 2711	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( # ` A ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
18		fprodmul.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A |-> B ) = ( k e. A |-> B )
20	18, 19	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
21		f1of 6137	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
22	21	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
23		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. A |-> B ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
24	20, 22, 23	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> B ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
25	24	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) e. CC )
26		fprodmul.3	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. CC )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. A |-> C ) = ( k e. A |-> C )
28	26, 27	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
29		fco 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. A |-> C ) : A --> CC /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
30	28, 22, 29	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) o. f ) : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> CC )
31	30	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) e. CC )
32		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A )
33	32, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A )
34		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
35	33, 34	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
36	33	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( f ` n ) e. A )
37		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> k e. A )
38	27	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ C e. CC ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
39	37, 26, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = C )
40		fproddiv.4	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> C =/= 0 )
41	39, 40	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) =/= 0 )
42	41	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> C ) ` k ) =/= 0 )
43	42	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A. k e. A ( ( k e. A |-> C ) ` k ) =/= 0 )
44		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) )
45		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k 0
46	44, 45	nfne 2894	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) =/= 0
47		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` k ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
48	47	neeq1d 2853	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) ` k ) =/= 0 <-> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) =/= 0 ) )
49	46, 48	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A ( ( k e. A |-> C ) ` k ) =/= 0 -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) =/= 0 ) )
50	36, 43, 49	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) =/= 0 )
51	35, 50	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) =/= 0 )
52	18, 26, 40	divcld 10801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B / C ) e. CC )
53		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. A |-> ( B / C ) ) = ( k e. A |-> ( B / C ) )
54	53	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k e. A /\ ( B / C ) e. CC ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( B / C ) )
55	37, 52, 54	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( B / C ) )
56	19	fvmpt2 6291	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. A /\ B e. CC ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
57	37, 18, 56	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = B )
58	57, 39	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( B / C ) )
59	55, 58	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
60	59	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
61	60	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) )
62		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) )
63		nffvmpt1 6199	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) )
64		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ k /
65	63, 64, 44	nfov 6676	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
66	62, 65	nfeq 2776	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
67		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) )
68		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` k ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
69	68, 47	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
70	67, 69	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( f ` n ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) <-> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
71	66, 70	rspc 3303	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f ` n ) e. A -> ( A. k e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` k ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` k ) / ( ( k e. A |-> C ) ` k ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) ) )
72	36, 61, 71	sylc 65	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
73		fvco3 6275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) )
74	33, 73	sylan 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) )
75		fvco3 6275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) --> A /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
76	33, 75	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
77	76, 35	oveq12d 6668	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) / ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) = ( ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) / ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) ) )
78	72, 74, 77	3eqtr4d 2666	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ n e. ( 1 ... ( # ` A ) ) ) -> ( ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) o. f ) ` n ) = ( ( ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ` n ) / ( ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ` n ) ) )
79	17, 25, 31, 51, 78	prodfdiv 14628	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) / ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) )
80		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` m ) = ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` ( f ` n ) ) )
81	52, 53	fmptd 6385	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( k e. A |-> ( B / C ) ) : A --> CC )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> ( B / C ) ) : A --> CC )
83	82	ffvelrnda 6359	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` m ) e. CC )
84	80, 15, 32, 83, 74	fprod 14671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
85		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( ( k e. A |-> B ) ` ( f ` n ) ) )
86	20	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> B ) : A --> CC )
87	86	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> B ) ` m ) e. CC )
88	85, 15, 32, 87, 76	fprod 14671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
89		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( m = ( f ` n ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( ( k e. A |-> C ) ` ( f ` n ) ) )
90	28	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( k e. A |-> C ) : A --> CC )
91	90	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) /\ m e. A ) -> ( ( k e. A |-> C ) ` m ) e. CC )
92	89, 15, 32, 91, 35	fprod 14671	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) )
93	88, 92	oveq12d 6668	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) / prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> B ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) / ( seq 1 ( x. , ( ( k e. A |-> C ) o. f ) ) ` ( # ` A ) ) ) )
94	79, 84, 93	3eqtr4d 2666	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` m ) = ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) / prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) )
95		prodfc 14675	. . . . . 6 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> ( B / C ) ) ` m ) = prod_ k e. A ( B / C )
96		prodfc 14675	. . . . . . 7 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) = prod_ k e. A B
97		prodfc 14675	. . . . . . 7 |- prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) = prod_ k e. A C
98	96, 97	oveq12i 6662	. . . . . 6 |- ( prod_ m e. A ( ( k e. A |-> B ) ` m ) / prod_ m e. A ( ( k e. A |-> C ) ` m ) ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C )
99	94, 95, 98	3eqtr3g 2679	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( # ` A ) e. NN /\ f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) )
100	99	expr 643	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) ) )
101	100	exlimdv 1861	. . 3 |- ( ( ph /\ ( # ` A ) e. NN ) -> ( E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) ) )
102	101	expimpd 629	. 2 |- ( ph -> ( ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) ) )
103		fprodmul.1	. . 3 |- ( ph -> A e. Fin )
104		fz1f1o 14441	. . 3 |- ( A e. Fin -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
105	103, 104	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( A = (/) \/ ( ( # ` A ) e. NN /\ E. f f : ( 1 ... ( # ` A ) ) -1-1-onto-> A ) ) )
106	14, 102, 105	mpjaod 396	1 |- ( ph -> prod_ k e. A ( B / C ) = ( prod_ k e. A B / prod_ k e. A C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   / cdiv 10684   NNcn 11020   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   seqcseq 12801   #chash 13117   prod_cprod 14635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-oi 8415  df-card 8765  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-prod 14636

This theorem is referenced by:  fproddivf  14718  bcprod  31624