Theorem phimullem 15484

Description: Lemma for phimul 15485. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
crth.1	|- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
crth.2	|- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
crth.3	|- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
crth.4	|- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
phimul.4	|- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
phimul.5	|- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
phimul.6	|- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }

Assertion

Ref	Expression
phimullem	|- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

Distinct variable groups:   y, F   x, y, M   ph, x, y   x, S, y   x, T   x, N, y

Allowed substitution hints:   T( y)   U( x, y)   F( x)   V( x, y)   W( x, y)

Proof of Theorem phimullem

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phimul.4	. . . . 5 |- U = { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 }
2		fzofi 12773	. . . . . 6 |- ( 0..^ M ) e. Fin
3		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } C_ ( 0..^ M )
4		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ M ) e. Fin /\ { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } C_ ( 0..^ M ) ) -> { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } e. Fin )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 |- { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } e. Fin
6	1, 5	eqeltri 2697	. . . 4 |- U e. Fin
7		phimul.5	. . . . 5 |- V = { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 }
8		fzofi 12773	. . . . . 6 |- ( 0..^ N ) e. Fin
9		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N )
10		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 0..^ N ) e. Fin /\ { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } C_ ( 0..^ N ) ) -> { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } e. Fin )
11	8, 9, 10	mp2an 708	. . . . 5 |- { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } e. Fin
12	7, 11	eqeltri 2697	. . . 4 |- V e. Fin
13		hashxp 13221	. . . 4 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> ( # ` ( U X. V ) ) = ( ( # ` U ) x. ( # ` V ) ) )
14	6, 12, 13	mp2an 708	. . 3 |- ( # ` ( U X. V ) ) = ( ( # ` U ) x. ( # ` V ) )
15		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = w -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( w gcd ( M x. N ) ) )
16	15	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = w -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
17		phimul.6	. . . . . . . . . . . . 13 |- W = { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
18	16, 17	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. W <-> ( w e. S /\ ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
19	18	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. W -> w e. S )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x mod M ) = ( w mod M ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> ( x mod N ) = ( w mod N ) )
22	20, 21	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
23		crth.3	. . . . . . . . . . . 12 |- F = ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. )
24		opex 4932	. . . . . . . . . . . 12 |- <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. _V
25	22, 23, 24	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. S -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
26	19, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. W -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) = <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
28		crth.1	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( 0..^ ( M x. N ) )
29	19, 28	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w e. W -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
30	29	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
31		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> w e. ZZ )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> w e. ZZ )
33		crth.4	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M e. NN /\ N e. NN /\ ( M gcd N ) = 1 ) )
34	33	simp1d 1073	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M e. NN )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. NN )
36		zmodfzo 12693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
37	32, 35, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) )
38		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
39	32, 35, 38	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = ( w gcd M ) )
40	35	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M e. ZZ )
41		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
42	32, 40, 41	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
43	42	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || w )
44	42	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || M )
45	33	simp2d 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> N e. NN )
46	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. NN )
47	46	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N e. ZZ )
48		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> M || ( M x. N ) )
49	40, 47, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> M || ( M x. N ) )
50		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M e. NN -> M =/= 0 )
51		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
52	51	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( M =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
53	35, 50, 52	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
54		gcdn0cl 15224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( w gcd M ) e. NN )
55	32, 40, 53, 54	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. NN )
56	55	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) e. ZZ )
57	35, 46	nnmulcld 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. NN )
58	57	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
59		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w gcd M ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( w gcd M ) || M /\ M || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) )
60	56, 40, 58, 59	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd M ) || M /\ M || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) )
61	44, 49, 60	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) || ( M x. N ) )
62		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( M x. N ) =/= 0 )
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) -> ( M x. N ) = 0 )
64	63	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M x. N ) =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
65	57, 62, 64	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) )
66		dvdslegcd 15226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd M ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
67	56, 32, 58, 65, 66	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
68	43, 61, 67	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
69	18	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. W -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
70	69	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = 1 )
71	68, 70	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) <_ 1 )
72		nnle1eq1 11048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd M ) e. NN -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
73	55, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd M ) <_ 1 <-> ( w gcd M ) = 1 ) )
74	71, 73	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd M ) = 1 )
75	39, 74	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 )
76		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( w mod M ) gcd M ) )
77	76	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
78	77, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod M ) e. U <-> ( ( w mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( w mod M ) gcd M ) = 1 ) )
79	37, 75, 78	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod M ) e. U )
80		zmodfzo 12693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
81	32, 46, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) )
82		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
83	32, 46, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = ( w gcd N ) )
84		gcddvds 15225	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
85	32, 47, 84	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
86	85	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || w )
87	85	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || N )
88		dvdsmul2 15004	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N || ( M x. N ) )
89	40, 47, 88	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> N || ( M x. N ) )
90		nnne0 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. NN -> N =/= 0 )
91		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( w = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
92	91	necon3ai 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
93	46, 90, 92	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
94		gcdn0cl 15224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( w gcd N ) e. NN )
95	32, 47, 93, 94	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. NN )
96	95	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) e. ZZ )
97		dvdstr 15018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ N e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
98	96, 47, 58, 97	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || N /\ N || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) )
99	87, 89, 98	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) || ( M x. N ) )
100		dvdslegcd 15226	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( w gcd N ) e. ZZ /\ w e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ ( M x. N ) = 0 ) ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
101	96, 32, 58, 65, 100	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || ( M x. N ) ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) ) )
102	86, 99, 101	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ ( w gcd ( M x. N ) ) )
103	102, 70	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) <_ 1 )
104		nnle1eq1 11048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( w gcd N ) e. NN -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
105	95, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w gcd N ) <_ 1 <-> ( w gcd N ) = 1 ) )
106	103, 105	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w gcd N ) = 1 )
107	83, 106	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 )
108		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( w mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( w mod N ) gcd N ) )
109	108	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( w mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
110	109, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( w mod N ) e. V <-> ( ( w mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( w mod N ) gcd N ) = 1 ) )
111	81, 107, 110	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( w mod N ) e. V )
112		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( w mod M ) e. U /\ ( w mod N ) e. V ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
113	79, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. e. ( U X. V ) )
114	27, 113	eqeltrd 2701	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. W ) -> ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
115	114	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) )
116		crth.2	. . . . . . . . . 10 |- T = ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
117	28, 116, 23, 33	crth 15483	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : S -1-1-onto-> T )
118		f1ofn 6138	. . . . . . . . 9 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F Fn S )
119		fnfun 5988	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn S -> Fun F )
120	117, 118, 119	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Fun F )
121		ssrab2 3687	. . . . . . . . . 10 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } C_ S
122	17, 121	eqsstri 3635	. . . . . . . . 9 |- W C_ S
123		fndm 5990	. . . . . . . . . 10 |- ( F Fn S -> dom F = S )
124	117, 118, 123	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> dom F = S )
125	122, 124	syl5sseqr 3654	. . . . . . . 8 |- ( ph -> W C_ dom F )
126		funimass4 6247	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
127	120, 125, 126	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( F " W ) C_ ( U X. V ) <-> A. w e. W ( F ` w ) e. ( U X. V ) ) )
128	115, 127	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F " W ) C_ ( U X. V ) )
129	1, 3	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- U C_ ( 0..^ M )
130	7, 9	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- V C_ ( 0..^ N )
131		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( U C_ ( 0..^ M ) /\ V C_ ( 0..^ N ) ) -> ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) ) )
132	129, 130, 131	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U X. V ) C_ ( ( 0..^ M ) X. ( 0..^ N ) )
133	132, 116	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( U X. V ) C_ T
134	133	sseli 3599	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ( U X. V ) -> z e. T )
135		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F : S -1-1-onto-> T /\ z e. T ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
136	117, 134, 135	syl2an 494	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
137		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> `' F : T -1-1-onto-> S )
138		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F : T -1-1-onto-> S -> `' F : T --> S )
139	117, 137, 138	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> `' F : T --> S )
140		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F : T --> S /\ z e. T ) -> ( `' F ` z ) e. S )
141	139, 134, 140	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. S )
142	141, 28	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) )
143		elfzoelz 12470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' F ` z ) e. ( 0..^ ( M x. N ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. ZZ )
145	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. NN )
146		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
147	144, 145, 146	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = ( ( `' F ` z ) gcd M ) )
148		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod M ) = ( ( `' F ` z ) mod M ) )
149		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( w = ( `' F ` z ) -> ( w mod N ) = ( ( `' F ` z ) mod N ) )
150	148, 149	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w = ( `' F ` z ) -> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
151	22	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. S |-> <. ( x mod M ) , ( x mod N ) >. ) = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
152	23, 151	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F = ( w e. S |-> <. ( w mod M ) , ( w mod N ) >. )
153		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. _V
154	150, 152, 153	fvmpt 6282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( `' F ` z ) e. S -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
155	141, 154	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
156	136, 155	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z = <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. )
157		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( U X. V ) )
158	156, 157	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) )
159		opelxp 5146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. ( ( `' F ` z ) mod M ) , ( ( `' F ` z ) mod N ) >. e. ( U X. V ) <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
160	158, 159	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U /\ ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V ) )
161	160	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U )
162		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( y gcd M ) = ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) )
163	162	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod M ) -> ( ( y gcd M ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
164	163, 1	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. U <-> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
165	161, 164	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) e. ( 0..^ M ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 ) )
166	165	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod M ) gcd M ) = 1 )
167	147, 166	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 )
168	45	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. NN )
169		modgcd 15253	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
170	144, 168, 169	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = ( ( `' F ` z ) gcd N ) )
171	160	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V )
172		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( y gcd N ) = ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) )
173	172	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = ( ( `' F ` z ) mod N ) -> ( ( y gcd N ) = 1 <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
174	173, 7	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. V <-> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
175	171, 174	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) e. ( 0..^ N ) /\ ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 ) )
176	175	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( `' F ` z ) mod N ) gcd N ) = 1 )
177	170, 176	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 )
178	34	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> M e. ZZ )
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> M e. ZZ )
180	45	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> N e. ZZ )
181	180	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> N e. ZZ )
182		rpmul 15373	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` z ) e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
183	144, 179, 181, 182	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( ( ( `' F ` z ) gcd M ) = 1 /\ ( ( `' F ` z ) gcd N ) = 1 ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
184	167, 177, 183	mp2and 715	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 )
185		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( y gcd ( M x. N ) ) = ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) )
186	185	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( `' F ` z ) -> ( ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 <-> ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
187	186, 17	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F ` z ) e. W <-> ( ( `' F ` z ) e. S /\ ( ( `' F ` z ) gcd ( M x. N ) ) = 1 ) )
188	141, 184, 187	sylanbrc 698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( `' F ` z ) e. W )
189		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun F /\ W C_ dom F ) -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
190	120, 125, 189	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( `' F ` z ) e. W -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) ) )
191	190	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( `' F ` z ) e. W ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
192	188, 191	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) e. ( F " W ) )
193	136, 192	eqeltrrd 2702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. ( U X. V ) ) -> z e. ( F " W ) )
194	193	ex 450	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( z e. ( U X. V ) -> z e. ( F " W ) ) )
195	194	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ph -> ( U X. V ) C_ ( F " W ) )
196	128, 195	eqssd 3620	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) = ( U X. V ) )
197		f1of1 6136	. . . . . . 7 |- ( F : S -1-1-onto-> T -> F : S -1-1-> T )
198	117, 197	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F : S -1-1-> T )
199		fzofi 12773	. . . . . . . . . 10 |- ( 0..^ ( M x. N ) ) e. Fin
200	28, 199	eqeltri 2697	. . . . . . . . 9 |- S e. Fin
201		ssfi 8180	. . . . . . . . 9 |- ( ( S e. Fin /\ W C_ S ) -> W e. Fin )
202	200, 122, 201	mp2an 708	. . . . . . . 8 |- W e. Fin
203	202	elexi 3213	. . . . . . 7 |- W e. _V
204	203	f1imaen 8018	. . . . . 6 |- ( ( F : S -1-1-> T /\ W C_ S ) -> ( F " W ) ~~ W )
205	198, 122, 204	sylancl 694	. . . . 5 |- ( ph -> ( F " W ) ~~ W )
206	196, 205	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ph -> ( U X. V ) ~~ W )
207		xpfi 8231	. . . . . 6 |- ( ( U e. Fin /\ V e. Fin ) -> ( U X. V ) e. Fin )
208	6, 12, 207	mp2an 708	. . . . 5 |- ( U X. V ) e. Fin
209		hashen 13135	. . . . 5 |- ( ( ( U X. V ) e. Fin /\ W e. Fin ) -> ( ( # ` ( U X. V ) ) = ( # ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W ) )
210	208, 202, 209	mp2an 708	. . . 4 |- ( ( # ` ( U X. V ) ) = ( # ` W ) <-> ( U X. V ) ~~ W )
211	206, 210	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> ( # ` ( U X. V ) ) = ( # ` W ) )
212	14, 211	syl5reqr 2671	. 2 |- ( ph -> ( # ` W ) = ( ( # ` U ) x. ( # ` V ) ) )
213	34, 45	nnmulcld 11068	. . 3 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
214		dfphi2 15479	. . . 4 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } ) )
215		rabeq 3192	. . . . . . 7 |- ( S = ( 0..^ ( M x. N ) ) -> { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } )
216	28, 215	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { y e. S | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
217	17, 216	eqtri 2644	. . . . 5 |- W = { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 }
218	217	fveq2i 6194	. . . 4 |- ( # ` W ) = ( # ` { y e. ( 0..^ ( M x. N ) ) | ( y gcd ( M x. N ) ) = 1 } )
219	214, 218	syl6eqr 2674	. . 3 |- ( ( M x. N ) e. NN -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( # ` W ) )
220	213, 219	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( # ` W ) )
221		dfphi2 15479	. . . . 5 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = ( # ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } ) )
222	1	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( # ` U ) = ( # ` { y e. ( 0..^ M ) | ( y gcd M ) = 1 } )
223	221, 222	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( M e. NN -> ( phi ` M ) = ( # ` U ) )
224	34, 223	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` M ) = ( # ` U ) )
225		dfphi2 15479	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } ) )
226	7	fveq2i 6194	. . . . 5 |- ( # ` V ) = ( # ` { y e. ( 0..^ N ) | ( y gcd N ) = 1 } )
227	225, 226	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( phi ` N ) = ( # ` V ) )
228	45, 227	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( phi ` N ) = ( # ` V ) )
229	224, 228	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) = ( ( # ` U ) x. ( # ` V ) ) )
230	212, 220, 229	3eqtr4d 2666	1 |- ( ph -> ( phi ` ( M x. N ) ) = ( ( phi ` M ) x. ( phi ` N ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   {crab 2916   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ~~ cen 7952   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NNcn 11020   ZZcz 11377  ..^cfzo 12465   mod cmo 12668   #chash 13117   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216   phicphi 15469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-xnn0 11364  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-hash 13118  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217  df-phi 15471

This theorem is referenced by:  phimul  15485