Theorem gexdvds 17999

Description: The only N that annihilate all the elements of the group are the multiples of the group exponent. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexcl.1	|- X = ( Base ` G )
gexcl.2	|- E = (gEx ` G )
gexid.3	|- .x. = (.g ` G )
gexid.4	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
gexdvds	|- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( E || N <-> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )

Distinct variable groups:   x, E   x, G   x, N   x, X   x, .0.   x, .x.

Proof of Theorem gexdvds

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gexcl.1	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
2		gexcl.2	. . . . . 6 |- E = (gEx ` G )
3		gexid.3	. . . . . 6 |- .x. = (.g ` G )
4		gexid.4	. . . . . 6 |- .0. = ( 0g ` G )
5	1, 2, 3, 4	gexdvdsi 17998	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ E || N ) -> ( N .x. x ) = .0. )
6	5	3expia 1267	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( E || N -> ( N .x. x ) = .0. ) )
7	6	ralrimdva 2969	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( E || N -> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )
8	7	adantr 481	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( E || N -> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )
9		noel 3919	. . . . . . 7 |- -. ( abs ` N ) e. (/)
10		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( abs ` N ) -> ( y .x. x ) = ( ( abs ` N ) .x. x ) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( abs ` N ) -> ( ( y .x. x ) = .0. <-> ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( abs ` N ) -> ( A. x e. X ( y .x. x ) = .0. <-> A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) )
13	12	elrab 3363	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } <-> ( ( abs ` N ) e. NN /\ A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) )
14		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) )
15	14	eleq2d 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( ( abs ` N ) e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } <-> ( abs ` N ) e. (/) ) )
16	13, 15	syl5rbbr 275	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( ( abs ` N ) e. (/) <-> ( ( abs ` N ) e. NN /\ A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) ) )
17	16	rbaibd 949	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) /\ A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) -> ( ( abs ` N ) e. (/) <-> ( abs ` N ) e. NN ) )
18	9, 17	mtbii 316	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) /\ A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. ) -> -. ( abs ` N ) e. NN )
19	18	ex 450	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. -> -. ( abs ` N ) e. NN ) )
20		nn0abscl 14052	. . . . . . . 8 |- ( N e. ZZ -> ( abs ` N ) e. NN0 )
21	20	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( abs ` N ) e. NN0 )
22		elnn0 11294	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` N ) e. NN0 <-> ( ( abs ` N ) e. NN \/ ( abs ` N ) = 0 ) )
23	21, 22	sylib 208	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( ( abs ` N ) e. NN \/ ( abs ` N ) = 0 ) )
24	23	ord 392	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( -. ( abs ` N ) e. NN -> ( abs ` N ) = 0 ) )
25	19, 24	syld 47	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. -> ( abs ` N ) = 0 ) )
26		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) /\ ( abs ` N ) = N ) -> ( abs ` N ) = N )
27	26	oveq1d 6665	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) /\ ( abs ` N ) = N ) -> ( ( abs ` N ) .x. x ) = ( N .x. x ) )
28	27	eqeq1d 2624	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) /\ ( abs ` N ) = N ) -> ( ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> ( N .x. x ) = .0. ) )
29		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( ( abs ` N ) = -u N -> ( ( abs ` N ) .x. x ) = ( -u N .x. x ) )
30	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . 8 |- ( ( abs ` N ) = -u N -> ( ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> ( -u N .x. x ) = .0. ) )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
32	1, 3, 31	mulgneg 17560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ x e. X ) -> ( -u N .x. x ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. x ) ) )
33	32	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( -u N .x. x ) = ( ( invg ` G ) ` ( N .x. x ) ) )
34	4, 31	grpinvid 17476	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. Grp -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. )
35	34	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( invg ` G ) ` .0. ) = .0. )
36	35	eqcomd 2628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> .0. = ( ( invg ` G ) ` .0. ) )
37	33, 36	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( -u N .x. x ) = .0. <-> ( ( invg ` G ) ` ( N .x. x ) ) = ( ( invg ` G ) ` .0. ) ) )
38		simpll 790	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> G e. Grp )
39	1, 3	mulgcl 17559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ /\ x e. X ) -> ( N .x. x ) e. X )
40	39	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( N .x. x ) e. X )
41	1, 4	grpidcl 17450	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. Grp -> .0. e. X )
42	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> .0. e. X )
43	1, 31, 38, 40, 42	grpinv11 17484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` ( N .x. x ) ) = ( ( invg ` G ) ` .0. ) <-> ( N .x. x ) = .0. ) )
44	37, 43	bitrd 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( -u N .x. x ) = .0. <-> ( N .x. x ) = .0. ) )
45	30, 44	sylan9bbr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) /\ ( abs ` N ) = -u N ) -> ( ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> ( N .x. x ) = .0. ) )
46		zre 11381	. . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
47	46	ad2antlr 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> N e. RR )
48	47	absord 14154	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` N ) = N \/ ( abs ` N ) = -u N ) )
49	28, 45, 48	mpjaodan 827	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ x e. X ) -> ( ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> ( N .x. x ) = .0. ) )
50	49	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )
51	50	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( A. x e. X ( ( abs ` N ) .x. x ) = .0. <-> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )
52		0dvds 15002	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
53	52	ad2antlr 763	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( 0 || N <-> N = 0 ) )
54		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> E = 0 )
55	54	breq1d 4663	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( E || N <-> 0 || N ) )
56		zcn 11382	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
57	56	ad2antlr 763	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> N e. CC )
58	57	abs00ad 14030	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> N = 0 ) )
59	53, 55, 58	3bitr4rd 301	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( ( abs ` N ) = 0 <-> E || N ) )
60	25, 51, 59	3imtr3d 282	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> E || N ) )
61		elrabi 3359	. . . 4 |- ( E e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } -> E e. NN )
62	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> N e. RR )
63		nnrp 11842	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. NN -> E e. RR+ )
64		modval 12670	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( N mod E ) = ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) )
65	62, 63, 64	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( N mod E ) = ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( N mod E ) = ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) )
67	66	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( N mod E ) .x. x ) = ( ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) .x. x ) )
68		simplll 798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> G e. Grp )
69		simpllr 799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> N e. ZZ )
70		nnz 11399	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E e. NN -> E e. ZZ )
71	70	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> E e. ZZ )
72		rerpdivcl 11861	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( N e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( N / E ) e. RR )
73	62, 63, 72	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( N / E ) e. RR )
74	73	flcld 12599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( |_ ` ( N / E ) ) e. ZZ )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( |_ ` ( N / E ) ) e. ZZ )
76	71, 75	zmulcld 11488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) e. ZZ )
77		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> x e. X )
78		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
79	1, 3, 78	mulgsubdir 17582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( N e. ZZ /\ ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) e. ZZ /\ x e. X ) ) -> ( ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) .x. x ) = ( ( N .x. x ) ( -g ` G ) ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) ) )
80	68, 69, 76, 77, 79	syl13anc 1328	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( N - ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) .x. x ) = ( ( N .x. x ) ( -g ` G ) ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) ) )
81		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( N .x. x ) = .0. )
82		dvdsmul1 15003	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( E e. ZZ /\ ( |_ ` ( N / E ) ) e. ZZ ) -> E || ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) )
83	71, 75, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> E || ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) )
84	1, 2, 3, 4	gexdvdsi 17998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X /\ E || ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) ) -> ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) = .0. )
85	68, 77, 83, 84	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) = .0. )
86	81, 85	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( N .x. x ) ( -g ` G ) ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) ) = ( .0. ( -g ` G ) .0. ) )
87		simpll 790	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> G e. Grp )
88	41	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> .0. e. X )
89	1, 4, 78	grpsubid 17499	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ .0. e. X ) -> ( .0. ( -g ` G ) .0. ) = .0. )
90	87, 88, 89	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( .0. ( -g ` G ) .0. ) = .0. )
91	90	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( .0. ( -g ` G ) .0. ) = .0. )
92	86, 91	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( N .x. x ) ( -g ` G ) ( ( E x. ( |_ ` ( N / E ) ) ) .x. x ) ) = .0. )
93	67, 80, 92	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ ( x e. X /\ ( N .x. x ) = .0. ) ) -> ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. )
94	93	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) /\ x e. X ) -> ( ( N .x. x ) = .0. -> ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) )
95	94	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) )
96		modlt 12679	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ E e. RR+ ) -> ( N mod E ) < E )
97	62, 63, 96	syl2an 494	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( N mod E ) < E )
98		zmodcl 12690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. ZZ /\ E e. NN ) -> ( N mod E ) e. NN0 )
99	98	adantll 750	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( N mod E ) e. NN0 )
100	99	nn0red 11352	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( N mod E ) e. RR )
101		nnre 11027	. . . . . . . . . 10 |- ( E e. NN -> E e. RR )
102	101	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> E e. RR )
103	100, 102	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( ( N mod E ) < E <-> -. E <_ ( N mod E ) ) )
104	97, 103	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> -. E <_ ( N mod E ) )
105	1, 2, 3, 4	gexlem2 17997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( N mod E ) e. NN /\ A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) -> E e. ( 1 ... ( N mod E ) ) )
106		elfzle2 12345	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E e. ( 1 ... ( N mod E ) ) -> E <_ ( N mod E ) )
107	105, 106	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( N mod E ) e. NN /\ A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) -> E <_ ( N mod E ) )
108	107	3expia 1267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( N mod E ) e. NN ) -> ( A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. -> E <_ ( N mod E ) ) )
109	108	impancom 456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) -> ( ( N mod E ) e. NN -> E <_ ( N mod E ) ) )
110	109	con3d 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. ) -> ( -. E <_ ( N mod E ) -> -. ( N mod E ) e. NN ) )
111	110	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. -> ( -. E <_ ( N mod E ) -> -. ( N mod E ) e. NN ) ) )
112	111	ad2antrr 762	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. -> ( -. E <_ ( N mod E ) -> -. ( N mod E ) e. NN ) ) )
113	104, 112	mpid 44	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( A. x e. X ( ( N mod E ) .x. x ) = .0. -> -. ( N mod E ) e. NN ) )
114		elnn0 11294	. . . . . . . 8 |- ( ( N mod E ) e. NN0 <-> ( ( N mod E ) e. NN \/ ( N mod E ) = 0 ) )
115	99, 114	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( ( N mod E ) e. NN \/ ( N mod E ) = 0 ) )
116	115	ord 392	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( -. ( N mod E ) e. NN -> ( N mod E ) = 0 ) )
117	95, 113, 116	3syld 60	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> ( N mod E ) = 0 ) )
118		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> E e. NN )
119		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> N e. ZZ )
120		dvdsval3 14987	. . . . . 6 |- ( ( E e. NN /\ N e. ZZ ) -> ( E || N <-> ( N mod E ) = 0 ) )
121	118, 119, 120	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( E || N <-> ( N mod E ) = 0 ) )
122	117, 121	sylibrd 249	. . . 4 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. NN ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> E || N ) )
123	61, 122	sylan2 491	. . 3 |- ( ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) /\ E e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> E || N ) )
124		eqid 2622	. . . . 5 |- { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. }
125	1, 3, 4, 2, 124	gexlem1 17994	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) \/ E e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } ) )
126	125	adantr 481	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( ( E = 0 /\ { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } = (/) ) \/ E e. { y e. NN | A. x e. X ( y .x. x ) = .0. } ) )
127	60, 123, 126	mpjaodan 827	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( A. x e. X ( N .x. x ) = .0. -> E || N ) )
128	8, 127	impbid 202	1 |- ( ( G e. Grp /\ N e. ZZ ) -> ( E || N <-> A. x e. X ( N .x. x ) = .0. ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   x. cmul 9941   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   -ucneg 10267   / cdiv 10684   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   RR+crp 11832   ...cfz 12326   |_cfl 12591   mod cmo 12668   abscabs 13974   || cdvds 14983   Basecbs 15857   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424  ._gcmg 17540  gExcgex 17945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-fz 12327  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-dvds 14984  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-gex 17949

This theorem is referenced by:  gexdvds2  18000