Theorem rerpdivcl 11861

Description: Closure law for division of a real by a positive real. (Contributed by NM, 10-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
rerpdivcl	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )

Proof of Theorem rerpdivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rprene0 11849	. 2 |- ( B e. RR+ -> ( B e. RR /\ B =/= 0 ) )
2		redivcl 10744	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ B =/= 0 ) -> ( A / B ) e. RR )
3	2	3expb 1266	. 2 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ B =/= 0 ) ) -> ( A / B ) e. RR )
4	1, 3	sylan2 491	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR+ ) -> ( A / B ) e. RR )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   / cdiv 10684   RR+crp 11832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-rp 11833

This theorem is referenced by:  ledivge1le  11901  rerpdivcld  11903  icccntr  12312  refldivcl  12624  fldivle  12632  ltdifltdiv  12635  modvalr  12671  flpmodeq  12673  mod0  12675  negmod0  12677  modlt  12679  moddiffl  12681  moddifz  12682  modid  12695  modcyc  12705  modadd1  12707  modmul1  12723  moddi  12738  modsubdir  12739  modirr  12741  sqrtdiv  14006  divrcnv  14584  gexdvds  17999  aaliou3lem8  24100  logdivlt  24367  cxp2limlem  24702  harmonicbnd4  24737  logexprlim  24950  bposlem7  25015  bposlem9  25017  chebbnd1lem3  25160  chebbnd1  25161  chto1ub  25165  chpo1ub  25169  vmadivsum  25171  rplogsumlem1  25173  dchrvmasumlema  25189  dchrvmasumiflem1  25190  dchrisum0fno1  25200  mulogsumlem  25220  logdivsum  25222  mulog2sumlem1  25223  selberg2lem  25239  selberg3lem1  25246  pntrmax  25253  pntpbnd1a  25274  pntpbnd1  25275  pntpbnd2  25276  pntpbnd  25277  pntibndlem3  25281  pntlem3  25298  pntleml  25300  pnt2  25302  subfacval3  31171  heiborlem6  33615  fldivmod  42313