Theorem dvdsmulf1o 24920

Description: If M and N are two coprime integers, multiplication forms a bijection from the set of pairs <. j , k >. where j || M and k || N, to the set of divisors of M x. N. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvdsmulf1o.1	|- ( ph -> M e. NN )
dvdsmulf1o.2	|- ( ph -> N e. NN )
dvdsmulf1o.3	|- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
dvdsmulf1o.x	|- X = { x e. NN | x || M }
dvdsmulf1o.y	|- Y = { x e. NN | x || N }
dvdsmulf1o.z	|- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulf1o	|- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z )

Distinct variable groups:   x, M   x, N

Allowed substitution hints:   ph( x)   X( x)   Y( x)   Z( x)

Proof of Theorem dvdsmulf1o

Dummy variables i u j m n v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-mulf 10016	. . . . . . 7 |- x. : ( CC X. CC ) --> CC
2		ffn 6045	. . . . . . 7 |- ( x. : ( CC X. CC ) --> CC -> x. Fn ( CC X. CC ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 |- x. Fn ( CC X. CC )
4		dvdsmulf1o.x	. . . . . . . . 9 |- X = { x e. NN | x || M }
5		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. NN | x || M } C_ NN
6	4, 5	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- X C_ NN
7		nnsscn 11025	. . . . . . . 8 |- NN C_ CC
8	6, 7	sstri 3612	. . . . . . 7 |- X C_ CC
9		dvdsmulf1o.y	. . . . . . . . 9 |- Y = { x e. NN | x || N }
10		ssrab2 3687	. . . . . . . . 9 |- { x e. NN | x || N } C_ NN
11	9, 10	eqsstri 3635	. . . . . . . 8 |- Y C_ NN
12	11, 7	sstri 3612	. . . . . . 7 |- Y C_ CC
13		xpss12 5225	. . . . . . 7 |- ( ( X C_ CC /\ Y C_ CC ) -> ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) )
14	8, 12, 13	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC )
15		fnssres 6004	. . . . . 6 |- ( ( x. Fn ( CC X. CC ) /\ ( X X. Y ) C_ ( CC X. CC ) ) -> ( x. |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
16	3, 14, 15	mp2an 708	. . . . 5 |- ( x. |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) )
18		ovres 6800	. . . . . . 7 |- ( ( i e. X /\ j e. Y ) -> ( i ( x. |` ( X X. Y ) ) j ) = ( i x. j ) )
19	18	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i ( x. |` ( X X. Y ) ) j ) = ( i x. j ) )
20		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = i -> ( x || M <-> i || M ) )
21	20, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( i e. X <-> ( i e. NN /\ i || M ) )
22	21	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( i e. X -> i e. NN )
23	22	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i e. NN )
24		breq1 4656	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> ( x || N <-> j || N ) )
25	24, 9	elrab2 3366	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. Y <-> ( j e. NN /\ j || N ) )
26	25	simplbi 476	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Y -> j e. NN )
27	26	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j e. NN )
28	23, 27	nnmulcld 11068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. NN )
29	25	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( j e. Y -> j || N )
30	29	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j || N )
31	21	simprbi 480	. . . . . . . . 9 |- ( i e. X -> i || M )
32	31	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i || M )
33	27	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> j e. ZZ )
34		dvdsmulf1o.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> N e. NN )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> N e. NN )
36	35	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> N e. ZZ )
37	23	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> i e. ZZ )
38		dvdscmul 15008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( j e. ZZ /\ N e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( j || N -> ( i x. j ) || ( i x. N ) ) )
39	33, 36, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( j || N -> ( i x. j ) || ( i x. N ) ) )
40		dvdsmulf1o.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. NN )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> M e. NN )
42	41	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> M e. ZZ )
43		dvdsmulc 15009	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i || M -> ( i x. N ) || ( M x. N ) ) )
44	37, 42, 36, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i || M -> ( i x. N ) || ( M x. N ) ) )
45	28	nnzd 11481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. ZZ )
46	37, 36	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. N ) e. ZZ )
47	42, 36	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( M x. N ) e. ZZ )
48		dvdstr 15018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( i x. j ) e. ZZ /\ ( i x. N ) e. ZZ /\ ( M x. N ) e. ZZ ) -> ( ( ( i x. j ) || ( i x. N ) /\ ( i x. N ) || ( M x. N ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
49	45, 46, 47, 48	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( ( ( i x. j ) || ( i x. N ) /\ ( i x. N ) || ( M x. N ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
50	39, 44, 49	syl2and 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( ( j || N /\ i || M ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
51	30, 32, 50	mp2and 715	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) || ( M x. N ) )
52		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( i x. j ) -> ( x || ( M x. N ) <-> ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
53		dvdsmulf1o.z	. . . . . . . 8 |- Z = { x e. NN | x || ( M x. N ) }
54	52, 53	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( ( i x. j ) e. Z <-> ( ( i x. j ) e. NN /\ ( i x. j ) || ( M x. N ) ) )
55	28, 51, 54	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i x. j ) e. Z )
56	19, 55	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> ( i ( x. |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z )
57	56	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. X A. j e. Y ( i ( x. |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z )
58		ffnov 6764	. . . 4 |- ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z <-> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) Fn ( X X. Y ) /\ A. i e. X A. j e. Y ( i ( x. |` ( X X. Y ) ) j ) e. Z ) )
59	17, 57, 58	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z )
60	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. NN )
61	60	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. NN0 )
62		simprll 802	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. X )
63		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = m -> ( x || M <-> m || M ) )
64	63, 4	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. X <-> ( m e. NN /\ m || M ) )
65	64	simplbi 476	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. X -> m e. NN )
66	62, 65	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. NN )
67	66	nnnn0d 11351	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. NN0 )
68	60	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. ZZ )
69	27	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. NN )
70	69	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. ZZ )
71		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ j e. ZZ ) -> i || ( i x. j ) )
72	68, 70, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || ( i x. j ) )
73		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( m x. n ) )
74	8, 62	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. CC )
75		simprlr 803	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. Y )
76		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = n -> ( x || N <-> n || N ) )
77	76, 9	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. Y <-> ( n e. NN /\ n || N ) )
78	77	simplbi 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. Y -> n e. NN )
79	75, 78	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. NN )
80	79	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. CC )
81	74, 80	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m x. n ) = ( n x. m ) )
82	73, 81	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( n x. m ) )
83	72, 82	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || ( n x. m ) )
84	79	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n e. ZZ )
85	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> N e. ZZ )
86		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( i e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( i gcd N ) = ( N gcd i ) )
87	68, 85, 86	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd N ) = ( N gcd i ) )
88	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> M e. ZZ )
89	34	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> N e. ZZ )
90	40	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. ZZ )
91		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( N e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( N gcd M ) = ( M gcd N ) )
92	89, 90, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( N gcd M ) = ( M gcd N ) )
93		dvdsmulf1o.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M gcd N ) = 1 )
94	92, 93	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( N gcd M ) = 1 )
95	94	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd M ) = 1 )
96	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || M )
97		rpdvds 15374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ i e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( N gcd M ) = 1 /\ i || M ) ) -> ( N gcd i ) = 1 )
98	85, 68, 88, 95, 96, 97	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd i ) = 1 )
99	87, 98	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd N ) = 1 )
100	77	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. Y -> n || N )
101	75, 100	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> n || N )
102		rpdvds 15374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( i e. ZZ /\ n e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( i gcd N ) = 1 /\ n || N ) ) -> ( i gcd n ) = 1 )
103	68, 84, 85, 99, 101, 102	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i gcd n ) = 1 )
104	66	nnzd 11481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m e. ZZ )
105		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. ZZ /\ n e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( ( i || ( n x. m ) /\ ( i gcd n ) = 1 ) -> i || m ) )
106	68, 84, 104, 105	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( ( i || ( n x. m ) /\ ( i gcd n ) = 1 ) -> i || m ) )
107	83, 103, 106	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i || m )
108		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> m || ( m x. n ) )
109	104, 84, 108	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || ( m x. n ) )
110	60	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i e. CC )
111	69	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j e. CC )
112	110, 111	mulcomd 10061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( j x. i ) )
113	73, 112	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m x. n ) = ( j x. i ) )
114	109, 113	breqtrd 4679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || ( j x. i ) )
115		gcdcom 15235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( m e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( m gcd N ) = ( N gcd m ) )
116	104, 85, 115	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd N ) = ( N gcd m ) )
117	64	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. X -> m || M )
118	62, 117	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || M )
119		rpdvds 15374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( N e. ZZ /\ m e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ ( ( N gcd M ) = 1 /\ m || M ) ) -> ( N gcd m ) = 1 )
120	85, 104, 88, 95, 118, 119	syl32anc 1334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( N gcd m ) = 1 )
121	116, 120	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd N ) = 1 )
122	30	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j || N )
123		rpdvds 15374	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( m e. ZZ /\ j e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( ( m gcd N ) = 1 /\ j || N ) ) -> ( m gcd j ) = 1 )
124	104, 70, 85, 121, 122, 123	syl32anc 1334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( m gcd j ) = 1 )
125		coprmdvds 15366	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( m e. ZZ /\ j e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> ( ( m || ( j x. i ) /\ ( m gcd j ) = 1 ) -> m || i ) )
126	104, 70, 68, 125	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( ( m || ( j x. i ) /\ ( m gcd j ) = 1 ) -> m || i ) )
127	114, 124, 126	mp2and 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> m || i )
128		dvdseq 15036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( i e. NN0 /\ m e. NN0 ) /\ ( i || m /\ m || i ) ) -> i = m )
129	61, 67, 107, 127, 128	syl22anc 1327	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i = m )
130	60	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> i =/= 0 )
131	129	oveq1d 6665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. n ) = ( m x. n ) )
132	73, 131	eqtr4d 2659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> ( i x. j ) = ( i x. n ) )
133	111, 80, 110, 130, 132	mulcanad 10662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> j = n )
134	129, 133	opeq12d 4410	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( ( m e. X /\ n e. Y ) /\ ( i x. j ) = ( m x. n ) ) ) -> <. i , j >. = <. m , n >. )
135	134	expr 643	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) /\ ( m e. X /\ n e. Y ) ) -> ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
136	135	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( i e. X /\ j e. Y ) ) -> A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
137	136	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ph -> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
138		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( x. ` u ) )
139		fvres 6207	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ( X X. Y ) -> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) = ( x. ` v ) )
140	138, 139	eqeqan12d 2638	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) <-> ( x. ` u ) = ( x. ` v ) ) )
141	140	imbi1d 331	. . . . . . 7 |- ( ( u e. ( X X. Y ) /\ v e. ( X X. Y ) ) -> ( ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) ) )
142	141	ralbidva 2985	. . . . . 6 |- ( u e. ( X X. Y ) -> ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. v e. ( X X. Y ) ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) ) )
143	142	ralbiia 2979	. . . . 5 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) )
144		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = <. m , n >. -> ( x. ` v ) = ( x. ` <. m , n >. ) )
145		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( m x. n ) = ( x. ` <. m , n >. )
146	144, 145	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( v = <. m , n >. -> ( x. ` v ) = ( m x. n ) )
147	146	eqeq2d 2632	. . . . . . . . 9 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) <-> ( x. ` u ) = ( m x. n ) ) )
148		eqeq2 2633	. . . . . . . . 9 |- ( v = <. m , n >. -> ( u = v <-> u = <. m , n >. ) )
149	147, 148	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( v = <. m , n >. -> ( ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) <-> ( ( x. ` u ) = ( m x. n ) -> u = <. m , n >. ) ) )
150	149	ralxp 5263	. . . . . . 7 |- ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( x. ` u ) = ( m x. n ) -> u = <. m , n >. ) )
151		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = <. i , j >. -> ( x. ` u ) = ( x. ` <. i , j >. ) )
152		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( i x. j ) = ( x. ` <. i , j >. )
153	151, 152	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( u = <. i , j >. -> ( x. ` u ) = ( i x. j ) )
154	153	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( x. ` u ) = ( m x. n ) <-> ( i x. j ) = ( m x. n ) ) )
155		eqeq1 2626	. . . . . . . . 9 |- ( u = <. i , j >. -> ( u = <. m , n >. <-> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
156	154, 155	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( u = <. i , j >. -> ( ( ( x. ` u ) = ( m x. n ) -> u = <. m , n >. ) <-> ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
157	156	2ralbidv 2989	. . . . . . 7 |- ( u = <. i , j >. -> ( A. m e. X A. n e. Y ( ( x. ` u ) = ( m x. n ) -> u = <. m , n >. ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
158	150, 157	syl5bb 272	. . . . . 6 |- ( u = <. i , j >. -> ( A. v e. ( X X. Y ) ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) <-> A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) ) )
159	158	ralxp 5263	. . . . 5 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( x. ` u ) = ( x. ` v ) -> u = v ) <-> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
160	143, 159	bitri 264	. . . 4 |- ( A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) <-> A. i e. X A. j e. Y A. m e. X A. n e. Y ( ( i x. j ) = ( m x. n ) -> <. i , j >. = <. m , n >. ) )
161	137, 160	sylibr 224	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) )
162		dff13 6512	. . 3 |- ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z <-> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z /\ A. u e. ( X X. Y ) A. v e. ( X X. Y ) ( ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` v ) -> u = v ) ) )
163	59, 161, 162	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z )
164		breq1 4656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( x || ( M x. N ) <-> w || ( M x. N ) ) )
165	164, 53	elrab2 3366	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. Z <-> ( w e. NN /\ w || ( M x. N ) ) )
166	165	simplbi 476	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z -> w e. NN )
167	166	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. NN )
168	167	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. ZZ )
169	40	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M e. NN )
170	169	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M e. ZZ )
171	169	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> M =/= 0 )
172		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = 0 /\ M = 0 ) -> M = 0 )
173	172	necon3ai 2819	. . . . . . . . 9 |- ( M =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
174	171, 173	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> -. ( w = 0 /\ M = 0 ) )
175		gcdn0cl 15224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ M = 0 ) ) -> ( w gcd M ) e. NN )
176	168, 170, 174, 175	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) e. NN )
177		gcddvds 15225	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
178	168, 170, 177	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd M ) || w /\ ( w gcd M ) || M ) )
179	178	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) || M )
180		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( w gcd M ) -> ( x || M <-> ( w gcd M ) || M ) )
181	180, 4	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( ( w gcd M ) e. X <-> ( ( w gcd M ) e. NN /\ ( w gcd M ) || M ) )
182	176, 179, 181	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd M ) e. X )
183	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N e. NN )
184	183	nnzd 11481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N e. ZZ )
185	183	nnne0d 11065	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> N =/= 0 )
186		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( w = 0 /\ N = 0 ) -> N = 0 )
187	186	necon3ai 2819	. . . . . . . . 9 |- ( N =/= 0 -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
188	185, 187	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> -. ( w = 0 /\ N = 0 ) )
189		gcdn0cl 15224	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( w = 0 /\ N = 0 ) ) -> ( w gcd N ) e. NN )
190	168, 184, 188, 189	syl21anc 1325	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) e. NN )
191		gcddvds 15225	. . . . . . . . 9 |- ( ( w e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
192	168, 184, 191	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd N ) || w /\ ( w gcd N ) || N ) )
193	192	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) || N )
194		breq1 4656	. . . . . . . 8 |- ( x = ( w gcd N ) -> ( x || N <-> ( w gcd N ) || N ) )
195	194, 9	elrab2 3366	. . . . . . 7 |- ( ( w gcd N ) e. Y <-> ( ( w gcd N ) e. NN /\ ( w gcd N ) || N ) )
196	190, 193, 195	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd N ) e. Y )
197		opelxpi 5148	. . . . . 6 |- ( ( ( w gcd M ) e. X /\ ( w gcd N ) e. Y ) -> <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) )
198	182, 196, 197	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) )
199		fvres 6207	. . . . . . 7 |- ( <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) -> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
200	198, 199	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
201	93	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( M gcd N ) = 1 )
202		rpmulgcd2 15370	. . . . . . . 8 |- ( ( ( w e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( M gcd N ) = 1 ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
203	168, 170, 184, 201, 202	syl31anc 1329	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) )
204		df-ov 6653	. . . . . . 7 |- ( ( w gcd M ) x. ( w gcd N ) ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. )
205	203, 204	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = ( x. ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
206	165	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( w e. Z -> w || ( M x. N ) )
207	206	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w || ( M x. N ) )
208	40, 34	nnmulcld 11068	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( M x. N ) e. NN )
209		gcdeq 15272	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. NN /\ ( M x. N ) e. NN ) -> ( ( w gcd ( M x. N ) ) = w <-> w || ( M x. N ) ) )
210	166, 208, 209	syl2anr 495	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( ( w gcd ( M x. N ) ) = w <-> w || ( M x. N ) ) )
211	207, 210	mpbird 247	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> ( w gcd ( M x. N ) ) = w )
212	200, 205, 211	3eqtr2rd 2663	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
213		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( u = <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. -> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) )
214	213	eqeq2d 2632	. . . . . 6 |- ( u = <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. -> ( w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) <-> w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) ) )
215	214	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. e. ( X X. Y ) /\ w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` <. ( w gcd M ) , ( w gcd N ) >. ) ) -> E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
216	198, 212, 215	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
217	216	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ph -> A. w e. Z E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) )
218		dffo3 6374	. . 3 |- ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z <-> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) --> Z /\ A. w e. Z E. u e. ( X X. Y ) w = ( ( x. |` ( X X. Y ) ) ` u ) ) )
219	59, 217, 218	sylanbrc 698	. 2 |- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z )
220		df-f1o 5895	. 2 |- ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z <-> ( ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-> Z /\ ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -onto-> Z ) )
221	163, 219, 220	sylanbrc 698	1 |- ( ph -> ( x. |` ( X X. Y ) ) : ( X X. Y ) -1-1-onto-> Z )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   C_ wss 3574   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   || cdvds 14983   gcd cgcd 15216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-gcd 15217

This theorem is referenced by:  fsumdvdsmul  24921