Theorem pythagtriplem19 15538

Description: Lemma for pythagtrip 15539. Introduce k and remove the relative primality requirement. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pythagtriplem19	|- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   A, m, n, k   B, m, n, k   C, m, n, k

Proof of Theorem pythagtriplem19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> A e. ZZ )
2		nnz 11399	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. ZZ )
3	1, 2	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) )
4		nnne0 11053	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> A =/= 0 )
5	4	neneqd 2799	. . . . . . . 8 |- ( A e. NN -> -. A = 0 )
6	5	intnanrd 963	. . . . . . 7 |- ( A e. NN -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
7	6	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> -. ( A = 0 /\ B = 0 ) )
8		gcdn0cl 15224	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) /\ -. ( A = 0 /\ B = 0 ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
9	3, 7, 8	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
10	9	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. NN )
11	10	3ad2ant1 1082	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A gcd B ) e. NN )
12		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
13	1, 2, 12	syl2an 494	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
14	13	3adant3 1081	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) )
15	14	simpld 475	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) || A )
16	10	nnzd 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. ZZ )
17	10	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) =/= 0 )
18	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. ZZ )
19		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
21	15, 20	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
22		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> A e. RR )
23	22	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. RR )
24	10	nnred 11035	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. RR )
25		nngt0 11049	. . . . . . . . 9 |- ( A e. NN -> 0 < A )
26	25	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < A )
27	10	nngt0d 11064	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A gcd B ) )
28	23, 24, 26, 27	divgt0d 10959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( A / ( A gcd B ) ) )
29		elnnz 11387	. . . . . . 7 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( A / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( A / ( A gcd B ) ) ) )
30	21, 28, 29	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. NN )
31	30	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A / ( A gcd B ) ) e. NN )
32	14	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) || B )
33	2	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. ZZ )
34		dvdsval2 14986	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
35	16, 17, 33, 34	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
36	32, 35	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
37		nnre 11027	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> B e. RR )
38	37	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. RR )
39		nngt0 11049	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> 0 < B )
40	39	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < B )
41	38, 24, 40, 27	divgt0d 10959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( B / ( A gcd B ) ) )
42		elnnz 11387	. . . . . . 7 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( B / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( B / ( A gcd B ) ) ) )
43	36, 41, 42	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. NN )
44	43	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( B / ( A gcd B ) ) e. NN )
45		dvdssq 15280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
46	16, 18, 45	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || A <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) ) )
47		dvdssq 15280	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
48	16, 33, 47	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || B <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
49	46, 48	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) <-> ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) ) )
50	14, 49	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) )
51	10	nnsqcld 13029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. NN )
52	51	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. ZZ )
53		nnsqcl 12933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. NN -> ( A ^ 2 ) e. NN )
54	53	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. NN )
55	54	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
56		nnsqcl 12933	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. NN -> ( B ^ 2 ) e. NN )
57	56	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. NN )
58	57	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
59		dvds2add 15015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. ZZ /\ ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
60	52, 55, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( A ^ 2 ) /\ ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( B ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) ) )
61	50, 60	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
62	61	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) )
63		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) )
64	62, 63	breqtrd 4679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) )
65		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C e. NN -> C e. ZZ )
66	65	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. ZZ )
67		dvdssq 15280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
68	16, 66, 67	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
69	68	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) || ( C ^ 2 ) ) )
70	64, 69	mpbird 247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( A gcd B ) || C )
71		dvdsval2 14986	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A gcd B ) e. ZZ /\ ( A gcd B ) =/= 0 /\ C e. ZZ ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
72	16, 17, 66, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
73	72	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) || C <-> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ ) )
74	70, 73	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ )
75		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> C e. RR )
76	75	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. RR )
77		nngt0 11049	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> 0 < C )
78	77	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < C )
79	76, 24, 78, 27	divgt0d 10959	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> 0 < ( C / ( A gcd B ) ) )
80	79	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> 0 < ( C / ( A gcd B ) ) )
81		elnnz 11387	. . . . . . 7 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) e. NN <-> ( ( C / ( A gcd B ) ) e. ZZ /\ 0 < ( C / ( A gcd B ) ) ) )
82	74, 80, 81	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. NN )
83	82	3adant3 1081	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( C / ( A gcd B ) ) e. NN )
84		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. NN -> A e. CC )
85	84	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A e. CC )
86	10	nncnd 11036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A gcd B ) e. CC )
87	85, 86, 17	sqdivd 13021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
88		nncn 11028	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. NN -> B e. CC )
89	88	3ad2ant2 1083	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B e. CC )
90	89, 86, 17	sqdivd 13021	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
91	87, 90	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
92	91	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
93	54	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A ^ 2 ) e. CC )
94	57	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( B ^ 2 ) e. CC )
95	51	nncnd 11036	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) e. CC )
96	51	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) ^ 2 ) =/= 0 )
97	93, 94, 95, 96	divdird 10839	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
98	97	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) + ( ( B ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) ) )
99	92, 98	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
100		nncn 11028	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. NN -> C e. CC )
101	100	3ad2ant3 1084	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C e. CC )
102	101, 86, 17	sqdivd 13021	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
103	102	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
104		oveq1 6657	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
105	104	3ad2ant2 1083	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) = ( ( C ^ 2 ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
106	103, 105	eqtr4d 2659	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) = ( ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) / ( ( A gcd B ) ^ 2 ) ) )
107	99, 106	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) )
108		gcddiv 15268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ /\ ( A gcd B ) e. NN ) /\ ( ( A gcd B ) || A /\ ( A gcd B ) || B ) ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
109	18, 33, 10, 14, 108	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) )
110	86, 17	dividd 10799	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) / ( A gcd B ) ) = 1 )
111	109, 110	eqtr3d 2658	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )
112	111	3ad2ant1 1082	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 )
113		simp3 1063	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) )
114		pythagtriplem18 15537	. . . . 5 |- ( ( ( ( A / ( A gcd B ) ) e. NN /\ ( B / ( A gcd B ) ) e. NN /\ ( C / ( A gcd B ) ) e. NN ) /\ ( ( ( A / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) + ( ( B / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) ) = ( ( C / ( A gcd B ) ) ^ 2 ) /\ ( ( ( A / ( A gcd B ) ) gcd ( B / ( A gcd B ) ) ) = 1 /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
115	31, 44, 83, 107, 112, 113, 114	syl312anc 1347	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
116	85, 86, 17	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) = A )
117	116	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) )
118	89, 86, 17	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) = B )
119	118	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) )
120	101, 86, 17	divcan2d 10803	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) = C )
121	120	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) )
122	117, 119, 121	3jca 1242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) )
123	122	3ad2ant1 1082	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) )
124		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
125	124	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
126	125	3ad2ant1 1082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
127		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) )
128	127	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) -> ( B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
129	128	3ad2ant2 1083	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
130		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) -> ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
131	130	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) -> ( C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
132	131	3ad2ant3 1084	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
133	126, 129, 132	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( ( A = ( ( A gcd B ) x. ( A / ( A gcd B ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( B / ( A gcd B ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( C / ( A gcd B ) ) ) ) <-> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
134	123, 133	syl5ibcom 235	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
135	134	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
136	135	reximdv 3016	. . . 4 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN ( ( A / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) /\ ( B / ( A gcd B ) ) = ( 2 x. ( m x. n ) ) /\ ( C / ( A gcd B ) ) = ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
137	115, 136	mpd 15	. . 3 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
138		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) )
139	138	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) <-> A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) ) )
140		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) )
141	140	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) <-> B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) ) )
142		oveq1 6657	. . . . . . 7 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) )
143	142	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) <-> C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
144	139, 141, 143	3anbi123d 1399	. . . . 5 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
145	144	2rexbidv 3057	. . . 4 |- ( k = ( A gcd B ) -> ( E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) )
146	145	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( A gcd B ) e. NN /\ E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( ( A gcd B ) x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( ( A gcd B ) x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) ) -> E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
147	11, 137, 146	syl2anc 693	. 2 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
148		rexcom 3099	. . 3 |- ( E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
149		rexcom 3099	. . . 4 |- ( E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
150	149	rexbii 3041	. . 3 |- ( E. n e. NN E. k e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
151	148, 150	bitri 264	. 2 |- ( E. k e. NN E. n e. NN E. m e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) <-> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )
152	147, 151	sylib 208	1 |- ( ( ( A e. NN /\ B e. NN /\ C e. NN ) /\ ( ( A ^ 2 ) + ( B ^ 2 ) ) = ( C ^ 2 ) /\ -. 2 || ( A / ( A gcd B ) ) ) -> E. n e. NN E. m e. NN E. k e. NN ( A = ( k x. ( ( m ^ 2 ) - ( n ^ 2 ) ) ) /\ B = ( k x. ( 2 x. ( m x. n ) ) ) /\ C = ( k x. ( ( m ^ 2 ) + ( n ^ 2 ) ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   < clt 10074   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ^cexp 12860   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-prm 15386

This theorem is referenced by:  pythagtrip  15539