Theorem hoidifhspdmvle 40834

Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidifhspdmvle.l	|- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
hoidifhspdmvle.x	|- ( ph -> X e. Fin )
hoidifhspdmvle.a	|- ( ph -> A : X --> RR )
hoidifhspdmvle.b	|- ( ph -> B : X --> RR )
hoidifhspdmvle.k	|- ( ph -> K e. X )
hoidifhspdmvle.d	|- D = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )
hoidifhspdmvle.y	|- ( ph -> Y e. RR )

Assertion

Ref	Expression
hoidifhspdmvle	|- ( ph -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Distinct variable groups:   x, k   A, a, b, k   A, c, h, k   B, a, b, k   D, a, b, k   K, c, h, x   X, a, b, k, x   X, c, h   Y, a, b, k, x   Y, c, h   ph, a, b, k, x   ph, c, h

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x, h, c)   D( x, h, c)   K( k, a, b)   L( x, h, k, a, b, c)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1843	. . 3 |- F/ k ph
2		hoidifhspdmvle.x	. . 3 |- ( ph -> X e. Fin )
3		hoidifhspdmvle.d	. . . . . 6 |- D = ( x e. RR |-> ( c e. ( RR ^m X ) |-> ( h e. X |-> if ( h = K , if ( x <_ ( c ` h ) , ( c ` h ) , x ) , ( c ` h ) ) ) ) )
4		hoidifhspdmvle.y	. . . . . 6 |- ( ph -> Y e. RR )
5		hoidifhspdmvle.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : X --> RR )
6	3, 4, 2, 5	hoidifhspf 40832	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( D ` Y ) ` A ) : X --> RR )
7	6	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) e. RR )
8		hoidifhspdmvle.b	. . . . 5 |- ( ph -> B : X --> RR )
9	8	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR )
10		volicore 40795	. . . 4 |- ( ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
11	7, 9, 10	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
12	9	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) e. RR* )
13		icombl 23332	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
14	7, 12, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
15		volge0 40177	. . . 4 |- ( ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol -> 0 <_ ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> 0 <_ ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
17	5	ffvelrnda 6359	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR )
18		volicore 40795	. . . 4 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
19	17, 9, 18	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) e. RR )
20		icombl 23332	. . . . 5 |- ( ( ( A ` k ) e. RR /\ ( B ` k ) e. RR* ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
21	17, 12, 20	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol )
22	17	rexrd 10089	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) e. RR* )
23	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> Y e. RR )
24	23	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> Y e. RR )
25	17	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( A ` k ) e. RR )
26		max2 12018	. . . . . . . 8 |- ( ( Y e. RR /\ ( A ` k ) e. RR ) -> ( A ` k ) <_ if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) )
27	24, 25, 26	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( A ` k ) <_ if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) )
28	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> X e. Fin )
29	5	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> A : X --> RR )
30		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> k e. X )
31	3, 23, 28, 29, 30	hoidifhspval3 40833	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) )
32	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) )
33		iftrue 4092	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) )
34	33	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) )
35	32, 34	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) = ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) )
36	27, 35	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ k = K ) -> ( A ` k ) <_ ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) )
37	17	leidd 10594	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( A ` k ) )
38	37	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( A ` k ) <_ ( A ` k ) )
39	31	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) = if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) )
40		iffalse 4095	. . . . . . . . 9 |- ( -. k = K -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = ( A ` k ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> if ( k = K , if ( Y <_ ( A ` k ) , ( A ` k ) , Y ) , ( A ` k ) ) = ( A ` k ) )
42	39, 41	eqtr2d 2657	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( A ` k ) = ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) )
43	38, 42	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. X ) /\ -. k = K ) -> ( A ` k ) <_ ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) )
44	36, 43	pm2.61dan 832	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( A ` k ) <_ ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) )
45	9	leidd 10594	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( B ` k ) <_ ( B ` k ) )
46		icossico 12243	. . . . 5 |- ( ( ( ( A ` k ) e. RR* /\ ( B ` k ) e. RR* ) /\ ( ( A ` k ) <_ ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) /\ ( B ` k ) <_ ( B ` k ) ) ) -> ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
47	22, 12, 44, 45, 46	syl22anc 1327	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) )
48		volss 23301	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol /\ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) e. dom vol /\ ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) C_ ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) -> ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
49	14, 21, 47, 48	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. X ) -> ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) <_ ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
50	1, 2, 11, 16, 19, 49	fprodle 14727	. 2 |- ( ph -> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
51		hoidifhspdmvle.l	. . . 4 |- L = ( x e. Fin |-> ( a e. ( RR ^m x ) , b e. ( RR ^m x ) |-> if ( x = (/) , 0 , prod_ k e. x ( vol ` ( ( a ` k ) [,) ( b ` k ) ) ) ) ) )
52		hoidifhspdmvle.k	. . . . 5 |- ( ph -> K e. X )
53		ne0i 3921	. . . . 5 |- ( K e. X -> X =/= (/) )
54	52, 53	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X =/= (/) )
55	51, 2, 54, 6, 8	hoidmvn0val 40798	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
56	51, 2, 54, 5, 8	hoidmvn0val 40798	. . 3 |- ( ph -> ( A ( L ` X ) B ) = prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) )
57	55, 56	breq12d 4666	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) <_ ( A ( L ` X ) B ) <-> prod_ k e. X ( vol ` ( ( ( ( D ` Y ) ` A ) ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) <_ prod_ k e. X ( vol ` ( ( A ` k ) [,) ( B ` k ) ) ) ) )
58	50, 57	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( ( ( D ` Y ) ` A ) ( L ` X ) B ) <_ ( A ( L ` X ) B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   [,)cico 12177   prod_cprod 14635   volcvol 23232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-prod 14636  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cmp 21190  df-ovol 23233  df-vol 23234

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  40841