Theorem etransclem23 40474

Description: This is the claim proof in [Juillerat] p. 14 (but in our proof, Stirling's approximation is not used). (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem23.a	|- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
etransclem23.l	|- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
etransclem23.k	|- K = ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) )
etransclem23.p	|- ( ph -> P e. NN )
etransclem23.m	|- ( ph -> M e. NN )
etransclem23.f	|- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
etransclem23.lt1	|- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) < 1 )

Assertion

Ref	Expression
etransclem23	|- ( ph -> ( abs ` K ) < 1 )

Distinct variable groups:   j, M, x   P, j, x   ph, j, x

Allowed substitution hints:   A( x, j)   F( x, j)   K( x, j)   L( x, j)

Proof of Theorem etransclem23

Dummy variables k h y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem23.k	. . . . . 6 |- K = ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) )
2		etransclem23.l	. . . . . . 7 |- L = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x )
3	2	oveq1i 6660	. . . . . 6 |- ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) )
4	1, 3	eqtri 2644	. . . . 5 |- K = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) )
5	4	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( abs ` K ) = ( abs ` ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
6	5	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` K ) = ( abs ` ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
7		fzfid 12772	. . . . 5 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
8		etransclem23.a	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
9	8	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
10		elfznn0 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
11	10	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
12	9, 11	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
13	12	zcnd 11483	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
14		ere 14819	. . . . . . . . . 10 |- _e e. RR
15	14	recni 10052	. . . . . . . . 9 |- _e e. CC
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> _e e. CC )
17		elfzelz 12342	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
18	17	zcnd 11483	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
19	18	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. CC )
20	16, 19	cxpcld 24454	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
21	13, 20	mulcld 10060	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
22	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> _e e. CC )
23		elioore 12205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. RR )
24	23	recnd 10068	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> x e. CC )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. CC )
26	25	negcld 10379	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u x e. CC )
27	22, 26	cxpcld 24454	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. CC )
28		ax-resscn 9993	. . . . . . . . . . . . 13 |- RR C_ CC
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> RR C_ CC )
30		etransclem23.p	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> P e. NN )
31		etransclem23.f	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) )
32	29, 30, 31	etransclem8 40459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : RR --> CC )
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> F : RR --> CC )
34	23	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. RR )
35	33, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
36	35	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
37	27, 36	mulcld 10060	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) e. CC )
38		reelprrecn 10028	. . . . . . . . 9 |- RR e. { RR , CC }
39	38	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. { RR , CC } )
40		reopn 39501	. . . . . . . . . 10 |- RR e. ( topGen ` ran (,) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
42	41	tgioo2 22606	. . . . . . . . . 10 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
43	40, 42	eleqtri 2699	. . . . . . . . 9 |- RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
44	43	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> RR e. ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR ) )
45	30	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> P e. NN )
46		etransclem23.m	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> M e. NN )
47	46	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> M e. NN0 )
48	47	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> M e. NN0 )
49		etransclem6 40457	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ P ) ) ) = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ h e. ( 1 ... M ) ( ( y - h ) ^ P ) ) )
50		etransclem6 40457	. . . . . . . . 9 |- ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ h e. ( 1 ... M ) ( ( y - h ) ^ P ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
51	31, 49, 50	3eqtri 2648	. . . . . . . 8 |- F = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ k e. ( 1 ... M ) ( ( x - k ) ^ P ) ) )
52		0red 10041	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
53	17	zred 11482	. . . . . . . . 9 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR )
54	53	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. RR )
55	39, 44, 45, 48, 51, 52, 54	etransclem18 40469	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. L^1 )
56	37, 55	itgcl 23550	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x e. CC )
57	21, 56	mulcld 10060	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) e. CC )
58	7, 57	fsumcl 14464	. . . 4 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) e. CC )
59		nnm1nn0 11334	. . . . . . 7 |- ( P e. NN -> ( P - 1 ) e. NN0 )
60	30, 59	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P - 1 ) e. NN0 )
61	60	faccld 13071	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN )
62	61	nncnd 11036	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. CC )
63	61	nnne0d 11065	. . . 4 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) =/= 0 )
64	58, 62, 63	absdivd 14194	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( abs ` ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
65	61	nnred 11035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. RR )
66	61	nnnn0d 11351	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. NN0 )
67	66	nn0ge0d 11354	. . . . 5 |- ( ph -> 0 <_ ( ! ` ( P - 1 ) ) )
68	65, 67	absidd 14161	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ! ` ( P - 1 ) ) )
69	68	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( abs ` ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) = ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
70	6, 64, 69	3eqtrd 2660	. 2 |- ( ph -> ( abs ` K ) = ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
71	2, 58	syl5eqel 2705	. . . . . . 7 |- ( ph -> L e. CC )
72	71, 62, 63	divcld 10801	. . . . . 6 |- ( ph -> ( L / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. CC )
73	1, 72	syl5eqel 2705	. . . . 5 |- ( ph -> K e. CC )
74	73	abscld 14175	. . . 4 |- ( ph -> ( abs ` K ) e. RR )
75	70, 74	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. RR )
76	46	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
77	30	nnnn0d 11351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> P e. NN0 )
78	76, 77	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ P ) e. RR )
79		peano2nn0 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
80	47, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
81	78, 80	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
82	81	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
83	46	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. CC )
84	82, 83	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) = ( M x. ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) )
85	30	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> P e. CC )
86		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. CC )
87	85, 86	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( P - 1 ) + 1 ) = P )
88	87	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> P = ( ( P - 1 ) + 1 ) )
89	88	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ P ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( ( P - 1 ) + 1 ) ) )
90	80	nn0cnd 11353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. CC )
91	90, 85	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M + 1 ) x. P ) = ( P x. ( M + 1 ) ) )
92	91	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ ( ( M + 1 ) x. P ) ) = ( M ^ ( P x. ( M + 1 ) ) ) )
93	83, 77, 80	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ ( ( M + 1 ) x. P ) ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ P ) )
94	83, 80, 77	expmuld 13011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ ( P x. ( M + 1 ) ) ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
95	92, 93, 94	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ P ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
96	76, 80	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
97	96	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
98	97, 60	expp1d 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( ( P - 1 ) + 1 ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
99	89, 95, 98	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
100	99	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M x. ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) = ( M x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
101	97, 60	expcld 13008	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) e. CC )
102	83, 101, 97	mul12d 10245	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
103	83, 97	mulcld 10060	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
104	101, 103	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
105	102, 104	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) = ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
106	84, 100, 105	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) = ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
107	106	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) = ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
108	107	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) ) )
109	21	abscld 14175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. RR )
110	109	recnd 10068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. CC )
111	103	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
112	101	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) e. CC )
113	110, 111, 112	mulassd 10063	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) ) )
114	108, 113	eqtr4d 2659	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) = ( ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
115	114	sumeq2dv 14433	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
116	110, 111	mulcld 10060	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
117	7, 101, 116	fsummulc1 14517	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
118	115, 117	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) )
119	118	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
120	7, 116	fsumcl 14464	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
121	120, 101, 62, 63	divassd 10836	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
122	119, 121	eqtrd 2656	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
123	81	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
124	76	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> M e. RR )
125	123, 124	remulcld 10070	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) e. RR )
126	109, 125	remulcld 10070	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) e. RR )
127	7, 126	fsumrecl 14465	. . . . 5 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) e. RR )
128	127, 61	nndivred 11069	. . . 4 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) e. RR )
129	122, 128	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) e. RR )
130		1red 10055	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR )
131	58	abscld 14175	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) e. RR )
132	61	nnrpd 11870	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` ( P - 1 ) ) e. RR+ )
133	57	abscld 14175	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) e. RR )
134	7, 133	fsumrecl 14465	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) e. RR )
135	7, 57	fsumabs 14533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) )
136	81	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
137		ioombl 23333	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 (,) j ) e. dom vol
138	137	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( 0 (,) j ) e. dom vol )
139		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 e. RR )
140		elfzle1 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> 0 <_ j )
141		volioo 23337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ j e. RR /\ 0 <_ j ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) = ( j - 0 ) )
142	139, 53, 140, 141	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) = ( j - 0 ) )
143	53, 139	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 0 ) e. RR )
144	142, 143	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) e. RR )
145	144	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) e. RR )
146	82	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
147		iblconstmpt 40171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 (,) j ) e. dom vol /\ ( vol ` ( 0 (,) j ) ) e. RR /\ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) e. L^1 )
148	138, 145, 146, 147	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) e. L^1 )
149	136, 148	itgrecl 23564	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x e. RR )
150	109, 149	remulcld 10070	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) e. RR )
151	7, 150	fsumrecl 14465	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) e. RR )
152	21, 56	absmuld 14193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( abs ` S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) )
153	56	abscld 14175	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) e. RR )
154	21	absge0d 14183	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) )
155	37	abscld 14175	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) e. RR )
156	37, 55	iblabs 23595	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( x e. ( 0 (,) j ) |-> ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) ) e. L^1 )
157	155, 156	itgrecl 23564	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) _d x e. RR )
158	37, 55	itgabs 23601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) <_ S. ( 0 (,) j ) ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) _d x )
159	27, 36	absmuld 14193	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) = ( ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) x. ( abs ` ( F ` x ) ) ) )
160	27	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) e. RR )
161		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 1 e. RR )
162	36	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) e. RR )
163	27	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) )
164	36	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( F ` x ) ) )
165	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> _e e. RR )
166		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. RR
167		epos 14935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 < _e
168	166, 14, 167	ltleii 10160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 <_ _e
169	168	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> 0 <_ _e )
170	23	renegcld 10457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> -u x e. RR )
171	165, 169, 170	recxpcld 24469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> ( _e ^c -u x ) e. RR )
172	165, 169, 170	cxpge0d 24470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> 0 <_ ( _e ^c -u x ) )
173	171, 172	absidd 14161	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( 0 (,) j ) -> ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) = ( _e ^c -u x ) )
174	173	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) = ( _e ^c -u x ) )
175	171	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) e. RR )
176		1red 10055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 1 e. RR )
177		0xr 10086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 e. RR*
178	177	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 e. RR* )
179	53	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. RR* )
180	179	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> j e. RR* )
181		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. ( 0 (,) j ) )
182		ioogtlb 39717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 < x )
183	178, 180, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 < x )
184	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. RR )
185	184	lt0neg2d 10598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( 0 < x <-> -u x < 0 ) )
186	183, 185	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u x < 0 )
187	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> _e e. RR )
188		1lt2 11194	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 1 < 2
189		egt2lt3 14934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 2 < _e /\ _e < 3 )
190	189	simpli 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 2 < _e
191		1re 10039	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 1 e. RR
192		2re 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 2 e. RR
193	191, 192, 14	lttri 10163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 < 2 /\ 2 < _e ) -> 1 < _e )
194	188, 190, 193	mp2an 708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 1 < _e
195	194	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 1 < _e )
196	170	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> -u x e. RR )
197		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 e. RR )
198	187, 195, 196, 197	cxpltd 24465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( -u x < 0 <-> ( _e ^c -u x ) < ( _e ^c 0 ) ) )
199	186, 198	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) < ( _e ^c 0 ) )
200		cxp0 24416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( _e e. CC -> ( _e ^c 0 ) = 1 )
201	15, 200	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c 0 ) = 1 )
202	199, 201	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) < 1 )
203	175, 176, 202	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( _e ^c -u x ) <_ 1 )
204	174, 203	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) <_ 1 )
205	204	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) <_ 1 )
206	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> RR C_ CC )
207	30	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> P e. NN )
208	47	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> M e. NN0 )
209	31, 49	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F = ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( P - 1 ) ) x. prod_ h e. ( 1 ... M ) ( ( y - h ) ^ P ) ) )
210	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x e. RR )
211	206, 207, 208, 209, 210	etransclem13 40464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( F ` x ) = prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
212	211	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = ( abs ` prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
213		nn0uz 11722	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
214	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> x e. RR )
215		nn0re 11301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h e. NN0 -> h e. RR )
216	215	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> h e. RR )
217	214, 216	resubcld 10458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> ( x - h ) e. RR )
218	217	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. NN0 ) -> ( x - h ) e. RR )
219	60, 77	ifcld 4131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
220	219	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. NN0 ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
221	218, 220	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. NN0 ) -> ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. RR )
222	221	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. NN0 ) -> ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. CC )
223	213, 208, 222	fprodabs 14704	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) = prod_ h e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) )
224		elfznn0 12433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( h e. ( 0 ... M ) -> h e. NN0 )
225	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> x e. CC )
226		nn0cn 11302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( h e. NN0 -> h e. CC )
227	226	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> h e. CC )
228	225, 227	subcld 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. NN0 ) -> ( x - h ) e. CC )
229	228	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. NN0 ) -> ( x - h ) e. CC )
230	224, 229	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - h ) e. CC )
231	219	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 )
232	230, 231	absexpd 14191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) = ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
233	232	prodeq2dv 14653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( x - h ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) ) = prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
234	212, 223, 233	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) = prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
235		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ h ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) )
236		fzfid 12772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( 0 ... M ) e. Fin )
237	224, 228	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - h ) e. CC )
238	237	abscld 14175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( x - h ) ) e. RR )
239	238	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( x - h ) ) e. RR )
240	239, 231	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. RR )
241	237	absge0d 14183	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( x - h ) ) )
242	241	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( x - h ) ) )
243	239, 231, 242	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
244	78	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( M ^ P ) e. RR )
245	76	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> M e. RR )
246	245, 231	reexpcld 13025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( M ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) e. RR )
247	224, 218	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - h ) e. RR )
248	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> x e. CC )
249	224, 227	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> h e. CC )
250	248, 249	negsubdi2d 10408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( x e. ( 0 (,) j ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( x - h ) = ( h - x ) )
251	250	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( x - h ) = ( h - x ) )
252	224	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> h e. NN0 )
253	252	nn0red 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> h e. RR )
254		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 e. RR )
255	210	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> x e. RR )
256		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( h e. ( 0 ... M ) -> h <_ M )
257	256	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> h <_ M )
258	197, 184, 183	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 <_ x )
259	258	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> 0 <_ x )
260	259	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ x )
261	253, 254, 245, 255, 257, 260	le2subd 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( h - x ) <_ ( M - 0 ) )
262	83	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( M - 0 ) = M )
263	262	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( M - 0 ) = M )
264	261, 263	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( h - x ) <_ M )
265	251, 264	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> -u ( x - h ) <_ M )
266	247, 245, 265	lenegcon1d 10609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> -u M <_ ( x - h ) )
267		elfzel2 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. ZZ )
268	267	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> M e. RR )
269	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> M e. RR )
270	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> j e. RR )
271		iooltub 39735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( 0 e. RR* /\ j e. RR* /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x < j )
272	178, 180, 181, 271	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x < j )
273		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j <_ M )
274	273	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> j <_ M )
275	184, 270, 269, 272, 274	ltletrd 10197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x < M )
276	184, 269, 275	ltled 10185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( j e. ( 0 ... M ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x <_ M )
277	276	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> x <_ M )
278	277	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> x <_ M )
279	252	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ h )
280	255, 254, 245, 253, 278, 279	le2subd 10647	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - h ) <_ ( M - 0 ) )
281	280, 263	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( x - h ) <_ M )
282	247, 245	absled 14169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( x - h ) ) <_ M <-> ( -u M <_ ( x - h ) /\ ( x - h ) <_ M ) ) )
283	266, 281, 282	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( x - h ) ) <_ M )
284		leexp1a 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( abs ` ( x - h ) ) e. RR /\ M e. RR /\ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. NN0 ) /\ ( 0 <_ ( abs ` ( x - h ) ) /\ ( abs ` ( x - h ) ) <_ M ) ) -> ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ ( M ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
285	239, 245, 231, 242, 283, 284	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ ( M ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
286	46	nnge1d 11063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 1 <_ M )
287	286	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> 1 <_ M )
288	219	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ )
289	77	nn0zd 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P e. ZZ )
290		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( h = 0 -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( P - 1 ) )
291	290	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ h = 0 ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = ( P - 1 ) )
292	30	nnred 11035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> P e. RR )
293	292	lem1d 10957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( P - 1 ) <_ P )
294	293	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ h = 0 ) -> ( P - 1 ) <_ P )
295	291, 294	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ h = 0 ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) <_ P )
296		iffalse 4095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( -. h = 0 -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = P )
297	296	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ -. h = 0 ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) = P )
298	292	leidd 10594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> P <_ P )
299	298	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ -. h = 0 ) -> P <_ P )
300	297, 299	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ -. h = 0 ) -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) <_ P )
301	295, 300	pm2.61dan 832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) <_ P )
302		eluz2 11693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( P e. ( ZZ>= ` if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <-> ( if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) e. ZZ /\ P e. ZZ /\ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) <_ P ) )
303	288, 289, 301, 302	syl3anbrc 1246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
304	303	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> P e. ( ZZ>= ` if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) )
305	245, 287, 304	leexp2ad 13041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( M ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ ( M ^ P ) )
306	240, 246, 244, 285, 305	letrd 10194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) /\ h e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ ( M ^ P ) )
307	235, 236, 240, 243, 244, 306	fprodle 14727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ prod_ h e. ( 0 ... M ) ( M ^ P ) )
308	78	recnd 10068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ^ P ) e. CC )
309		fprodconst 14708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 0 ... M ) e. Fin /\ ( M ^ P ) e. CC ) -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( M ^ P ) = ( ( M ^ P ) ^ ( # ` ( 0 ... M ) ) ) )
310	7, 308, 309	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( M ^ P ) = ( ( M ^ P ) ^ ( # ` ( 0 ... M ) ) ) )
311		hashfz0 13219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( M e. NN0 -> ( # ` ( 0 ... M ) ) = ( M + 1 ) )
312	47, 311	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` ( 0 ... M ) ) = ( M + 1 ) )
313	312	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( M ^ P ) ^ ( # ` ( 0 ... M ) ) ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
314	310, 313	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( M ^ P ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
315	314	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( M ^ P ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
316	307, 315	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> prod_ h e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( x - h ) ) ^ if ( h = 0 , ( P - 1 ) , P ) ) <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
317	234, 316	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( F ` x ) ) <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
318	160, 161, 162, 136, 163, 164, 205, 317	lemul12ad 10966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) x. ( abs ` ( F ` x ) ) ) <_ ( 1 x. ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) )
319	82	mulid2d 10058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( 1 x. ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
320	319	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( 1 x. ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) ) = ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
321	318, 320	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( ( abs ` ( _e ^c -u x ) ) x. ( abs ` ( F ` x ) ) ) <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
322	159, 321	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) /\ x e. ( 0 (,) j ) ) -> ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
323	156, 148, 155, 136, 322	itgle 23576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( abs ` ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) ) _d x <_ S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x )
324	153, 157, 149, 158, 323	letrd 10194	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) <_ S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x )
325	153, 149, 109, 154, 324	lemul2ad 10964	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( abs ` S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) )
326	152, 325	eqbrtrd 4675	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) )
327	7, 133, 150, 326	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) )
328		itgconst 23585	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 0 (,) j ) e. dom vol /\ ( vol ` ( 0 (,) j ) ) e. RR /\ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) e. CC ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x = ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. ( vol ` ( 0 (,) j ) ) ) )
329	138, 145, 146, 328	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x = ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. ( vol ` ( 0 (,) j ) ) ) )
330	47	nn0ge0d 11354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 0 <_ M )
331	76, 77, 330	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^ P ) )
332	78, 80, 331	expge0d 13026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
333	332	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> 0 <_ ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) )
334	18	subid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( j - 0 ) = j )
335	142, 334	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) = j )
336	335, 273	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) <_ M )
337	336	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( vol ` ( 0 (,) j ) ) <_ M )
338	145, 124, 123, 333, 337	lemul2ad 10964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. ( vol ` ( 0 (,) j ) ) ) <_ ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) )
339	329, 338	eqbrtrd 4675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x <_ ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) )
340	149, 125, 109, 154, 339	lemul2ad 10964	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) <_ ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) )
341	7, 150, 126, 340	fsumle 14531	. . . . . . 7 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) _d x ) <_ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) )
342	134, 151, 127, 327, 341	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( abs ` ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) )
343	131, 134, 127, 135, 342	letrd 10194	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) <_ sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) )
344	131, 127, 132, 343	lediv1dd 11930	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <_ ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( ( ( M ^ P ) ^ ( M + 1 ) ) x. M ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) )
345	344, 122	breqtrd 4679	. . 3 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) <_ ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) )
346		etransclem23.lt1	. . 3 |- ( ph -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( P - 1 ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) ) < 1 )
347	75, 129, 130, 345, 346	lelttrd 10195	. 2 |- ( ph -> ( ( abs ` sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( F ` x ) ) _d x ) ) / ( ! ` ( P - 1 ) ) ) < 1 )
348	70, 347	eqbrtrd 4675	1 |- ( ph -> ( abs ` K ) < 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   ifcif 4086   {cpr 4179   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   (,)cioo 12175   ...cfz 12326   ^cexp 12860   !cfa 13060   #chash 13117   abscabs 13974   sum_csu 14416   prod_cprod 14635   _eceu 14793   ↾_t crest 16081   TopOpenctopn 16082   topGenctg 16098  ℂ_fldccnfld 19746   volcvol 23232   L^1cibl 23386   S.citg 23387   ^c ccxp 24302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-ofr 6898  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-ef 14798  df-e 14799  df-sin 14800  df-cos 14801  df-tan 14802  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-mulg 17541  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-cmp 21190  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-cncf 22681  df-ovol 23233  df-vol 23234  df-mbf 23388  df-itg1 23389  df-itg2 23390  df-ibl 23391  df-itg 23392  df-0p 23437  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-cxp 24304

This theorem is referenced by:  etransclem47  40498